[考研类试卷]考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷20及答案与解析.doc

1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)+f(0)=0（D）f(0)f(0)=02 设函数 f(x)在区间(，)内有定义，若当 x( ，)时，恒有f(x)x 2，则x=0 必是 f(x)的 ( )（A）间断点（B）连续，但不可导的点（C）可导的点，且 f(0)=0（D）可导的点，且 f(0)03 设 f(x)=f(x)，且在(0 ， +)内二阶可导，又 f(x)

2、0，f(x)0，则 f(x)在(， 0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（A）单调增，凸（B）单调减，凸（C）单调增，凹（D）单调减，凹4 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0，F(x)= 0x(x2t 2)f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 f(x) 则 f(x)在 x=0处 ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导函数不连续（D）可导，导函数连续6 曲线 y= ，当 x时，它有斜渐近线 ( )（A）y=x+1

3、（B） y=x+1（C） y=x1（D）y=x17 当 x0 时，曲线 y=xsin ( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线8 曲线 ( )（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线，也有铅直渐近线二、填空题9 设 y=ln(1+3x )，则 dy=_10 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cosxy=0 确定，则 =_11 =_12 设 y=cosx2sin2 ，则 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设函数 f(x)在闭区间(a，b上连续(

4、a ，b0)，在(a，b)内可导试证：在(a ，b)内至少有一点 ，使等式 =f() f()成立14 设 f(x)在 上具有连续的二阶导数，且 f(0)=0证明：存在 ，使得15 试求方程 ex=ax2(a0 为常数)的根的个数16 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m1，2，n1)，f (n)(x0)0(n2) 证明：(1)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时，f(x)在 x0 处取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f(n)(x0) 0 时， f(x)在 x0 处取得极小值17 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1，2，n

5、1)，f (n)(x0)0(n2) 证明：当 n 为奇数时，(x 0，f(x 0)为拐点18 求函数 f(x)=nx(1x) n 在0，1上的最大值 M(n)及19 设 f(x)在a，b上连续，ax 1x 2x nb试证：在 a，b内存在 ，使得20 设 f(x)在闭区间1， 1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：在1，1 内存在 ，使得 f()=321 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证：必存在 (0，3)，使 f()=022 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，g(x)0

6、 ，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0证明：(1)在(a， b)内，g(x)0 ；(2)(a ， b)内至少存在一点 ，使 23 在区间0 ，a上f(x)M，且 f(x)在(0 ，a)内取得极大值证明：f(0)+ f(a)Ma 24 设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明： (1，2) ，使 f(2)2f(1)=f() f() 25 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0证明 ，(a ，b)，使得26 设 =1，且 f(x)0证明：f(x) x27 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，且 f(a)=f(b)=g(a)=0证明： (a，b)，使f()g(

7、)+2f()g()+f()g()=028 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明： (a，b)使29 设 f(x)=arcsinx， 为 f(x)在0，t上拉格朗日中值定理的中值点， 0t1，求极限 30 若 x1证明： 当 0a1 时，有(1+x) 1+x；当 0 或 1 时，有(1+x)1+ax考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 f(0)=0 ， =0,，故 f(0)= 0【知识模块】 一

8、元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)0=f(x)在(0，+)内单调增；f(x)0=f(x)在(0，+) 内为凸曲线由 f(x)=f(x)=f(x)关于 y 轴对称=f(x)在(，0)内单调减，为凸曲线，选(B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 用洛必达法则， =f(0)0，所以k=3，选(C) 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 =g(0)=0=f(0)，所以 f(x)在 x=0处连续所以导函数在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 因此有斜渐近线 y=x1应选(C)【

9、知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 =1，由渐近线的求法可得正确选项【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 =+，由渐近线的求法可知应选 (D)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导 y=ln(1+3x )=【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 方程两边同时对 x 求导，可得【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【

10、正确答案】 令 F(x)= ，它们在区间 a，b上连续，在(a，b)内可导，且 G(x)= 0满足柯西中值定理的三个条件，于是在(a，b)内至少有一点，使得【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 因 f(x)和 g(x)=cos2x 在 上连续，在 内可导，且 g(x)=(cos2x)= 2sin2x0，x(0 ， )故由柯西中值定理知，存在 (0， )，使得即因 f(x)在 上具有连续的二阶导数，故存在 (0， )，使得再由 f(0)=0 知由式和 式知【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 令 f(x)= xf(x)= x=0 不是原方程的根考查区间 (0)f(x) 在(

11、0)单调增又则有对 a0，f(x)在(，0)有唯一零点 考查区间(0 ，+) f(x)在(0，2单调减，在2 ，+)单调增，又于是，当 f(2)0 即 a 时，f(x)在(0， +)内无零点当 a= 时，f(x) 在(0，+) 有唯一零点 (即 x=2)；当 a 时，f(x)在(0，2) 及 (2，+)内分别有唯一零点，即在(0，+)内有且仅有两个零点【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 n 为偶数，令 n=2k，构造极限当 f(2k)(x0)0 时，极限保号性 = 0=f(x)f(x 0)，故 x0 为极大值点；当 f(2k)(x0)0 时，极限保号性 = 0=f(x)f(x 0)

