[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷100及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 100 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，已知 r(A)=2，并且 A 满足 A2 一 2A=0则下列各标 准二次型 (1)2y 12+2y22 (2)2y12 (3)2y 12+2y32 (4)2y 22+2y32 中可用正交变换化为 f 的是( )（A）(1)（B） (3)，(4)（C） (1)，(3)，(4)（D）(2)2 设（A）A 与 B 既合同又相似（B） A 与 B 合同但不相似（C） A 与 B 不合同但相似（D）A 与 B 既不合同又不相似3 则( )

2、中矩阵在实数域上与 A 合同（A）（B）（C）（D）二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 是一个 n 维非零实列向量构造 n 阶实对称矩阵 A，使得它的秩=1，并且 是 A 的特征向量，特征值为非零实数 5 设 B 是 3 阶实对称矩阵，特征值为 1，1，一 2，并且 =(1，一 1，1) T 是 B 的特征向量，特征值为一 2求 B6 已知实对称矩阵 A 满足 A3+A2+A 一 3E=0，证明 A=E7 设 A 为实矩阵，证明 ATA 的特征值都是非负实数7 设 A 为反对称矩阵，则8 若 k 是 A 的特征值，一 k 一定也是 A 的特征值9 如果它的一个特征向量 的

3、特征值不为 0，则 T=010 如果 A 为实反对称矩阵，则它的特征值或为 0，或为纯虚数10 用配方法化下列二次型为标准型11 f(x1，x 2， x3)=x122x22+2x1x22x1x3+2x2x312 f(x1，x 2， x3) =x1x2+x1x3+x2x313 已知二次型 2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)可用正交变换化为 y12+2y22+5y32，求 a和所作正交变换13 设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=xTAx=ax12+2x12 一 2x32+2bx1x3，(b0) 其中 A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 1214 求 a，b15 用正交变换

4、化 f(x1，x 2，x 3)为标准型15 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1 一 a)x12+(1 一 a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 216 求 a17 求作正交变换 X=QY，把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形18 求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解19 二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=QY 下化为 10y12 一 4y22 一 4y32，Q的第 1 列为 (1)求 A(2) 求一个满足要求的正交矩阵 Q20 求作一个 3 阶可逆矩阵 P，使得 PTAP 是对角矩阵21 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12

5、+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3 的正惯性指数为 2，a 应满足什么条件?21 设 A 是一个可逆实对称矩阵，记 Aij 是它的代数余子式二次型22 用矩阵乘积的形式写出此二次型23 f(x1，x 2， ，x n)的规范形和 XTAX 的规范形是否相同? 为什么?24 判断 A 与 B 是否合同，其中25 二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a1)x 32+2x1x32x2x3 求 f(x1，x 2，x 3)的矩阵的特征值 如果 f(x1，x 2，x 3)的规范形为 y12+y22，求 a26 a 为什么数时二次型 x12+3x22+2x32+2ax2

6、x3 用可逆线性变量替换化为 2y12 一3y22+5y32?27 已知 A 是正定矩阵，证明A+E128 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32+2x1x22x1x3+4x2x3 当 满足什么条件时 f(x1，x 2，x 3)正定?29 已知二次型 f(x1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn+anx1)2a 1，a 2，a n 满足什么条件时 f(x1，x 2，x n)正定?30 设 (1)求作对角矩阵 D，使得 B 一 D(2)实数k 满足什么条件时 B 正定?31 设 A 和 B 都是 mn 实矩阵，满足 r(A+B)=n，

7、证明 ATA+BTB 正定32 设 A 是 m 阶正定矩阵，B 是 mn 实矩阵，证明： BTAB 正定 r(B)=n32 设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A2+2A=0，并且 r(A)=233 求 A 的特征值34 当实数 k 满足什么条件时 A+kE 正定?34 设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，并且 A 正定证明：35 存在可逆矩阵 P，使得 PTAP，P TBP 都是对角矩阵；36 当充分小时，A+B 仍是正定矩阵37 设 其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵证明 c 正定 A，B 都正定37 设 是正定矩阵，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵记38 求 PTDP39 证明

8、BCTA-1C 正定40 二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=QY 下化为 y12+y22，Q 的第 3 列为求 A证明 A+E 是正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 100 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样从条件可知，A 的特征值为 0，2，2(1)，(3)，(4)这 3 个标准二次型的矩阵的特征值都是 0，2，2(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 A

