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[考研类试卷]考研数学三(一元函数积分学)模拟试卷32及答案与解析.doc

1、考研数学三(一元函数积分学)模拟试卷 32 及答案与解析一、填空题1 设 为 f(x)=arcsin x 在区间0,b上使用拉格朗日中值公式中的 ,则二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 作函数 y=x2+ 的图形3 求函数 y=excos x 的极值4 设 f(x)可导,证明:f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点5 (1)叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理;(2)叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理6 设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b) 内可导,且 f(a)=f(b)=0求证:(1)存在 (a,b),使 f()+f()=0;(2)存在 (

2、a,b) ,使 f()+f()=07 设函数 f(x)在一 2,2上二阶可导,且 |f(x)|1,又 f2(0)+f(0)2=4试证:在(一2,2)内至少存在一点 ,使得 f()+f”()=08 设函数 f(x)在a,b上连续(a,b0) ,在(a,b)内可导,且 f(a)f(b)证明:存在, (a,b),使得9 设函数 f(x)在闭区间a,b上连续(a,b0) ,在(a ,b) 内可导试证:在(a ,b)内至少有一点 ,使等式 =f()一 f()成立10 设 f(x)在 上具有连续的二阶导数,且 f(0)=0证明:存在 ,使得 f()=11 试求方程 ex=ax2(a0 为常数)的根的个数1

3、2 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导,且 f(m)(x0)=0(m=1,2,n 一 1),f (n)(x0)0(n2) 证明:(1)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时,f(x)在 x0 处取得极大值; (2)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时,f(x)在 x0 处取得极小值13 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导,且 f(m)(x0)=0(m=1,2,n 一 1),f (n)(x0)0(n2) 证明:当 n 为奇数时,(x 0,f(x 0)为拐点14 求函数 f(x)=nx(1 一 x)n,n=1,2,在0 ,1上的最大值 M(n)及15 设 f(x)在a,b上连续,ax 1

4、x 2x nb试证:在 (a,b)内存在 ,使得16 设函数 f(x)在0,3上连续,在 (0,3)内可导,且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1试证:存在 (0,3),使 f()=017 在区间0 ,a上|f”(x)|M,且 f(x)在(0,a) 内取得极大值证明:|f(0)|+|f(a)|Ma18 设 f(x)在闭区间1,2上可导,证明:存在 (1,2),使 f(2)一 2f(1)=f()一f()19 f(x)在a ,b上连续,在(a,b) 内可导,且 f(x)0证明:存在 ,(a ,b),使得20 设 且 f”(x)0证明:f(x)x21 设 f(x),g(x) 在a,b 上

5、二阶可导,且 f(a)=f(b)=g(a)=0证明:存在 (a,b),使 f“()g()+2f()g()+f()g“()=022 设 f(x)在a,b上二阶可导,且 f(a)=f(b)=0证明:存在 (a,b),使23 若 x一 1证明: 当 01 时,有(1+x) 1+ax; 当 0 或 1 时,有(1+x)1+x24 设 x(0,1),证明不等式:(1)(1+x)ln 2(1+x)x 2;25 求证:当 x0 时,(x 2 一 1)ln x(x 一 1)226 证明:27 设函数 f(x)在(一,+)内二阶可导,且 f(x)和 f“(x)在(一,+) 内有界证明:f(x)在(一, +)内有

6、界28 设 f(x)在闭区间0,c上连续,其导数 f(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少,f(0)=0试证明:f(a+b)f(a)+f(b) ,其中常数 a,b 满足条件 0aba+bc29 证明:当 x0 时,有30 证明:当 0a b 时,bsin b+2cos b+basin a+2cos a+a31 设 ba e,证明:a bb a32 证明:当 x0 时,不等式 成立33 证明:当 成立34 设 f(x)在 x=0 处连续且 ,求 f(0)并讨论 f(x)在 x=0 处是否可导若可导,请求出 f(0)35 设 讨论 f1(x)与 f2(x)的极值36 设 f(x)在a,b上存在二

