[考研类试卷]考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷19及答案与解析.doc

1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设周期函数 f(x)在(，+)内可导，周期为 4，又 =1，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 ( )（A）（B） 0（C） 1（D）22 设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)；(2)若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)因此 ( )（A）(1)，(2)都正确（B） (1)，(2)都不正确（C） (1)正确，但(2)不正确（D）(2)正确，但 (1)不正确3 两曲线 y= 与 y

2、=ax2+b 在点(2， )处相切，则 ( )4 若 f(x)在 x0 点可导，则f(x) 在 x0 点 ( )（A）必可导（B）连续，但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续5 设函数 f(x) 则 f(x)在点 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导6 关于函数 y=f(x)在点 x0 的以下结论正确的是 ( )（A）若 f(x0)=0，则 f(x0)必是一极值（B）若 f(x0)=0，则点(x 0 ，f(x 0)必是曲线 y=f(x)的拐点（C）若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x0 点可导，且有（D）若 f(x)在 x0 处

3、可微，则 f(x)在 x0 的某邻域内有界7 设 F(x)= ，其中 f(x)在 x=0 处可导，f(0)0，f(0)=0 ，则 x=0 是F(x)的 ( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定8 设函数 f(x)= 在 x=0 处 f(x) ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续二、填空题9 p(x)为二次三项式，要使得 ex=p(x)+o(x2)(x0) ，则 p(x)=_10 曲线 y=(2x1) 的斜渐近线方程为 _11 若 f(t)= ，则 f(t)=_12 设 y= ，则 y=_三、解答题解答

4、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 y=sin4xcos 4x，求 y(n)14 设 y=exsinx，求 y(n)15 设 y= 求 y(n)(0)16 设 f(x)满足 f(x)+2 ，求 f(x)17 设 f(x)= 试确定常数 a，b，c，使 f(x)在x=0 点处连续且可导18 顶角为 60，底圆半径为 a 的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?19 防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 12-1)，截面的面积为 5 平方米，问

5、底宽x 为多少时才能使建造时所用的材料最省?20 试证明：曲线 y= 恰有三个拐点，且位于同一条直线上21 作函数的图形 y=x2+ 22 求函数 y=excosx 的极值23 若函数 f(x)在(，+)内满足关系式 f(x)=f(x)，且 f(0)=1证明：f(x)=e x24 设 f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点25 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0求证：(1)存在 (a，b)，使 f()+f()=0；(2)存在 (a，b) ，使 nf()十 f()=026 设函数 f(x)在2，2上二阶可导，且 f

6、(x)1 ，又 f2(0)+f(0)2=4 试证：在(2 ，2) 内至少存在一点 ，使得 f()+f()=027 设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使f()428 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导且 f(a)f(b)证明：存在， (a，b)，使得 考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 f(x)周期为 4，曲线在点(5，f(5) 处的切线斜率与曲线在点(1，f(1)处的切线斜率相等

7、，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1) 处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数即 f(1)=2【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=ex 与 g(x)=e x ，显然 f(x)g(x)，但 f(x)=e x ，g(x)=ex ,，f(x) g(x)，(1)不正确将 f(x)与 g(x)交换可说明(2)不正确【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因两曲线相切于点(2， )，故相交于该点将 x=2，y= 代入y=ax2+b 中得 =4a+b，又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以=2ax，将 x=2 代

8、入得【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)= x在 x=0 处不可导，排除(A)函数 f(x)=x2x=0 处可导， f(x)=x 2在 x=0 处也可导，排除(C) ，(D)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 =0=f(0)，f += 不存在，故f(0)不存在【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不一定，反例： f(x)=x3，f(0)=0，x=0 非极值点；(B)不一定，需加条件：f(x) 在 x0 点两侧异号； (C)项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，

9、这是不够的【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 F(0)=f(0)=0， =f(0)0【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 x2+x+1【试题解析】 设 p(x)=ax2+bx+c，由题意知，当 x0 时，e xp(x)=o(x 2)， 由于ex=1+x+ +o(xex，于是 exp(x)=(1c)+ (1b)x+( a)x 2+o(x2)故1c=0，1b=0， a=0，即 a= ，b=1，c=1于是 p(x)= x2+x+1【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 y=2x+1【试题