9、 与 B 都是实对称矩阵，判断是否合同和相似只要看它们的特征值：特征值完全一样时相似，特征值正负性一样时合同此题中 A 的特征值和 B 的特征值都是 4，0，0，0，从而 A 与 B 既合同又相似【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 T 是 n 阶实对称矩阵，秩为 1，并且 是 T 的特征向量，特征值为 T=(，)和题目要求只差在 的特征值上于是记 c=( ，)，设A=cT，则 A 是 n 阶实对称矩阵，秩=1，并且 A=cT=c(，)=【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 记 A=B 一 E，则

10、A 是 3 阶实对称矩阵，特征值为 0，0，一 3，因此秩为 1用上题的结论，可知 A=cT，其中 c=一 3(，)=一 1，即 A=一T于是【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，所以 A 可相似对角化要证本题的结论只用证 A 的特征值只有 1 一个设 是 A 的特征值，则 是实数，并且应满足3+2+ 一 3=0，即( 1)(2+2+3)=0此方程的实数解只有 1，因此 =1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A TA 是实对称矩阵，特征值都是实数设 是 ATA 的一个特征值， 是属于 的一个实特征向量，则 ATA=于是 TATA=T，即(，) 0，(A ，A)0

11、 ，因此 0【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 若 k 是 A 的特征值，则 k 也是 AT 的特征值而 AT=一 A，于是一k 是 A 的特征值【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 设 的特征值为 ，则 A= T=TA=(AT)T=(一 A)T=一 T 不为 0，则 T=0【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A 为实反对称矩阵，则由上例知道，一 A2=ATA 的特征值都是非负实数，从而 A2 的特征值都是非正实数设 是 A 的特征值，则 2 是 A2 的特征值，因此 20，于是 为 0，或为纯虚数【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】

12、 f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22+2x1x22x1x3+2x2x3=x2+2x1x22x1x3+(x2一 x3)2一(x 2 一 x3)2+2x32+2x2x3=(x1+x2 一 x3)2+x22+4x2x3 一 x32=(x1+x2 一 x3)2+x22+4x2x3+4x32 一 5x22=(x1+x2 一 x3)2+(x2+2x3)2 一 5x32令 原二次型化为 f(x1,x2,x3)=y12+y22 一 5y32从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 这个二次型没有平方项，先作一次变换f(x1，x 2，x 3)=y12 一 y22+

13、2y1y3虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：y 12 一 y22+2y1y3=(y1+y3)2 一 y22 一 y32则 f(x1，x 2，x 3)=x12 一 x22 一 x32 变换公式为变换矩阵【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 原二次型的矩阵 A 和化出二次型的矩阵 B 相似于是A=B=10而A=2(9 一 a2)，得a2=4，a=2 A 和 B 的特征值相同，为 1，2，5对这 3 个特征值求单位特征向量对于特征值 1： 得(AE)X=0 的同解方程组得属于 1 的一个特征向量 1=(0，1，一 1)T，单位化得对于特征值 2： 得(A 一2E)X=

14、0 的同解方程组 得属于 2 的一个单位特征向量 2=(1，0，0) T对于特征值 5： 得(A 一 5E)X=0 的同解方程组 得属于 5 的一个特征向量 3=(0，1，1) T，单位化得令 Q=(1， 2， 3)，则正交变换 X=QY 把原二次型化为y12+2y22+5y32。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由条件知，A 的特征值之和为 1，即 a+2+(一 2)=1，得 a=1特征值之积=一 12，即A= 一 12，而得 b=2(b0) 则【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 得 A 的特征值为 2(二重) 和一 3(一重) 对特征值 2 求两个单位正

15、交的特征向量，即(A 一2E)X=0 的非零解 得(A 一 2E)X=0 的同解方程组 x1 一 2x3=0，求出基础解系 1=(0，1，0) T， 2=(2，0，1) T它们正交，单位化： 1=1， 2= 方程 x1 一 2x3=0 的系数向量(1 ，0，一 2)T 和1， 2 都正交，是属于一 3 的一个特征向量，单位化得 作正交矩阵 Q=(1,2,3)，则 作正交变换 X=QY，则它把 f 化为Y 的二次型 f=2y12+2y22 一 3y32【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 此二次型的矩阵为 则 r(a)=2， A=0 求得A =一 8a，得 a=0【知识

