[考研类试卷]考研数学三（概率统计）模拟试卷29及答案与解析.doc

1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 Xi (i=1，2)，且满足 P(X1X2=0)=1，则 P(X1=X2)等于( )（A）0（B）（C）（D）12 设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，Y E(1)，则 P(X+Y1)等于( )（A）（B） 1 一 e（C） e（D）2e3 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一 Xa ，Yy)，则下列结论正确的是( ) （A）1 一 F(一 a，y)（B） 1 一 F(一 a，y 一 0)（C） F(+，y 一 0)一 F(

2、一 a，y 一 0)（D）F(+， y)一 F(一 a，y)4 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，yN(1，1)，则( )5 设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( )6 设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1)= ，P(X1)=P(y1)= ，则Pmin(X，Y)1)=( ) 7 设二维随机变量(X，Y)在区域 D:x2+y29a2(a0)上服从均匀分布，p=P(X2+9Y29a2)，则( )（A）p 的值与 a 无关，且 p=（B） p 的值与 a 无关，且 p=（C） p 的值随 a 值的增大而增大（D）p 的值随 a 值的增大而减少8 设(X，Y) 服

3、从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（A）X，Y 一定相互独立（B） X，Y 的任意线性组合 l1X+l2Y 服从正态分布（C） X，Y 都服从正态分布（D）=0 时 X，Y 相互独立二、填空题9 设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)=_10 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0=_11 设二维随机变量(x，y)的联合密度函数为 f(x，y)=，则 a=_，P(XY)=_12 设随机变量 XN(0， 2)，YN(0，4 2)，且 P(X1，Y一 2)= ，则P(X1，Y一 2)_三、解答题解答应写出文字说

4、明、证明过程或演算步骤。12 设 Xf(x)=13 求 F(x)；14 求15 设 X 的密度函数为 f(x)= 若 P(Xk)= ，求 k 的取值范围15 有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以X 表示红球个数16 写出 X 的分布律；17 求所取到的红球数不少于 2 个的概率17 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)=18 求常数 A，B；19 求 X 的密度函数 f(x)；20 求21 设某个系统由六个相同的元件先经过两两并联再串联而成，且各元件工作状态

5、相互独立每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布21 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)=22 求常数 A；23 求 X 在 内的概率；24 求 X 的分布函数 F(x)25 设 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)+F(a)与 1 的大小关系26 设 XN(0，1) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数27 设 XU(0，2) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数28 设总体 XU( 1， 2)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，求 1， 2 的矩估计和最大似然估计考研数学三（概率统计）模拟试卷 2

6、9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得 P(X1=一 1，X 2=一 1)=P(X1=一 1，X 2=1)=P(X1=1，X 2=一1)=P(X1=1，X 2=1)=0P(X1=一 1，X 2=0)=P(X1=一 1)= ，P(X 1=1，X 2=0)=P(X1=1)=，P(X 1=0，X 2=一 1)=P(X2=一 1)= ，P(X 1=0，X 2=1)=P(X2=1)= ，故P(X1=0，X 2=0)=0，于是 P(X1=X2)=P(X1=一 1，X 2=一 1)+P(X1=0，X 2=0)+P(X1=1，X

7、2=1)=0，选(A)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由 XU(0，2)，YE(1) 得再由 X，y 相互独立得(X ，Y)的联合密度函数为【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 C【试题解析】 P( 一 Xa，Yy)=P(X 一 a，Yy)因为 P(Yy)=P(X一a，Yy)+P(X一 a，Yy)，所以 P(X一 a，Yy)=P(Yy)一 P(X一a，Yy)=F(+，y 一 0)一 F(一 a 一 0，y 一 0)，选(C) 【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 B【试题解析】 X，Y 独立，xN(0，1)9YN(1 ，1)，X+YN(1，2) P(X+Y1)=，所

8、以选(B)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X，Y 相互独立且都服从 N(0， 4)分布，所以 xyN(0 ，8)，从而 P(X+Y0)= ，P(X 一 Y0)= ，故(C) 、(D)都不对；Pmax(X，Y)0)=1一 Pmax(X， Y)0)=1 一 P(X0，Y0)=1 一 P(X0)P(Y0)因为 XN(0，4)，YN(0 ，4) ，所以 P(X0)=P(Y0)= ，从而有 Pmax(X，Y) 0)= ，(A) 不对；Pmin(X，Y)0=P(X0，Y0)=P(X0)P(Y0)= ，选(B)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 C【知识模块】 概率统计7

