[考研类试卷]考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷21及答案与解析.doc

1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 的渐近线有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 设函数 f(x)=(ex1)(e 2x2)(e nxn)，其中 n 为正整数，则 f(0)= ( )（A）(1) n 1(n1)！（B） (1) n(n1)！（C） (1) n1 n！（D）(1) nn！3 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )4 f(x)=xex 的 n 阶麦克劳林公式为 ( )5 若 f(

2、x)在开区间(a，b)内可导，且 x1，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点，使下列诸式中成立的是 ( )（A）f(x 2)f(x 1)=(x1x 2)f()，(a ，b)（B） f(x1) f(x2)=(x1x 2)f()， 在 x1，x 2 之间（C） f(x1) f(x2)=(x2x 1)f()，x 1 x 2（D）f(x 2)f(x 1)=(x2x 1)f()，x 1x 26 在区间0 ，8 内，对函数 f(x)= ，罗尔定理 ( )（A）不成立（B）成立，并且 f(2)=0（C）成立，并且 f(4)=0（D）成立，并且 f(8)=07 给出如下 5 个命题：(1)若不恒为常

3、数的函数 f(x)在(，+)内有定义，且 x00是 f(x)的极大值点，则x 0 必是f( x)的极大值点；(2) 设函数 f(x)在a ，+)上连续，f(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= 在(a ，+)内单调增加；(3)若函数 f(x)对一切 x 都满足 xf(x)+3xf(x)2=1 ex ，且 f(x0)=0，x 00，则f(x0)是 f(x)的极大值；(4)设函数 y=y(x)由方程 2y32y 2+2xyx 2=1 所确定，则y=y(x)的驻点必定是它的极小值点；(5)设函数 f(x)=xex，则它的 n 阶导数 f(n)(x)在点 x0= (n+1)处取得极小值正确命

4、题的个数为 ( )（A）2（B） 3（C） 4（D）5二、填空题8 设 y= ，则 y x=0=_9 设 y= ，则 y x=0=_10 y=sin4x+cos4x，则 y(n)=_(n1)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求证：当 x0 时，不等式 arctanx+ 成立12 利用导数证明：当 x1 时， 13 设 x(0，1)，证明下面不等式：(1)(1+x)ln 2(1+x)x 2；(2)14 求证：当 x0 时，(x 21)lnx(x1) 215 证明：16 求使不等式 对所有的自然数 n 都成立的最大的数 a和最小的数 17 设函数 f(x)在(，+)内二阶可导

5、，且 f(x)和 f(x)在(，+)内有界证明：f(x)在(，+) 内有界18 设 n 为自然数，试证：19 已知f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f(x)f(x) 20(xR)(1)证明：f(x 1)f(x2)f2 ( x1，x 2R)；(2)若 f(0)=1，证明：f(x)e f(0)x(xR)20 设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间 (0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a， b 满足条件 0aba+bc21 证明：当 x0 时，有22 证明：当 0a b 时， bsinb+2cosb

6、+basina+2cosa+a23 设 ba e，证明：a bb a24 证明：当 x0 时，不等式 1+x 成立25 证明：当 x 时，不等式 cosx 成立26 已知某种商品的需求量 x 对价格 p 的弹性为 =-2p2，而市场对该商品的最大需求量为 1(万件) (1) 确定需求函数； (2)若价格服从1 ，2上的均匀分布，计算期望收益值27 一商家销售某种商品的价格满足关系 P=70 2x(万元单位)，x 为销售量，成本函数为 C=3x+1(万元)，其中 x 服从正态分布 N(5p，1)，每销售一单位商品，政府要征税 t 万元，求该商家获得最大期望利润时的销售量28 设需求函数为 P=a

7、bQ ，总成本函数为 C= Q37Q 2+100Q+50，其中 a，b0为待定的常数，已知当边际收益 MR=67，且需求价格弹性 Ep= 时，总利润是最大的求总利润最大时的产量，并确定 a，b 的值29 某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为 R0 元如果收藏起来待来日出售，t 年末总收入为 R(t)=R0e(t)，其中 (t)为随机变量，服从正态分布 N( ，1)，假定银行年利率为 r，并且以连续复利计息试求收藏多少年后，再出售可使得总收入的期望现值最大，并求 r=006 时，t 的值考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选

8、项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 ，曲线 y=f(x)有水平渐近线 y=曲线y=f(x)有铅直渐近线 x=0 曲线 y=f(x)无斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 用导数定义f(0)=(1)(2)(n 1)=(1) n1 (n 1)！【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在(0， 1)，使得(xf(x) x=0，即 f()+f()=0，有 f()= ，所以选(A) 选项(B)，(C)，(D)可用反例 y=1x 排除【知识模块】 一元

9、函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=xex，f(0)=0，f(x)=e x(1+x)，f(0)=1 ，f (n)(x)=ex(n+x)，f(n)(0)=n，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗日中值定理易知(A)，(C) 错， (B)正确，又因未知 x1 与 x2 的大小关系，知(D) 不正确【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在0 ，8上连续，在(0，8)内可导，且 f(0)=f(8