7、阶导数,且 f“(x)0证明:37 设 fn(x)=x3+anx1,其中 n 是正整数,a 1(1)证明方程 fn(x)=0 有唯一正根rn;(2)若 Sn=r1+r2+rn,证明38 设 f(x)在区间0,1上连续,在区间 (0,1)内存在二阶导数,且 f(0)=f(1).证明:存在 (0,1)使 2f()+f“()=0考研数学三(一元函数积分学)模拟试卷 32 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 由 arcsin barcsin 0= (b0),0 b,解得【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 【正确答案】 定义域 (一 ,0)(0,+)

8、,无周期性无奇偶性y=0 的根为y“=0 的根为 x=一 1 列表由表可知函数的极小值点为 拐点为(一 1,0)铅直渐近线无斜渐近线作图 (如图 121)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 由 y=ex(cos xsin x)知可疑极值点 n=0,1,(均为驻点)又 y“=2exsin x,当 xk= 时,y“ 0,所以 为极大值点,极大值为【知识模块】 微积分4 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)ex,由于 f(x)可导,故 F(x)可导,设 x1 和x2 为 f(x)的两个零点,且 x1x 2,则 F(x)在x 1,x 2上满足罗尔定理条件,由罗尔定理,至少存在一点 (x1,

9、x 2),使得 F()=0,即 f()e+f()e=ef()+f()=0由于e0,因此必有 f()+f()=0【知识模块】 微积分5 【正确答案】 (1)罗尔定理:设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)=f(b),则至少存在一点 (a,b)使 f()=0 证明:由于 f(x)在a,b上连续,所以f(x)在a,b上存在最大值 M 和最小值 m 如果 M=m,则 f(x)C,从而 f(x)0,任取 (a,b)均有 f()=0 如果 Mm,由于 f(a)=f(b),所以 M 或 m 中至少有 1 个在开区间(a,b)内取到,即在(a,b)内 f(x)可取到极值(极大值或(和

10、)极小值)由费马定理知,在对应点 x=(a,b)处,f()=0 (2)拉格朗日中值定理:设函数 f(x)在a ,b上连续,在(a,b) 内可导,则至少存在一点 (a,b),使 f(b) 一 f(a)=f()(b 一 a)证明:令 (x)=f(x)一 (x 一 a),则 (x)在a,b上连续,在(a, b)内可导,且 (a)=f(a),(b)=f(a),故 (a)=(b),所以 (x)在a,b上满足罗尔定理条件,从而知至少存在一点 (a,b)使 ()=0即 即f(b)一 f(a)=f()(b-a)证毕【知识模块】 微积分6 【正确答案】 (1)设 (x)=xf(x),则 (x)在a,b 上连续,

11、在 (a,b)内可导,且 (a)=(b)=0,由罗尔定理得,存在 (a,b),使 ()=0,即 f()+f()=0(2)设 F(x)=,则 F(x)在a,b上连续,在 (a,b)内可导,且 F(a)=F(b)=0,由罗尔定理得,存在 (a,b),使 F()= 即 f()+f()=0【知识模块】 微积分7 【正确答案】 由拉格朗日中值定理有 f(0)一 f(-2)=2f(1),一 2 10, f(2)-f(0)=2f(2),0 22由|f(x)|1 知|f( 1)|=令 (x)=f2(x)+f(x)2,则有(1)2,( 2)2 因为 (x)在 1, 2上连续,且 (0)=4,设 (x)在 1,

12、2上的最大值在点 (1, 2) (一 2,2)处取到,则 ()4,且 在 1, 2上可导,由费马定理有 ()=0,即 2f().f()+2f().f“()=0 因为|f(x)|1,且 ()4,所以 f()0,于是有 f()+f“()=0, (一 2,2)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 对 f(x)应用拉格朗日中值定理知 f(b)一 f(a)=f()(b-a),(a ,b),对 f(x),x 2 应用柯西中值定理知【知识模块】 微积分9 【正确答案】 令 F(x)= 它们在区间 a,b上连续,在(a,b)内可导,且 G(x)= ,满足柯西中值定理的三个条件,于是在(a,b)内至少有一点,使

