[考研类试卷]考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷55及答案与解析.doc

1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 XN(， 2)，则 P(X 2)( )（A）与 及 2 都无关（B）与 有关，与 2 无关（C）与 无关，与 2 有关（D）与 及 2 都有关2 设(X，Y) 服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（A）X，Y 一定相互独立（B） X，Y 的任意线性组合 l1Xl 2Y 服从正态分布（C） X，Y 都服从正态分布（D）0 时 X，Y 相互独立3 设随机变量 XF(m，n)，令 PXF a(m，n)(0 1)，若 P(Xk)a，则k 等于( ) （A）F

2、a(m,n)（B） F1a (m,n)（C）（D）4 连续独立地投两次硬币，令 A1第一次出现正面)，A 2 第二次出现正面)，A3两次中一次正面一次反面 ，A 4两次都出现正面，则( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A1，A 2，A 3 两两独立（C） A2，A 3，A 4 相互独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立5 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0， )，Y N(1 ， )，则与 ZYX 同分布的随机变量是( ) （A）XY（B） XY（C） X2Y（D）Y2X二、填空题6 设 P(A)06，P(B)05，P(AB)04，则 P(BA) _，P(AB)_7

3、设随机变量 X 的分布律为 X ，则 c_8 设离散型随机变量 X 的分布函数为 则YX 21 的分布函数为_9 设随机变量 X 在1，2上服从均匀分布，随机变量 Y ，则D(Y) _10 设 D(X) 1，D(y) 9， XY03，则 Cov(X，Y)_11 设 UN(，1),V 2(n)，且 U，V 相互独立，则 T 服从_分布12 一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为_13 设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0) ，P(X0)P(Y0) ，则Pmax(X，Y)0)_14 设总体 XN(， 2)， X1，

4、X 2，X n 是来自总体 X 的样本，S 2，则 D(S2)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 10 件产品有 3 件次品，7 件正品，每次从中任取 1 件，取后不放回，求下列事件的概率：(1)第三次取得次品； (2) 第三次才取得次品；(3)已知前两次没有取到次品，第三次取得次品； (4)不超过三次取到次品16 设 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(a)F(a)与 1 的大小关系17 设 X 在区间2,2 上服从均匀分布，令 Y求：(1)Y， Z 的联合分布律； (2)D(YZ)18 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，对 X 独立

5、地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 3 的次数，求 E(Y2)19 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2)，再设UaXby， VaX by ，其中 a，b 为不相等的常数求： (1)E(U)，E(V) ，D(U)，D(V)， UV； (2)设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系20 设总体 X 的密度函数为 f(x，) (x)，求参数 的矩估计量和最大似然估计量21 甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50(1)甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；(2)甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率22 设随机变

6、量 XE()，令 Y 求 P(XY 0)及 FY(y)23 设 D(x，y)0x1，0y1)，所以变量(X，Y) 在区域 D 上服从均匀分布，令 Z (1)令 UXZ ，求 U 的分布函数；(2)判断 X，Z 是否独立24 设随机变量(X，Y) 在区域 D(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布，令(1)求(U，V) 的联合分布； (2)求 UV25 设总体 XN(0，1) ，(X 1，X 2，X m，X m1 ，X mn )为来自总体 X 的简单随机样本，求统计量 所服从的分布考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 55 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

7、1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 P(X2)P(2 X2) P( 2 2)(2)( 2)为常数，选 (A)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当 0 时，X，Y 才相互独立，选(A) 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 根据左右分位点的定义，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 P(A 1)P(A 2) ，P(A 3)，P(A 1A1) ，P(A 13)P(A 1 ，P(A 23) ，因为 P(A3A4)0，所以A2，A 3，

8、A 4 不两两独立，(C)、(D) 不对；因为 P(A1A2A3)0P(A 1)P(A2)P(A3)，所以 A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 ZYXN(1，1)，因为 XYN( 1，1)，X Y N(1，1)，X2YN ，Y2XN ，所以选(B)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 03，09【试题解析】 因为 P(AB)P(A) P(AB)，所以 P(AB)02，于是 P(BA) P(B) P(AB)050203，P(AB)P(A)P(B)P(AB)06050209【知识模块】 概率论与数理

9、统计7 【正确答案】 【试题解析】 由 cc 2 c 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 X 的分布律为 X ，Y 的可能取值为1，2，10，P(Y 1)P(X0) ,P(Y2)P(X1) ，P(Y10)P(X3)，于是 Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 的密度函数为 f(x) 随机变量 Y的可能取值为1，0，1，P(Y1)P(X 0) 1 0 ，P(Y 0)P(X0)0，P(Y 1) P(X0) ，Y 的分布律为 Y ，E(Y) ，E(Y 2) 1，则 D(Y)E(Y 2)E(Y) 2 【知识模块】 概率论与

