[考研类试卷]考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷3及答案与解析.doc

1、考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P -1（B） PT（C） P（D）(P -1)T2 n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件3 n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征向量是 A 和 B 相似的( )（

2、A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分又非必要条件4 设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，则下列命题中不正确的是( )（A）矩阵 A-E 是不可逆矩阵（B）矩阵 A+E 和对角矩阵相似（C）矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交（D）方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成5 已知 A 是一个三阶实对称正定的矩阵，那么 A 的特征值可能是( )（A）3，i，-1（B） 2，-1，3（C） 2，i，4（D）1，3，46 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )7 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1

3、， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=0二、填空题8 已知 =12 是 A= 的特征值，则 a=_9 设 A 是 3 阶矩阵，如果矩阵 A 的每行元素的和都是 2，则矩阵 A 必定有特征向量_10 设 =(1， -1，a) T，=(1，a，2) T，A=E+ T，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是_11 已知矩阵 A= 和对角矩阵相似，则 a=_12 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量，则 a=_13 已知矩阵 A= 只有一个线性无关的特征向量，那么 A 的三个特征值是_14 已知 A= 有

4、 3 个线性无关的特征向量，则 x=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关，如1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=315 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解，16 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；17 求 a，b 的值及方程组的通解17 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=-2， 1=(1，-1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵18 验证 1 是矩阵 B 的特征向

5、量，并求 B 的全部特征值与特征向量；19 求矩阵 B19 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且20 求 A 的所有特征值与特征向量；21 求矩阵 A22 设 A 为正交阵，且A=-1 ，证明 =-1 是 A 的特征值23 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-3，求A *+3A+2E23 已知 p= 的一个特征向量24 求参数 a， b 及特征向量 p 所对应的特征值；25 问 A 能相似对角化，并说明理由26 设 A2-3A+2E=O，证明： A 的特征值只能取 1 或 2考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有

6、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设 是矩阵 (P-1AP)-1 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵AT=A，有 (P -1AP)T=，即 PTA(P-1)T= 把四个选项中的向量逐一代人上式替换 ，同时考虑到 A=，可得选项 B 正确，即左端 =PTA(P-1)T(PT)=PTA=PT=PT=右端 所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 A【试题解析】 若 AA= ，则有可逆矩阵 P 使 P-1AP=A，或AP=PA令 P=1， 2， n，即 A1， 2， ， n=1， 2， 2=a11， a22，a nn从而有 Ai=aii， i=

7、1，2，n 由 P 可逆，即有 i0，且 1， 2， n 线性无关根据定义可知 1， 2， n 是 A的 n 个线性无关的特征向量 反之，若 A 有 n 个线性无关的特征向量1， 2， n，且满足 Ai=ii， i=l，2，n 那么，用分块矩阵有由于矩阵 P=(1， 2， N)可逆，所以 P-1AP=A，即 A 与对角矩阵 A 相似所以应选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 D【试题解析】 根据相似矩阵的定义，由 AB 可知，存在可逆矩阵 P 使 P-1AP=jB：若 A=，0， 有 B(P -1)=(P-1AP)(P-1)=P-1A=(P-1)， 即 是 A 的特征向量

8、，P -1 是 B 的特征向量，即矩阵 A 与 B 的特征向量不同 相反地，若矩阵 A 与 B 有相同的特征向量，且它们属于不同的特征值，即 A=，B=， 因为矩阵 A 与 B 的特征值不同，所以矩阵 A 和 B 不可能相似 所以矩阵 A 与 B 有相同的特征向量对于 AB 来说是既非充分又非必要，故选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，所以矩阵 AE 的特征值是-1，0，-2 由于 =0 是矩阵 A-E 的特征值，所以 A-E 不可逆故命题 A 正确 因为矩阵 A+E 的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不

9、同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化命题 B 正确(或由 AA A+EA+E 而知 A+E 可相似对角化) 因为矩阵 A 有三个不同的特征值，知 因此，r(A)=r(A)=2，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系由 n-r(A)=3-2=1 个解 向量构成，即命题 D正确 命题 C 的错误在于，若 A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般 n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 D【试题解析】 因为实对称矩阵的特征值都是实数，故选项 A，C 都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故选项 B 也不正确；应用

10、排除法，答案为 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化 选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化 选项 C 是秩为 1 的矩阵，因为 E-A= 3-42，可知矩阵的特征值是 4，0，0对于二重根 =0，由秩 r(0E-A)=r(A)=1 可知齐次方程组(0E-A)x=0 的基础解系有 3-1=2 个线性无关的解向量，即 =0 有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化 选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，-1 就是矩阵的特征值

11、，对于二重特征值 =1，由秩可知齐次方程组(E-A)x=0 只有 3-2=1 个线性无关的解，亦即 =1，只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 B【试题解析】 令 k11+k2A(1+2)=0，则 k 11+k211+k222=0，即(k 1+k21)1+k222=0 因为 1， 2 线性无关，于是有 当 20 时，显然有k1=0，k 2=0，此时 1，A( 1+2)线性无关；反过来，若 1，A( 1+2) 线性无关，则必然有 20(否则， 1 与 A(1+2)=11 线性相关)，故应选 B【知识模块】 矩阵的特