10、)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件令 f(x)= =0，得 f(4)=0，即定理中 可以取为 4【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 对上述 5 个命题一一论证 对于(1)，只要注意到：若 f(x)在点 x0 取到极大值，则f(x)必在点 x0 处取到极小值，故该结论错误； 对于(2)，对任意xa，由拉格朗日中值定理知，存在 (a，x)使 f(x)f(a)=f()(xa)，则由 f(x)0 知，f(x) 在(a，+) 内单调增加，因此，对任意的 x 与 ，ax，有 f(x)f()，从而由上式得 F(x)0，所以函数 F(x)在(a，+)内单调增加，该结论正确；

11、对于(3)，因f(x0)=0，故所给定的方程为 f(x0)= ，显然，不论 x00，还是 x00，都有f(x0)0，于是由 f(x0)=0 与 f(x0)0 得 f(x0)是 f(x)的极小值，故该结论错误； 对于(4)，对给定的方程两边求导，得 3y 2y2yy+xy+yx=0 ， 再求导，得 (3y22y+x)y+(6y 2)(y) 2+2y=1 令 y=0，则由式 得 y=x，再将此代入原方程有 2x3x 2=1，从而得 y=y(x)的唯一驻点 x0=1，因 x0=1 时 y0=1，把它们代入式得 y (1，1) 0，所以唯一驻点 x0=1 是 y=y(x)的极小值点，该结论正确； 对于

12、(5)，因为是求 n 阶导数 f(n)(x)的极值问题，故考虑函数 f(x)=xex 的 n+1 阶导数f(n+1)(x)，由高阶导数的莱布尼茨公式得 f (n)(x)=x(ex)(n)+n(ex)(n1) =(x+n)ex， f (n+1)(x)=x+(n+1)ex；f (n+2)(x)=x+(n+2)ex 令 f(n+1)(x)=0，得 f(n)(x)的唯一驻点 x0=(n+1)；又因 f(n+2)(x0)=e(n+1) 0，故点 x0=(n+1)是 n 阶导数 f(n)(x)的极小值点，且其极小值为 f(n)(x0)=e (n+1) ，该结论正确 故正确命题一共 3 个，答案选择(B)

13、【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 4 n1 cos(4x+ )【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 设 f(x)=arctanx+ ，则 f(+)= =0因为 f(x)=0，所以 f(x)单调递减，且当 0x+时，f(x)f(+)=0，即arctanx+ ，x0【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 设 f(x)=(1+x)ln(1+x)xlnx，有 f(1)=2ln20

14、由 f(x)=ln(1+ )0(x 0)知， f(x)单调递增，且当 x1 时，f(x) f(1)=2ln20，lnx 0，从而得，其中 x1【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 (1)令 (x)=x2(1+x)ln 2(1+x)，有 (0)=0，且 (x)=2xln 2(1+x)2ln(1+x)，(0)=0当 x(0，1)时，(x)= xln(1+x)0，知 (x)单调递增，从而 (x)(0)=0，知 (x)单调递增，则 (x)(0)=0，即(1+x)ln 2(1+x)x 2(2)令 f(x)= ，x0 ，1，则有由(1)得，当 x(0，1)时 f(x)0，知f(x)单调递减，从而

15、 f(x)f(1)= 1又因为当 x(0，1)时，f(x)0，知 f(x)单调递减，且 f(x)f(0 +)= ，所以【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 设 f(x)=(x21)lnx(x1) 2，所以 f(1)=0又因为 f(x)=2xlnxx+2 ，f(1)=0 ，且 f(x)=2lnx+1+ ，f(1)=20，f(x)= 所以当 x1 时，f(x) 0，知 f(x)单调递增，则 f(x)f(1)=0，从而 f(x)单调递增，故 f(x)f(1)=0，原式成立当 0x1 时，f(x)0，知 f(x)单调递减，则 f(x)f(1)=20，从而 f(x)单调递增，故 f(x)f(1

16、)=0 ，所以 f(x)单调递减，知 f(x)f(1)=0原式成立【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 由 令 f(x)=，只需证明 f(x)1由 f(O)=1，只需证因此，当 x(0， )时，g(x)0，即 f(x)0，f(x) 1，得证【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 已知不等式等价于(n+)ln(1+ )1(n+)ln(1+ )即 n 令 f(x)= ，x (0，1，则令 g(x)=(1+x)ln2(1+x)x 2，x0，1，则 g(0)=0，且 g(x)=ln2(1+x)+21n(1+x)2x，g(0)=0，故 g(x)在0，1上严格单调递减，所以 g(x)g(

17、0)=0同理，g(x) 在0，1上也严格单调递减，故 g(x)g(0)=0，即 (1+x)ln2(1+x)x 2 0，从而 f(x)0(0x1) ，因此 f(x)在(0，1上也严格单调递减令 x= ，则 f(x)，有故使不等式对所有的自然数 n 都成立的最大的数 为 1，最小的数 为【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 存在正常数 M0，M 2，使得对 x( ，+)，恒有f(x)M 0，f(x)M 2由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+f(x)+ f()，其中 介于 x 与 x+1 之间，整理得 f(x)=f(x+1)f(x) f()，所以f(x)f(x+1) + f(x)+ f