13、得【知识模块】 微积分10 【正确答案】 因 f(x)和 g(x)=cos 2x 在 内可导,且 g(x)=(cos 2x)=一 2sin 2x0, 故由柯西中值定理知,存在即因 f(x)在 上具有连续的二阶导数,故存在 使得 再由 f(0)=0 知 由式和式知【知识模块】 微积分11 【正确答案】 考查区间(一 ,0)f(x) 在( 一,0)上单调增加,又 则对任意 a0, f(x)在( 一 ,0) 上有唯一零点,原方程在(一,0)上有一个根 考查区间(0 ,+) f(x)在(0,2上单调减少,在2 , +)上单调增加,又于是,当 f(2)0 即 时,f(x)在(0, +)内无零点,原方程在

14、(0,+) 上没有根;当 时,f(x)在(0,+)有唯一零点(即 x=2),原方程在 (0,+)上有唯一根;当 时,f(x)在(0,2) 及(2,+) 内分别有唯一零点,即在(0,+) 内有且仅有两个零点,原方程在(0,+)上有两个根【知识模块】 微积分12 【正确答案】 n 为偶数,令 n=2k,构造极限(1)当 f(2k)(x0)0 时,由极限保号性,知 f(x)f(x 0),故 x0 为极大值点;(2)当 f(2k)(x0)0 时,由极限保号性,知 f(x)f(x 0),故 x0为极小值点【知识模块】 微积分13 【正确答案】 n 为奇数,令 n=2k+1,构造极限当 f(2k+1)2(

15、x0)0 时,存在 x0 的某去心邻域使得 则当 xx 0 时,f“(x)0;当 xx 0 时,f“(x)0,故(x 0,f(x 0)为拐点;当 f(2k+1)(x0)0 时,同样可得(x0,f(x 0)为拐点【知识模块】 微积分14 【正确答案】 容易求得 f(x)=n1 一(n+1)x(1-x) n-1,f“(x)=n2(n+1)x-2(1 一 x)n-2令 f(x)=0,得驻点为 f(x)的极大值点,且极大值 f(x0)= ,将它与边界点函数值 f(0)=0,f(1)=0,比较得 f(x)在0,1上的最大值 M(n)=f(x0)= 且有【知识模块】 微积分15 【正确答案】 因为 f(x

16、)在a ,b上连续,所以 mf(x)M,其中 m,M 分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值则对于任意 xia,b,i=1,2,n,有 mf(x1)M, mf(x 2)M, mf(x n)M, + mnf(x1)+f(x2)+f(xn)nM,故 M由介值定理可得存在(a, b),使得【知识模块】 微积分16 【正确答案】 函数 f(x)在0 ,3上连续,则 f(x)在0,2上连续,那么其在0,2上必有最大值 M 和最小值 m,于是 mf(0)M,mf(1)M,mf(2)M,由介值定理知,至少存在一点 (0,2),使得于是便有 f()=1=f(3),满足罗尔定理条件,于是存在 (,3) (0,

17、3) ,使 f()=0【知识模块】 微积分17 【正确答案】 f(x)在(0,a)内取得极大值,不妨设在点 x=c 处取到,则 f(c)=0f(x)在0,c与c,a上分别使用拉格朗日中值定理,有 f(c)一 f(0)=cf“(1),1(0, c), f(a)一 f(c)=(a 一 c)f“(2), 2(c,a) , 所以 |f(0)|+|f(a)|=c|f“( 1)|+(a 一 c)|f“(2)|cM+(a 一 c)M=aM【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 F(x)= F(x)在1,2上连续,(1,2)内可导,且 F(2)=F(1)=f(2)一 f(1)由罗尔定理,存在 (1, 2)

