[考研类试卷]考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷51及答案与解析.doc

1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 51 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0，则( )（A）A 和 B 不相容(互斥)（B） AB 是不可能事件（C） AB 未必是不可能事件（D）P(A)=0 或 P(B)=02 设 A1，A 2 和 B 是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)，则( )（A）P(A 1A2)=P(A1)+P(A2)（B） P(A1A2)=P(A1|B)+P(A2|B)（C） P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)（D）P(A 1

2、A2)3 A，B，C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件( )（A）A，B，C 两两独立（B） P(ABC)=P(A)P(B)P(C)（C） P(A 一 B)=1（D）P(A 一 B)=04 假设 X 是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y 的分布函数( )（A）是连续函数（B）是阶梯函数（C）恰有一个间断点（D）至少有两个间断点5 设随机变量 X 的密度函数为 fY(x)，Y=一 2X+3，则 Y 的密度函数为( )6 设随机变量 Xi (i=1，2)且满足 PX1X2=0=1，则 PX1=X2等于( )（A）0（B）（C）（D）17 设两个相互独立

3、的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( )8 对任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X 与 Y 独立（D）X 与 Y 不独立9 随机变量 XN(0，1) ，YN(1 ，4)，且相关系数 XY=1，则( )（A）PY=一 2X 一 1=1（B） PY=2X 一 1=1（C） PY=一 2X+1=1（D）PY=2X+1=110 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，依概率收敛于其数学期望，只要X n：n1( )（A

4、）有相同的期望（B）有相同的方差（C）有相同的分布（D）服从同参数 p 的 0 一 1 分布11 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X 2，X 10 是取自总体 X 的简单随机样本，统计量 (1i 10)服从 F 分布，则 i等于( )（A）5（B） 4（C） 3（D）2二、填空题12 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为_。13 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球，第二个箱中有 3 个黑球和 3个白球，第三个箱子中有 3 个黑球与 5 个白球。现随机地选取一个箱子，从中任取1 个球，则这个球为白球的概率是_；若已发现取出的

5、这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是_。14 假设 X 服从参数 A 的指数分布，对 X 做三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 ，则 =_。15 设随机变量 XN(， 2)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 05，则=_。16 设平面区域 D 由曲线 及直线 y=0，x=1 ，x=e 2 所围成，二维随机变量(X， Y)在区域 D 上服从均匀分布，则 (X，Y)关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为_。17 已知随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y1=X1，Y 2=X2 则 Y1 一 Y2 服从_ 分布，参数为_。18

6、 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X ， Y)作 4 次独立重复观察，观察值 X+Y 不超过 1 出现的次数为 Z，则 E(Z2)=_。19 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 05，E(X)=E(Y)=0，E(X 2)=E(Y2)=2，则E(X+Y)2=_。20 设总体 X 的概率密度函数为 f(x)= e|x|(一x+)，X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，其样本方差为 S2，则 E(S2)=_。21 设总体 X 的概率密度函数为 f(x；)= 其中 001 是位置参数，c 是常数， X1，X 2，X n

7、是取自总体 X 的简单随机样本，则c=_； 的矩估计量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设事件 A 与 B 互不相容，P(A)=0 4，P(B)=0 3，求23 随机地向圆 x2+y2=2x 内投一点，该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令 X 表示该点与原点的连线与 x 轴正半轴的夹角，求 X 的分布函数和概率密度。24 编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 求(X 1，X 2)的联合分布。25 设以 X 表示某一推销员一天花费在汽油上的款项 (以美元计)，以 Y 表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知

8、X 和 Y 的联合概率密度为()求边缘概率密度 fX(x)，fY(y)；( )求条件概率密度 fY|X(y|x)，f X|Y(x|y)；()求 x=12 时 Y 的条件概率密度；()求条件概率 PY8|X=12。26 假设随机变量 x 与 y 相互独立，如果 X 服从标准正态分布， Y 的概率分布为PY=一 1= ，PY=1= ，求：()Z=XY 的概率密度 fZ(z)；()V=|X Y|的概率密度 fV()。27 设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为：()求 P(x=2y)；()求 Cov(XY，Y)。28 设总体 X 的概率密度 f(x)= 其中 a 是常数， 0 是未知参数，从总体

