[考研类试卷]考研数学一（高等数学）模拟试卷255及答案与解析.doc

1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 255 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若函数 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，且 f(0)0，f(x)k0，则在(0，+) 内 f(x)（A）没有零点（B）至少有一个零点（C）只有一个零点（D）有无零点不能确定2 设 y1(x)、y 2(x)为二阶变系数齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的两个特解，则C1y1(x)+C2y2(x)(C1，C 2 为任意常数) 是该方程通解的充分条件为（A）y 1(x)y2(x)y 2(x)y1(x)=0（B） y1(x)y2(x)y 2(x)y1(x)0

2、（C） y1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)=0（D）y 1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)03 设 f(x，y)在(x 0，y 0)邻域存在偏导数 且偏导数在点(x 0，y 0)处不连续，则下列结论中正确的是（A）f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微且 d（B） f(x，y)在点(x 0，y 0)处不可微（C） f(x，y)在点(x 0，y 0)沿 方向方向导数（D）二、填空题4 1+x2 当 x0 时是 x 的_阶无穷小(填数字)5 设 y=f( )且 f(x)=arctanx2，则 dydx| x=0=_6 曲线 上对应点 t=2 处的切线方程为_7 (lnlnx+ )d

3、x=_.8 0+x7 dx=_9 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 ddx 0(x)(x)tf(t)dt，其中 f(t)为已知的连续函数， (x)为已知的可微函数10 求下列旋转体的体积 V：11 由曲线 y=x2，x=y 2 所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体；12 由曲线 x=a(tsint)，y=a(1cost)(0t2) ，y=0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体13 设 f(x)在a，b连续，在(a，b) 可导，f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a， b)内存在一点 ，使得 f()013 求下列微分方程的通解：14 (x 2)dy=y+2(x

4、2) 3dx；15 y2dx=(x+y2e(y1) y )dy；16 (3y7x)dx+(7y3x)dy=0 ；17 3xy=xy 218 5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂19 已知 ， 不共线，证明 +=0 的充要条件是 =20 设 u=f(x z，yz)，求 du 及21 求椭球面 S：x 2+y2+z2 yz1=0 上具有下列性质的点(x，y，z)的轨迹：过(x，y， z)的切平面与 Oxy，平面垂直21 求下列二重积分的累次积分22 I=01dx sinyydy；23 I=0R

5、dx ln(1+x2+y2)dy (R0)24 25 求 ，其中 L：x 2+y2=R2 的正方向25 判断下列曲线积分在指定区域 D 是否与路径无关，为什么 ?26 Lf(x2+y2)(xdx+ydy)，其中 f(u)为连续函数，D：全平面.27 L ，D=(x ，y)|全平面除去 x0，y=0 28 设 (x)在(0，+)有连续导数，()=1试确定 (x)，使积分在 x0 与路径无关，并求当 A，B 分别为(1，1)，(，)时的积分值29 设 f(x)是区间， 上的偶函数，且满足 f( x)证明：f(x)在，上的傅里叶级数展开式中系数 a2n=0，n=1，2，考研数学一（高等数学）模拟试卷

6、 255 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理根据拉格朗日中值定理，f(x)=f(0)+f()x(0 x)，得 f(x)f(0)+kx显然当 x 足够大时f(x)0(事实上只需 x f(0)k)，又 f(0)0，这就表明在(0，x)内存在 f(x)的零点，又 f(x)0，即有 f(x)单调增加，从而零点唯一，故选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 根据题目的要求 y1(x)与 y2(x)应该线性无关，即 y1(x)y 2(x)(常数)反之，若这个比

7、值为常数，即 y1(x)=y2(x)，那么 y1(x)=y2(x)，利用线性代数的知识，就有 y1(x)y2(x)y 2(x)，y 1(x)=0所以，(B)成立时，y 1(x)，y 2(x)一定线性无关，应选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 当 f(x，y)在(x 0，y 0)邻域偏导数，而 在(x 0，y 0)不连续时，不能确定 f(x，y)在(x 0，y 0)是否可微，也不能确定它在 (x0，y 0)是否存在方向导数故(A) ，(B)，(C)不正确，只有(D)正确或直接考察曲线它在点(x 0，y 0，f(x 0，y 0)处的切向量是故(D)正确【知识模块】 高等

8、数学二、填空题4 【正确答案】 4【试题解析】 由于因此当 x0 时 1+x2 是 x 的 4 阶无穷小【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 34【试题解析】 y=f(u)，u= u|x=0=1【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 y=3x7【试题解析】 t=2 时(x，y)=(5，8)， 切线方程为y8=3(x5)，即 y=3x7【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 xlnlnx+C【试题解析】 原式=(lnlnx+x )dx=lnlnxdx+xd(lnlnx)=d(xlnlnx)=xlnlnx+C【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 3【试题解析】 令 x2=t，财原式=12 0+