18、() 2M 0+ 故函数 f(x)在( ，+)内有界【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 右端不等式等价于证明即设 f(x)= 1，x0，则=ln1+lne1=0又 故=0当 x0 时，有从而，当 x0 时，f(x)单调增，且当 x+时，f(x)趋于零，所以，当 x0 时，f(x) 0进而知当x0 时，f(x)单调减，且当 x+时，f(x)趋于零，于是，当 x0 时，f(x)0所以，对一切自然数 n，恒有 f(n)0，故有 从而右端不等式成立类似地，引入辅助函数 类似可证明：当 x0 时，g(x)0，从而对一切自然数 n，左端不等式成立【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】

19、(1)记 g(x)=lnf(x)，则 g(x)= 0，故即 f(x1)f(x2) (2)g(x)=g(0)+g(0)x+ x2=lnf(0)+ f(0)x，即 f(x)ef(0)x【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 当 a=0 时，等号成立；当 a0 时，由于 f(x)在区间0，a 及b，a+b上满足拉格朗日中值定理，所以，存在 1(0，a)， 2(b，a+b) ， 1 2，使得 f(a+b)f(b) f(a)f(0)=af( 2)af( 1) 因为 f(x)在(0，c) 内单调减少，所以 f(2)f(1)，于是， f(a+b)f(b)f(a)f(0)0， 即 f(a+b)f(a)

20、+f(b) 于是有 F(b)F(0)=0，即 f(a+b)f(b) f(a)0 ，即 f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 因为 ，所以 ln(1+x)1nx ，且函数 f(t)=lnt 在x，1+x上满足拉格朗日中值定理，故存在 (x，1+x) ，使得 ln(1+x)lnx=f()= 因为 x 1+x，所以 ，于是有 ln(1+x)lnx 即【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 F(x)=xsinx+2cosx+x，只需证明 F(x)在(0，)上单调递增F(x)=sinx+xcosx2sinx+=+xcossinx，由此式很难确定 F(x

21、)在(0，) 上的符号，为此有F(x)=xsinx0，x(0，) ，即函数 F(x)在(0 ，)上单调递减，又 F()=0，所以 F(x)0，x(0，)，于是 F(b)F(a)，即bsin b+2cos b+basina+2cosa+a【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 设 f(x)= ，则 f(x)= ，其中 lnx1ne=1，所以，f(x)0，即函数 f(x)单调递减因此，当 ba e 时，=blnaalnb=lna blnb a=abb a【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 构造辅助函数 f(x)=1+x ，则 f(0)=0，且 f(x)=1由题设条件很难确定 f

22、(x)=1 的符号，但是 f(0)=0，f(x)= 0，所以 f(x)=1 0，从而，当 x0 时，f(x)=1+x 0，即 1+x【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 当 x 0，而 cosx0，所以不等式成立当 x时，构造辅助函数 f(x)= cosx，则 f(x)= (2xcosx2sinx+x 3)上式中，当 x 0，但是，2xcosx2sinx+x 3 的符号无法直接确定，为此，令 g(x)=2xcosx2sinx+x 3，则 g(0)=0，且 g(x)=x2+2x(xsinx)0，所以，当x 时， g(x)=2xcosx2sinx+x 30从而，当 x 时，f(x)= (

23、2xcosx2sinx+x 3)0，又 =0，所以，当 x【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 (1)由弹性公式： 两边积分有lnx(p)=p 2+c1=x(p)= 由 x(0)=1 得 c=1，故 x(p)=【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 收益为 R=xp，利润为 L=RCT，其中税收 T=tx于是L=xp(3x+1)tx=x(702x)(3x+1) tx= 02x 2+(4t)x1，EL=02Ex 2+(4t)Ex1= 02Dx+(Ex) 2+(4t)Ex1=021+(5p) 2+(4t)5p1=5p 2+5(4t)p 12，令因此，当 P= (4t)即 x=35

24、5p=25+ t时，期望的利润最大【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 总收益：R=Qp=aQ BQ 2，Q= (ap)L(Q)=RC= Q3+(7b)Q 2+(a100)Q50于是有 L(Q)=Q 2+2(7b)Q+(a100)由题设 a，b，Q 应满足解得：a=111，b= ，Q=3 或 a=111，b=2，Q=11(1)若a=111，b= ，Q=3，此时 L(3)=0，L(3)0，但 L(3)0 不符合题意；(2)若a=111，b=2，Q=11，此时 L(11)=0，L(11)0，且 L(11)0因此 a=111，b=2为所求常数，此时对应最大利润的产量为 Q=11【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由连续复利公式，t 年末售出总收入 R 的现值为：A(t)=Re rt 于是 A(t)=R0e(t)ert =R0e(t)rt ，EA(t)=R 0ert Ee(t)=令，可见当 t0= 时，期望的现值(取到极大值)最大若 r=006，t= 11 年【知识模块】 一元函数微分学