9、【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)在区域 D:x2+y29a2 上服从均匀分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= p=PX2+9Y29a2=选(B)【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 A【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当 =0 时， X，Y 才相互独立，选 (A)【知识模块】 概率统计二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1， Y=1)+P(X=2，Y=0)，由 X，Y 相互独立得 P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X

10、=2)P(Y=0)【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 2(1 一 p)n 一(1 一 p)2n【试题解析】 令 A=(X=0)，B=(Y=0)，则 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B) 一P(AB) =P(X=0)+P(Y=0)一 P(X=0，Y=0)=2(1 一 p)n 一(1 一 p)2n【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 6；【试题解析】 由 1=a0+e 一 2xdx0+e 一 3ydy，得 a=6，于是 f(x，y)=PXY= 0+dx0x6e2x 一 3ydy=20+e 一 2x(1 一 e 一 3x)dx=【知识模块】 概率统计12 【正确答案】

11、【试题解析】 =P(X=0)+P(Y=0)一 P(X=0，Y=0)=2(1 一 p)n 一(1 一 p)2n【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 F(x)=PXx= 一 xf(t)dt 当 x一 1 时，F(x)=0；当一 1x0 时，F(x)=一 x(1+t)dt= 当 0x1 时，F(x)= 一 10(1+t)dt+0x(1 一 t)dt=当 x1时，F(x)=1 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 显然 k6，当 3k6 时，P(Xk)=当 1k3时，P(Xk)=

12、当 0k1 时，P(Xk)= 当 k0 时，P(Xk)=1，所以1k3【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 令 Ak=所取的为第 k 个盒子(k=1，2，3)，P(A i)= (i=1，2，3)，X 的可能取值为 0，1，2，3，P(X=0)=P(X=0|A3)P(A 3)= P(X=1)=P(X 一 1|A2)P(A2)+P(X=1|A3)P(A3) P(X=2)=P(X=2|A1)P(A1)+P(X=2|A2)P(A2)+P(X=2|A3)P(A3)P(X=3)=P(X=3|A1)P(A1)+P(X=3|A2)P(A2)= 所以 X 的分布律为 X【知识模块】 概

13、率统计17 【正确答案】 PX2=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 因为连续型随机变量的分布函数是连续的，所以有 ，解得 A=B= 【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 设 Ti=第 i 个元件的正常工作时间，T iE() ，i=1，2 ， 6F(t)=PTt)，注意Tt)表示系统在0，t 内一定正常工作则Tt=(T1t)+T2t)(T3 t)+T4 t)(T5 t)+T6 t)，又 T1，T 2，T 6 相互独立同分布，所以有 F(t)=PTt)=P(T1t)+T2t)3 而

14、 P(T1 t)+T2 t)=1一PT1t，T 2 t)=1 一 PT1 tPT 2 t=1 一1 一 FT1(t) 2 所以 T 的分布函数为F(t)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 因为 一 +f(x)dx=1，所以 1= cosxdx=2A，解得 A= 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 F(x)=PXx)= 一 xf(t)dt，当 x 时，F(x)=0 ；当当 x 时，F(x)=1，于是 X 的分布函数为【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 F(a)+F(一 a)=则当 0 时，F(a)+F( 一 a)

15、1；当 =0时，F(a)+F(一 a)=1；当 0 时，F(a)+F(一 a)1【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 f X(x)= ，一 x+当 y0时，F Y(y)=0；当 y0 时，FY(y)= 因此 fYy)=【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 f X(x)= 当 y0时， FY(y)=0；当 y0 时，F Y(y)=所以【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 (2)f(x； 1， 2)= L(x1，x 2，x n； 1， 2)=LnL(1， 2)=一 nln(2 一 1)，而 1因为 lnL(1， 2)是 1 的单调增函数，是 2 的单调减函数，所以【知识模块】 概率统计