9、t3et dt令t 3et dt=et (at3+bt2+dt+e)+C，两边求导得 t3et =et at 3+(3ab)t 2+(2bd)t+de，比较两边 t 的同次幂项的系数得 a=1，b=3，d=6，e=6于是原式=12 |0+=3【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 考察部分和【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 ddx 0(x)(x)tf(t)dt=ddx(x) 0(x)f(t)dt 0(x)tf(t)dt=(x)0(x)f(t)dt+(x)f(x)(x)(x)f(x)(x)=(x) 0(x)f(t)dt【知识

10、模块】 高等数学【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 如图 32，交点(0，0)，(1，1) ，则所求体积为V=01( )2(x 2)2dx=01(xx 4)dx【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 如图 33，所求体积为V=202ayxdx=202a(1cost)a(tsint)a(1 cost)dt=2a302(1cost) 2(tsint)dt=2a 302(1cost) 2tdt2a 3 (1cost)2sintdt=2a302(1cost) 2tdt 2a3 1cos(u+) 2(u+)du=2a3 (1+cos)2udu+22a3 (1+cosu)2du=42a302(1+

11、cosu)2du=42a302(1+2cosu+cos2u)du=42a3(+)=63a3【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 若不然 x(a，b)，f(x)0 f(x)在a，b单调不增 xa，b，f(a)f(x)f(b) f(x)f(a)=f(b)在a ，b为常数，矛盾了【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 原方程改写成 =2(x2) 2(一阶线性方程)积分得=(x2) 2+C 通解 y=(x2) 3+C(x2) ，其中 C 为任意常数【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 原方程改写成 (以 y 为自变量，是一阶线性的)通解 x= ，其中 C 为任意常数【知

12、识模块】 高等数学16 【正确答案】 原方程改写成积分得17(ln|1 u|2+ln|1+u|5)=ln|x|+C1， 通解为(xy) 2(x+y)5=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 这是伯努利方程将原方程改写成故通解为 其中C 为任意常数【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 设 t 时刻水中含的肥皂量为 Q(t)kg，任取t ，t+dt，这段时间内肥皂含量的减少量=抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得因此，当 t=T=301n5 时肥皂水中只有 1kg 肥皂【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 设 +=0 +=0 =0 =同理，由+=0 +=0 =设

13、=，则(+)=+=0，(+)=+=0 ，(+)=+=0 ， 均与+，共线 +=0【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 u 是 u=f(s，t)与 s=xz，t=yz 复合而成的 x，y，z 的三元函数先求 du由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得 du=f1d(xz)+f2d(yz)【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 椭球面 S 上 点(x，y，z)处的法向量 n=2x，2yz，2zy点(x，y， z)处切平面Oxy 平面，则 nk=0，即 2zy=0又(x，y，z)在 S 上x2+y2+z2yz1=0因此所求点的轨迹：它是圆柱面 x2+ y2=1 与平面 2zy=0的交线

14、【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 如图 915 所示 =01sinyy(yy 2)dy=01sinydy+01ydcosy= cosy|01+cos1 01cosydy=1siny| 01=1sin1【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 如图 916 所示=4R 2ln(1+R2)R 2+ln(1+R2)=4(1+R 2)ln(1+R2)R 2【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 ：1z1+ ，(x，y) Dxy 如图921(a)它是由半球面：(z1) 2=1x 2y 2(z1)与平面 z=1 所围成的 y0 部分作球坐标变换z=1 对应 =1cos，半球

15、面对应 =2cos 的球坐标表示(如图 921(b)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 将 L 表成参数方程的形式，即 x=Rcos，y=Rsin(02) ，于是注意到右端积分存在且为一常数，所以【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 f(x 2+y2)(xdx+ydy)=f(x2+y2)d12(x 2+y2)=d12( 0uf(t)dt )，即被积表达式 f(x2+y2)(xdx+ydy)原函数，因此该线积分在全平面与路径无关【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 如图 109，L= LPdx+Qdy，则 ，(x，y)D D 为单连通区域，因此积分在 D 与路

16、径无关【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 记 I= Pdx+Qdy，在单连通区域 D：x0 上该积分与路径无关两边乘 (x)x(x)=cosx+C由 ()=1 得C=1，因此 (x)= 下求积分值 I注意 =(x)，代入得=y(x)|(1，1) (，) =()(1)=(1)=1+cos1【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 由于 f(x)为偶函数，所以 a2n=2 0f(x)cos(2nx)dx=2 02 f(x)cos(2nx)dx+2 f(x)cos(2nx)dx对于右端前一个积分，令 x= t，后一个积分，令 x= +t，则根据假设 f(+t)=0，所以 a2n=0，n=1，2，【知识模块】 高等数学