18、,使 F()=0,即 f(2)一 2f(1)=f()一 f()【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因为 f(x)在(a ,b)上满足拉格朗日中值定理,所以f(x),e x 在(a,b)上满足柯西中值定理的条件,所以【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因 ,得 f(0)=0,f(0)=1因 f(x)二阶可导,故 f(x)在x=0 处的一阶泰勒公式成立,即因 f“(x)0,故 f(x)x,当且仅当x=0 时等号成立原命题得证【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(x),在点 x=a 处展开成泰勒公式,有 F(x)=F(a)+F(a)(x 一 a)+ F“()(x

19、一 a)a(ax) 令 x=b,代入式,则 F(b)=F(a)+F(a)(b 一a)+ (b 一 a)2(ab) 因 f(a)=f(b)=g(a)=0,则 F(a)=F(b)=0,且 F(a)=0,代入式,得 F“()=0即 f“()g()+2f()g()+f()g“()=0【知识模块】 微积分22 【正确答案】 将 f(x)在 x=a,x=b 处展开成泰勒公式,有令|f“()|=max|f“( 1)|,|f“( 2)|,则 (|f“(1)|+|f“(2)|) .2.|f“()|=|f“()|,故原命题得证【知识模块】 微积分23 【正确答案】 当 x=0 时,原不等式左边=1= 右边,成立当

20、 x0 时,令 f(x)=(1+x)a,则有 f(x)=(1+x)-1,f“(x)=( 一 1)(1+x)-2 由 f(x)的泰勒展开式 f(x)=f(0)+f(0)x+ , 介于 0,x 之间,可知当 x一 1,0 1 时,( 一 1)0,1+0 ,故 ,所以 f(x)f(0)+f(0)x,即 (1+x) 1+x 同理可证,当x一 1,0 或 1 时,有(1+x) 1+x【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1)令 (x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x),有 (0)=0,且 (x)=2xln 2(1+x)一 2ln(1+x),(0)=0 当 x(0,1)时,“(x)= x 一 ln

21、(1+x)0,知 (x)单调递增,从而 (x)(0)=0 ,知 (x)单调递增,则 (x)(0)=0,即(1+x)ln 2(1+x)x 2 由(1)得,当x(0,1)时,f(x)0,知 f(x)单调递减,从而 f(x)f(1)= 因为又当 x(0,1)时,f(x)单调递减,则 ,所以【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 f(x)=(x2 一 1)lnx 一(x 一 1)2,所以 f(1)=0又因为 f(x)=2xln xx+2 一 ,f(1)=0,且 所以当 x1 时,f“(x)0,知 f(x)单调递增,则 f(x)f(1)=0,从而 f(x)单调递增,故 f(x)f(1)=0,原命题成

22、立; 当 0x1 时,f“(x)0,知 f“(x)单调递减,则f“(x)f“(1)=20,从而 f(x)单调递增,故 f(x)f(1)=0,所以 f(x)单调递减,知f(x)f(1)=0 原命题成立【知识模块】 微积分26 【正确答案】 只需证明 f(x)1由 f(0)=1,只需证【知识模块】 微积分27 【正确答案】 存在正常数 M0,M 2,使得对任意 x(一 ,+),恒有 |f(x)|M0,|f“(x)|M 2由泰勒公式,有 f(x+1)=f(x)+f(x)+ 其中 介于 x 与 x+1之间,整理得 f(x)=f(x+1)一 f(x)一 所以故函数 f(x)在(一,+) 内有界【知识模块

23、】 微积分28 【正确答案】 用拉格朗日中值定理 当 a=0 时,等号成立;当 a0 时,由于f(x)在区间0,a及b,a+b上满足拉格朗日中值定 理,所以,存在 1(0,a),2(b, a+b), 1 2,使得 f(a+b) 一 f(b)一f(a) 一 f(0)=af(2)一 af(1) 因为 f(x)在(0, c)内单调减少,所以 f(2)f(1),于是, f(a+b)一 f(b)一f(a)一 f(0)0, 即f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 微积分29 【正确答案】 用拉格朗日中值定理函数 f(t)=ln t 在x,1+x上满足拉格朗日中值定理,故存在 (x,1+x),使得 l