9、 X 中抽取样本 X1，X 2，X n。求：()常数 a；()求 的最大似然估计量 。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 51 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 不可能事件与零概率事件之间的区别和联系：不可能事件发生的概率为零，但零概率事件未必是不可能事件。由 P(AB)=0 不能推出 AB 是不可能事件，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知，P(A 1A2|B)=0，但是这不能保证 P(A1A2)=0 和 P(A1A2| )=0，故选项 A 和 D 不成立。由于 P(A1

10、|B)+P(A2|B)=P(A1A2)|B)未必等于P(A1+A2)，因此 B 一般也不成立。由 P(B)0 及 P(A1A2)|B)=P(A1|B)+P(A2|B)，可见选项 C 成立：【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 当 P(AB)=1 成立时， =1，由 P(A) =1，得 P(A)=1。同理， =1，故 P(B)=0。再由多个事件相互独立的条件，易知 A、B、C相互独立。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 对任意实数 t，根据概率性质得 0PX+Y=t=PX+Y=t，X=a+PX+Y=t，x=b=PY=t 一 a，X=a+PY=

11、t 一 b，X=bPY=t 一 a+PY=t 一 b，又 Y 是连续型随机变量，所以对任意实数 c，有 PY=c=0。故对任意实数t，PX+Y=t=0 X+Y 的分布函数是连续函数，因此选 A。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 y=一 2x+3 是 x 的单调可导函数，其反函数根据随机变量函数的公式：故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 由 PX1X2=0=1 得知，PX 1X20=0。于是根据 X1X2 的分布律，有PX1=一 1，X 2=一 1=0，PX 1=一 1，X 2=1=0。PX 1=1，X 2=一 1=0，

12、 PX1=1，X 2=1=0。再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X1，X 2)的联合分布律如下表。由上表显然可见，X1=X2 有三种情况，每种情况的概率均为 0，因此 PX1=X2=0，故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由于 XN(0，1)与 YN(1 ，1)以及 X 与 Y 相互独立，得X+YN(1，2)，XYN(一 1，2) 。因为，若 ZN(， 2)，则必有 PZ=或 PZ= 。比较四个选项，只有选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D(x+Y)=D(x)+D(Y)+2E(XY)

13、一 E(X).E(Y)，可见 D(X+Y)=D(X)+D(Y) E(XY)=E(X).E(Y)，故选项 B 正确。对于随机变量 X 与 Y，下面四个结论是等价的。Cov(X，Y)=0；X 与 Y 不相关；E(XY)=E(X)E(Y)；D(X+Y)=D(X)+D(Y)。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 设 Y=aX+b，因为 XY=1，得 X，Y 正相关，得 a0，排除选项A、C。由 XN(0，1) ，YN(1 ，4)，可得 E(X)=0，E(Y)=1，所以 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a0+b=1，所以 b=1。排除选项 B。故选择 D。【知识模块】

14、 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1，X 2，X n，相互独立的条件之外，还要求 X1，X 2，X n，同分布与期望存在。只有选项 D 同时满足后面的两个条件，应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，统计量 YF(m，n)，所以 解得i=2，选择 D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 这是一个几何概型，设 x，y 为所取的两个数，则样本空间=(x，y)|0 x，y1 ，记 A=(x，y)|(x ，y) ，|x 一 y| 。所以 P(A)=，其中 SA，

15、S分别表示 A 与 的面积。【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“取到第 i 箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，则第一个空应为 P(B)，第二个空应为 P( |B)。显然 A1，A 2，A 3 是一完备事件组，由题意可得 P(Ai)= ， i=1，2，3， P(B|A1)= ，P(B|A 2)= ，P(B|A 3)= 根据全概率公式和贝叶斯公式，可得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 根据独立试验序列概型，可求得结果。事实上，已知记 A=X2，Y 为对 X 做三次独立重复观察事件 A发生的次数，则 YB(3，p)，其中

16、 p=PX2= 2+ex=e2，依题意 PY1=1一 PY=0=1 一(1 一 p)3= ，故 1 一 P= ，p= ，又 P=e2，由 =e2，解得 =。【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 4【试题解析】 设事件 A 表示“二次方程 y2+4y+x=0 无实根”，则 A=164X0=X 4，依题意，有【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 区域 D 的面积为 因此(X ，Y)的联合概率密度是 且其关于 x 的边缘概率密度为因此可知 fX(2)= 。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 正态；【试题解析】 Y 1 一 Y2=X1 一 X2+ 所