10、解析】 ，所以斜渐近线为y=2x+1【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (2t+1)e 2t【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 因 y=(sin2x+cos2x)(sin2xcos 2x)=cos2x，y (n)=2 ncos(2x+ )【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 y=e xsinx+cosx.ex= 归纳可得： 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 当 x0 时，y= 当 x=0 时，=1，故对任意 x( ，+)

11、，都有 y= 又 y=，比较系数，得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 方程两边同时对 x 求导得 原等式中x 换成 ，得 f( )+2f(x)=3x 式两边同时对 x 求导得2得 f(x)=2+【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 因为 又 f(0)=1，所以 =2b=1，即a=2，b= 及 c 为任意值时，f(x) 在 x=0 处连续又因为令 f (0)=f+(0)，可得 c= 时，f(0)存在当 a=2， ，f(x)在 x=0 处连续且可导【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 设在时刻 t，漏斗中水平面的高度为 h，水量为 p，水桶中水平面的高度为 H，水

12、量为 g(如图 12-1)，则 因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以 h3+b2H=，即 h3+9b2H=3 a3两边对 t 求导得因为下降的速度与上升的速度方向相反，所以 ，得 h2=3b2，故 h= b 时漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 设截面周长为 S，矩形高为 y，则 S=x+2y+ ，xy+ =5 由解出 y= ，代入得故唯一极值可疑点为 x= (驻点) 由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为 2367 米时，截面的周长最小，因而所用材料最省【知识模块】 一元函数微分学20

13、 【正确答案】 令y=0，得 x1=1，x 2=2 ，x 3=2+ 列表所以 A(1，1) ， 均为此曲线的拐点，因 所以这三个拐点在一条直线上【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 定义域 ( ，0)(0，+)，无周期性无奇偶性y=0 的根为 x=，y=0 的根为 x=1列表由表可知函数的极小值点为 x= ，拐点为(1，0)铅直渐近线：x=0，无斜渐近线作图(如图 12-2)【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 极值可疑点 xn=n+ ，n=0，1，(均为驻点)y=2e xsinx，当 xk=2k+ 时，y0，所以 2k+ 为极大值点，极大值为，k=0，1，2，；当 xk=

14、2k+ 时，y0，所以 2k+为极小值点，极小值为【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 作函数 (x)= ，x ( ，+)，于是有 (x)= 已知 f(x)=f(x)，从而 (x)=0，于是 (x)= C当 x=0 时，易知 (0)= =1，所以 C=1，即 1，故 f(x)=ex【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)ex，由于 f(x)可导，故 F(x)可导，设 x1 和x2 为 f(x)的两个零点，且 x1x 2，则 F(x)在x 1，x 2上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点 (x1，x 2)，使得 F()=0，即 f()e+f

15、()e=ef()+f()=0 由于 e0，因此必有 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 (1)设 (x)=xf(x)，则 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且(a)=(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 ()=0，即 f()+f()=0(2)设F(x)= f(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 F()= .f()=0，即 nf()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 f(0)f( 2)=2f(1)，2 10 ，f(2) f(0)=2f( 2)

16、，0 22由f(x)1 知 f(1)= 1，f( 2)=1令 (x)=f2(x)+f(x)2，则有 (1)2，( 2)2因为 (x)在1， 2上连续，且 (0)=4，设 (x)在 1， 2上的最大值在 1， 2 (2，2)上取，则 ()4，且 在 1， 2上可导，由费马定理有：()=0，即 2f()f()+2()f()=0因为f(x)1，且 ()4，所以 f()0，于是有 f()+f()=0，(2，2) 【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得f(x)=f(0)+f(0)x+ f(1)x2 (0 1x)在公式中取 x= ，利用题设可得把函数 f(x)在 x=1 展开成泰勒公式，得 f(x)=f(1)+f(1)(x1)+ f(2)(x1) 2 (x 21)在公式中取 x= ，利用题设可得两式相减消去未知的函数值 f( )即得 f(1)f( 2)=8=f( 1)+ f( 2)8从而，在 1 和 2 中至少有一个点，使得在该点的二阶导数绝对值不小于 4，把该点取为 ，就有 (0，1)，使f()4【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知 f(b)f(a)=f()(b a) ，又由柯西中值定理知【知识模块】 一元函数微分学