12、，故 x0 为极小值点【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 n 为奇数，令 n=2k+1，构造极限当 f(2k+1)(x0)0 时， 0，但 xx 0+时，f(x)0；xx 0 时，f(x)0，故(x 0，f(x 0)为拐点【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 容易求得 f(x)=n1(n+1)x(1x) n1 ，f(x)=n 2(n+1)x2(1x)n2 令 f(x)=0，得驻点 x0= (0，1)，且有 f(x0)= 0，则 x0=为 f(x)的极大值点，且极大值 f(x0)= ，将它与边界点函数值 f(0)=0，f(1)=0 ，比较得 f(x)在0，1上的最大值 M(

13、n)=f(x0)= ，且有【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 mf(x)M，其中 m，M 分别为f(x)在a，b上的最小值和最大值mf(x 1)M， mf(x 2)M， mf(x n)M， + =mnf(x1)+f(x2)+f(xn)nM，故 mM由介值定理可得 a，b，使得【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 f(x)=f(x 0)+f(x0)(xx 0)+ f(x0)(xx 0)2+ f()(xx 0)3取x0=0， x=1 代入， f(1)=f(0)+ f(0)(10) 2+ f(1)(10) 3， 1(0，1) 取x0=0，

14、x=1 代入，f(1)=f(0)+ f(0)(10) 2+ f(2)(10)3， 2(1，0) 由有 f(1) f(1)= f(1)+f(2)=10 因为f(x)在 1，1上连续，则存在 m 和 M，使得 x1，1 ，有 mf(x)M，mf( 1)M，mf( 2)M=m f(1)+f(2)M 代入式，有 m3M，由介值定理， 1，1，使得 f()=3【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 函数 f(x)在0 ，3上连续，则 f(x)在0，2上连续，那么其在0，2上必有最大值 M 和最小值 m，于是 mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M，mM，由介值定理知，至少存在一点 0，2，使得

15、 f()=1，于是便有 f()=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在(，3) (0，3)，使 f()=0【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 (1)设 c(a，b)，g(c)=0由 g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x) 在a ，c，c， b上两次运用罗尔定理可得 g(1)=g(2)=0，其中 1(a，c)， 2(c，b)，对g(x)在 1， 2上运用罗尔定理，可得 g(3)=0因已知 g(x)0，故 g(c)0(2)F(x)=f(x)g(x)f(x)g(x) 在a，b上运用罗尔定理， F(a)=0，F(b)=0，故【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 f(x)在(

16、0，a)内取得极大值，不妨设 f(c)=0f(x)在0，c与c，a之间分别使用拉格朗日中值定理， f(c)f(0)=cf( 1)， 1(0，c) ， f(a) f(c)=(ac)f( 2)， 2(c，a)， 所以 f(0)+ f(a)=c f( 1)+(ac)f( 2)cM+(ac)M=aM【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 把所证等式 改为 x，得 xf(x) f(x)=f(2)2f(1)， 两边同除以x2， ，得 f(2)2f(1) 令 F(x)=，F(x)在1，2上连续，(1，2)内可导，且 F(2)=F(1)=f(2)f(1)由罗尔定理， (1，2)，使 F()=0，即 f

17、(2)2f(1)=f()f()【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因为 两式相比得【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 因 =1，得 f(0)=0，f(0)=1因 f(x)二阶可导，故 f(x)在 x=0处的一阶泰勒公式成立，f(x)=f(0)+f(0)x+ x2( 介于 0 与 x 之间)因 f(x)0，故 f(x)x，原命题得证【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(x)，在 x=a 点展开泰勒公式F(x)=F(a)+F(a)(xa)+F()(xa) 2(ax) 令 x=6，代入式，则 F(b)=F(a)+F(a)(ba)+ F()(

18、ba) 2 (ab) 因 f(a)=f(b)=g(a)=0，则 F(a)=F(b)=0，且 F(a)=0，代入式，得 F()=0即 f()g()+2f()g()+f()g()=0【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 将 f(x)在 x=a，x=b 处展开泰勒公式f(x)=f(a)+f(a)(xa)+ (xa) 2=f(a)+ (xa) 2 (a 1x)， f(x)=f(b)+ (xb) 2 (x 2b) 令 x= ，得 0=f(b)f(a)+ f(2)f( 1)，得f( 2)f( 1) f( 1)+f( 2)令f() =maxf( 1)，f( 1)则 (f( 1)+ f( 2) 2f

19、()=f()，故原命题得证【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 因 f(x)=arcsinx 在0，t 上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得 arcsint-0= (t0)，0 t1由此解得 = ，并令 u=arcsint，有【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)，则有 f(x)=(1+x)1 ，f(x)=( 1)(1+x) 2 由f(x)的泰勒展开式 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2， (0，1)，可知当 x1，01 时，(1)0，1+0，故 0，所以 f(x)f(0)+f(0)x，即(1+x) 1+x同理可证当 x1，0 或 1 时，有(1+x) 1+x【知识模块】 一元函数微分学