24、n(1+x)一 ln x=f()= 因为 x1+x,所以于是有 ln(1+x)一 ln x 即【知识模块】 微积分30 【正确答案】 令 F(x)=xsin x+2cos x+x,只需证明 F(x)在(0,)上单调递增F(x)=sin x+xcosx 一 2sin x+=+xcosxsin x,由此式很难确定 F(x)在(0,)上的符号,但由F”(x)=一 xsin x0,x(0,) ,可知函数 F(x)在(0 ,)上单调递减,又 F()=0,所以 F(x)0,x(0,),于是F(b)F(a),即bsin b+2cos b+basin a+2cos a+a【知识模块】 微积分31 【正确答案】

25、 设 f(x)= 其中 ln xln e=1,所以f(x)0,即函数 f(x)单调递减因此,当 bae 时,【知识模块】 微积分32 【正确答案】 构造辅助函数 f(x)= ,则 f(0)=0,且由题设条件很难确定 的符号,但是 所以 f(x)= ,从而,当x0 时,【知识模块】 微积分33 【正确答案】 当 ,cos x=一 10,当 cos x=0 时, ,所以不等式成立当 时,构造辅助函数 f(x)= 则 f(x)= (2xcosx 一 2sin x+x3)上式中,当但是 2xcosx-2sinx+x3 的符号无法直接确定,为此,令g(x)=2xcos x2sin x+x3,则 g(0)

26、=0,且 g(x)=x2+2x(xsin x)0,所以,当 x时,g(x)=2xcos x 一 2sin x+x30【知识模块】 微积分34 【正确答案】 因题设从而 f(x)=ln(ax+cosxsin x)又 f(x)在 x=0 处连续,所以 f(0)= (x+cos xsin x)=0于是 所以 f(0)=一1【知识模块】 微积分35 【正确答案】 对于 f1(x),当 x0 时,f 1(x)=ex0,所以在(0,+)内无极值,当 x0 时,f 1(x)=(x+1)ex令 f1(x)=0,得 x1=一 1当 x一 1 时,f 1(x)0;当-1xx0 时,f 1(x)0 故 f1(一 1

27、)=一 e-1 为极小值 再看间断点 x=0 处,当一1x0 时,f 1(x)0,f 1(x)f 1(0)=0;当 x0 时, f1(x)0=f 1(0),故 f1(0)=0 为极大值 对于 f2(x),当 x0 时,f 2(x)=一 ex0,所以在(0,+)内无极值当 x0时,与 f1(x)同,f 2(一 1)=一 e-1 为极小值在间断点 x=0 处,f 2(0)=一 1当 x0 时,f2(x)一 1;当 x0 且|x|充分小时,f 2(x)为负值且|f 2(x)|1,从而有 f2(x)一1所以 f2(0)非极值【知识模块】 微积分36 【正确答案】 先证左边令其中 由于 f“(x)0,所

28、以 f(x)严格单调增加,从而 于是 (x)0,所以当 xa 时, (x)0,有 (b)0,左边得证。其中a x由于 f“(x)0,所以 f()f(x),从而 (x)0于是当 xa 时,(x)0故 (b)0证毕【知识模块】 微积分37 【正确答案】 (1)由 fn(0)=一 1, fn(x)=3x2+an0,可知存在唯一的使得 fn(rn)=0 ,故由正项级数的比较判别法,知 S=【知识模块】 微积分38 【正确答案】 由 f(0)=f(1)知,存在 (0,1)使 f()=0 令 F(x)=x2f(x),有 F(0)=0,F()= 2f()=0,故知存在 (0,) (0,1)使 F()=0 而 F(x)=2xf(x)+x2f“(x),即有 2f()+ 2f“()=0又 0,所以 2f()+f“()=0证毕【知识模块】 微积分

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