17、以 Y1一 Y2 为多个相互独立正态变量和，且服从正态分布。又 E(Y1 一 Y2)=0，D(Y 1 一Y2)= 故 Y1 一 Y2 。【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 5【试题解析】 根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为令事件 A=“X+Y1”，则 Z 是 4 次独立重复试验事件 A 发生的次数，故 ZB(4，p)，其中如图 341 所示p=P(A)=PX+Y1所以 E(Z2)=D(Z)+E(Z)2=4=5。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 6【试题解析】 由已知条件得，D(X)=E(X 2)一 E2(X)=2，同理，D(Y)=2。则有E(X+Y)=E(

18、X)+E(Y)=0， E(X+Y)2=D(X+Y)+E2(X+Y)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=2+2+2=6。【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 2【试题解析】 显然 E(S2)=D(X)，而 D(X)=E|XE(X)2。E(X)= +dx=+xe|x|dx= xe xdx+xx|dx= ex(xex 一 ex)|+e(一 xexex|+=。D(X)= +(x 一 )2 e|x|dx=0+t2etdt=20+tetdt=2。【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可知，1= +f(x；)dx= 01xdx+12(1 一

19、cx)dx=(41)，因为 0，因此， 的矩估计量【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 因 A 与 B 互不相容，所以 AB= B，故 =1 一P(AB)=1P(A)一 P(B)+P(AB)=03，【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 令 F(x)为 X 的分布函数，则 F(x)=PXx，由于 F(x)=0 的取值范围为0 ， ，因此当 x0 时，F(x)=0；当 x 时，F(x)=1 。当 0x ，Xx 所代表的区域如图 325 中阴影部分。 现计算它的面积，如图所示，阴影部分可分为两个三角形和两个扇形。其中每个三角形

20、的面积均为 S1=11sin( 一 2x)= sin2x，每个扇形的面积均为 S2= 2x12=x，则阴影部分的总面积 S(x)=sin2x+2x，所以【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 先求出置的分布，而后再求得联合分布的部分值，从而求得联合分布。如果将 3 个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为3!=6，PX 1=1=P1 号球落入 1 号盒= ，PX 1=0=1 一 ，同理，PX 2=1= ，PX 2=0= 又 PX1=1，X 2=1=P1 号球落入 1 号盒，2 号球落入 2 号盒=，依次可求得(X 1，X 2)的联合分布为【知识模块】 概率论与数理统计25 【

21、正确答案】 () 如图 335 所示()(1)当 10x20 时， fX(x)0，条件概率密度 fY|X(y|x)存在。(2)当 10x20 时，有 (3)当 5y10 或10y20，f Y(y)0，f Y|X(y|x)存在。当 5y10 时，(4)当10y20 时，fY|X(y|x)是单个自变量 x 的函数，y 是一个固定值。()当 x=12 时 Y 的条件概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () 根据题意 PY=一 1= ，PY=1 ，X N(0 ，1)且 X 与 Y相互独立，所以 Z=XY 的分布函数为 FZ(z)=PXYz=PY=一 1PXYz|Y=一 1+Py

22、=1PXYz|y=1=PY=一 1P一 Xz|Y=一 1+PY=1PXz|Y=1=PY=一1PX一 z+PY=1PXz即 Z=XY 服从标准正态分布，所以其概率密度为 fZ(z)=(z)= ()由于 V=|X 一 Y|只取非负值，因此当 0 时，其分布函数 FV()=P|X 一 Y|=0；当 0 时，F V()=P一XY=PY=一 1P一 XY|Y=一 1+PY=1P一 XY|Y=1综上计算可得， 由于 FV()是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以 V 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()P(X=2Y)=p(X=0，Y=0)+P(X=2，Y=1)= ()

23、Cov(X 一 Y，Y)=Cov(X ，Y) 一Cov(Y，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY，其中 E(X)= ，E(X 2)=1，E(Y)=1，E(Y 2)= ，D(X)=E(X 2)一 E2X=1 一 D(Y)=E(Y2)一 E2Y=所以，Cov(X，Y)=0 ，Cov(Y，Y)=D(Y)= ，Cov(X Y，Y)=【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 () 由于 1=+f(x)dx=0+ ()设样本 X1，X 2，X n 的一组取值为 x1，x 2，x n，则似然函数当 xi0(i=1 ，2，n) 时，取对数得 得 的最大似然估计量【知识模块】 概率论与数理统计