10、数理统计10 【正确答案】 09【试题解析】 Cov(X，Y) XY 031309【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 Tt(n)【试题解析】 由 UN(，1)，得 UN(0，1)，又 U，V 相互独立，则 Tt(n)【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 令 Ai所取产品为 i 等品(i1，2，3)，P(A 1)06，P(A 2)03，P(A 3)01，所求概率为 P(A1A 1A 2)【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 令X0A，(Y0)B，则有 P(AB) ，P(A)P(B) ，故Pmax(X，Y)01Pmax(X，Y)01

11、P(X0，Y 0)1P( )P(AB) P(A)P(B)P(AB) 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设 Ai第 i 次取到次品(i1，2，3)(实验还没用开始，计算前两次都取不到次品，且第三次取到次品的概率)(3)P(A3 (已知前两次已发生的结果，唯一不确定的就是第三次)【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 F(a) F(a) 则当 0 时，F(a) F(a)1；当 0 时，F(a)F(a) 1；当 0 时，F(a)F(a)1【知识模块】 概率论与数

12、理统计17 【正确答案】 (1)因为 X 在区间2，2 上服从均匀分布，所以(Y，Z)的可能取值为(1，1)，(1，1) ，(1， 1)，(1，1)P(Y1，Z 1)P(X1，X1) P(X1) 2 1P(Y1，Z1)P(X1，X1)0；P(Y1，Z1)P(X1，X1)P(1X1) 1 1 P(Y1，Z1)P(X1，X1)P(X1) 12 (Y,Z)的联合分布律为则 D(YZ)2【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 显然 YB(4，p)，其中 pP(X3)1P(X3)，因为 XE，所以 FX(x) 从而 p1F X(3)e 1 由 E(Y)4e 1 ，D(Y)4e 1 (1e 1

13、)，得 E(Y2)D(Y)E(Y)24e 1 4e 2 16e 2 4e 1 12e 2 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 (1)E(U) E(aXbY)0，E(V) E(aXbY) 0，D(U)D(V)(a 2b 2)2Cov(U，V)Cov(aX bY，aXbY)a 2D(X)b 2D(Y)(a 2b 2)2(2)U，V 不相关UV0 ab，由 ab ab0【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 显然 E(X)0，E(X 2) x2f(x,)dx 2(3)2 2，由 E(X2)A 2 ，得 的矩估计量为 L(x1，x 2，x n，) ，则 lnL(x1，x 2，x

14、 n，)nln(2) x i，由lnL(x1，x 2，x n，) x i0，得 的最大似然估计值为x i，则参数 的最大似然估计量为 x i【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (1)设 A 甲击中目标，B 乙击中目标 )，C击中目标 ，则 C AB ， P(C)P(A B)P(A)P(B) P(AB)P(A)P(B) P(A)P(B)0605060508(2) 设 A1 选中甲，A 2选中乙 ，B目标被击中 ，则 P(A1)P(A 2) ，P(B A 1)06，P(B A 2)05，【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 P(XY0)P(YX)P(X1)P(X1)P(X

15、1)P(X1)1P(X1)1F X(1)e FY(y)P(Yy)P(Yy，X1)P(Yy，X1)P(Xy，X1)P(Xy，X 1)P( Xy，X 1)P(Xy，0X1)P(Xy，X1)当 y1 时，F Y(y)P(Xy)e y；当1y0 时，F Y(y)P(X1) e ；当 0y1 时，F Y(y)P(Xy)P(X1)1e y e ；当 y1 时，F Y(y)P(0X1)P(X1)1，【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 (1)随机变量(X，Y) 的联合密度为U 的分布函数为 F(x)PUx，当 x0 时，F(x)0；当 x2 时，F(x)1；当 0x1 时，F(x)XZxPZ0，

16、Xx)PXY，Xx 0xdxx1dy 0x(1x)dxx ；当 1x2 时，F(x)PZ0，Xx)P(Z1，Xx 1PX Y， X1PXY，Xx1) 0x1 dx0xdy (x1) 2，故 U 的分布函数为 F(x)(2)设(X，Z)的分布函数为 F(x，z)，【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)P(XY) ，P(X2Y) ，P(YX2Y) ，(U,V)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)P(U0，V1)P(XY，X2Y)0；P(U1，V0)P(XY，X2Y)P(YX2Y) ；P(U0，V 0)P(XY，X2Y)P(XY) ；P(U1，V1) 1 (U，V)的联合分布律为 (2)由(1)得 UV ，则Cov(U,V) E(UV)E(U)E(V) 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计