12、征值和特征向量二、填空题8 【正确答案】 4【试题解析】 因为 =12 是 A 的特征值，因此12E-A=0，即所以 a=4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 (1，1，1) T【试题解析】 已知矩阵 A 的每行的元素的和都是 2，因此有，所以可见矩阵A 必定有特征向量(1，1，1) T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 k(1，-1 ，1) T，k0【试题解析】 令 B=T，因为矩阵 B 的秩是 1，且 T=a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为 a+1，0，0 那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1 因为 =3 是矩阵 A的特征值，因此 a+2=3

13、，可得 a=1那么就有 B=( T)=(T)=2 =(1，-1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，因此也就是矩阵 A 属于特征值 =3的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 -2【试题解析】 因为E-A= =(-2)(-3)2 所以矩阵 A 的特征值分别为 2，3，3，可见矩阵 A 的特征值有重根，已知矩阵 A 和对角矩阵相似，因此对应于特征根 3 有两个线性无关的特征向量，因此可得(3E-A)x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵 3E-A 的秩为 1 因此可见 a=-2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 -1【试题解析】 A 的

14、特征多项式为 所以矩阵 A 的特征值是-1，且为 3 重特征值，但是 A 只有两个线性无关的特征向量，即 因此 a=-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 2，2，2【试题解析】 因为如果矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则对应的 n 个特征向量是线性无关的已知矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量 由于主对角元素的和等于所有特征值的和，因此可知 1+2+3=3，进一步可知1=2=3=2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 的特征方

15、程因此 A 的特征值是 1=1(二重)， 2=-1 因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，因此 1=1 定有两个线性无关的特征向量，因此必有 r(E-A)=3-2=1，于是根据【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A( 1+2+3)=(1+2+3) 又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33，于是有 (- 1)1+(-2)2+(-3)3=0 因为 1， 2， 3 线性无关，故 -1=0，- 2=0，- 3=0 即1=2=3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向

16、量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 设 1， 2， 3 是方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，其中则有 A(1-2)=0，A( 1-3)=0 因此 1-2， 1-3 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的解，且线性无关，( 否则，易推出 1， 2， 1-3 线性相关，矛盾) 所以 n-r(A)2，即 4-r(A)2，那么 r(A)2又矩阵 A 中有一个 2 阶子式 =-10，所以 r(A)2因此 r(A)=2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 因为又r(A)=2，则有【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答

17、案】 由 A1=1 得 A21=A31=1，依次递推，则有 A31=1，A 51=1，故 B 1=(A5-4A3+E)1=A51-4A31+1=-21，即 1 是矩阵 B 的属于特征值-2 的特征向量。 由关系式 B=A5-4A3+E 及 A 的 3 个特征值 1=1， 2=2， 3=-2 得 B 的 3 个特征值为 1=-2， 2=1， 3=1 设 2， 3 为 B 的属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2、 3 正交，即因此 2， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正

18、确答案】 令 P=(1， 2， 3)=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 由 A r(A)=23，因此 A 有一个特征值为 0，另外两个特征值分别是 1=-1， 2=1 由上式知， 1=-1， 2=1 对应的特征向量为 设 3=0 对应的特征向量为由此得 = 是特征值0 对应的特征向量因此 k11，k 22，k 3 依次对应于特征值-1，1，0 的特征向量，其中 k1，k 2，k 3 为任意非零常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 由于 A=PAP-1，【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 要证 =

19、-1 是 A 的特征值，需证A+E=0 因为A+E=A+A TA=(E+A T)A=E+A T.A=-A+E，因此A+E=0，所以 =-1 是 A 的特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 因为A=12(-3)=-60，所以 A 可逆，故 A *=AA -1=-6A-1 A *+3A+2E=-6A-1+3A+2E 设 为 A 的特征值，则-6 -1+3+2 为-6A -1+3A+2E的特征函数 令 ()=-6-1+3+2，则 (1)=-1，(2)=5，(-3)=-5 是-6A -1+3A+2E的特征值，故 A *+3A+2E= -6A -1+3A+2E =(1).(2).

20、(-3) =(-1)5(-5)=25【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的定义，有 (A-E)p=0， 即 解得a=-3，b=0，且 p 所对应的特征值 =-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 A 的特征多项式为得 A 的特征值为 =-1(三重)故若 A 能相似对角化，则特征值 =-1 有 3 个线性无关的特征向量，而即 r(A+E)=2，所以齐次线性方程组(A+E)x=0的基础解系只有一个解向量，因此 A 不能相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 设 A 是矩阵 A 的特征值，非零向量 x 是矩阵 A 的相对应于 A 的特征向量，则 (A 2-3A+2E)x=2x-3x+2x=(2-3+2)x=0， 由于 x0，则 2-3+2=0，因此 =1 或 =2 故 A 的特征值只能取 1 或 2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量