16、模块】 线性代数17 【正确答案】 得 A 的特征值为 2，2，0对特征值 2 求两个正交的单位特征向量：得(A 一 2E)X=0 的同解方程组 x1x2=0，求出基础解系 1=(0，0，1) T， 2=(1，1，0) T它们正交，单位化：方程 x1 一 x2=0 的系数向量(1，一 1，0) T 和 1， 2 都正交，是属于特征值 0 的一个特征向量，单位化得 作正交矩阵Q=(1,2,3)，则 作正交变换 X=QY，则 f 化为 Y 的二次型f=2y12+2y22【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 f(x)=x 12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32于是 f(x

17、1，x 2，x 3)=求得通解为： ,c 任意【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 标准二次型 10y12 一 4y22 一 4y32 的矩阵为则 Q-1AQ=QTAQ=B，A 和 B 相似于是 A 的特征值是10，一 4，一 4(1)Q 的第 1 列 是 A 的属于 10 的特征向量，其 倍 1=(1，2，3) T 也是属于 10 的特征向量于是 A 的属于一 4 的特征向量和(1 ，2，3) T 正交，因此就是方程 x1+2x2+3x3=0 的非零解求出此方程的一个正交基础解系 2=(2，一 1，0) T， 建立矩阵方程A(1， 2， 3)=(101，一 42，一 43)，用初等变换法

18、解得 (2)将 2， 3 单位化得 则正交矩阵Q=(1,2,3)满足要求【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX=x12+4x22 一 2x32 一 4x1x2+4x2x3=(x1 一 2x2)2一 2x32+4x2x3=(x1 一 2x2)2 一 2(x2 一 x3)2+2x22令 原二次型化为f(x1，x 2，x 3)=y12 一 2y22+2y32从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 用其矩阵的特征值做f(x 1，x 2，x 3)的矩阵为A 的特征值为0 和 2 一(a+2)+2a 一 2的两个根于是正惯性指

19、数为 2 2 一(a+2)+2a-2的两个根都大于 0 (a+2)和 2a-2 都大于 0(用韦达定理)于是得 a1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由于 A 是实对称矩阵，它的代数余子式 Aij=Aji， ，并且 A-1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是 AijA，于是 f(x1，x 2，x n)=XTA一 1X【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 一 1 的特征值和 A 的特征值互为倒数关系，因此 A 一 1 和 A 的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而 A 一 1 和 A 合同，f(x 1，x 2

20、，x n)和 XTAX 有相同的规范形【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 用惯性指数，看它们的正负惯性指数是否都一样B 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 1A 的惯性指数可通过对二次型 XTAX 进行配方法化标准形来计算X TAX=x12+4x22 一 2x32 一 4x1x24x 2x3=(x1 一 2x2)2 一 2x32 一 4x2x3=(x1一 2x2)2 一 2(x3+x2)2+2x22，令 则 XTAX=y12 一 2y22+2y32，于是 A 的正惯性指数也为 2，负惯性指数也为 1A 与 B 合同【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)的矩阵

21、为 记则 A=B+aE求出 B 的特征多项式E 一B= 3+2 2=(+2)( 一 1)，B 的特征值为一 2，0，1，于是 A 的特征值为 a-2，a，a+1 因为 f(x1，x 2，x 3)的规范形为 y12+y22 时，所以 A 的正惯性指数为2，负惯性指数为 0，于是 A 的特征值 2 个正，1 个 0，因此 a=2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 就是看 a 为什么数时它们的矩阵合同写出这两个二次型的矩阵B 的特征值是 2 正 1 负又看出 1 是 A 的特征值，于是 A 的另两个特征值应该 1 正 1 负，即A0求得A=6a 2，于是 a 满足的条件应该为：【知识模块】 线

22、性代数27 【正确答案】 此题用特征值较简单设 A 的特征值为 1， 2， n，则 A+E的特征值为 1+1， 2+1， n+1因为 A 正定，所以i0， i+11(i=1，2，n)于是A+E =( 1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 用顺序主子式此二次型的矩阵 它的顺序主子式的值依次为 1，4 一 2，4(2 一 2)于是， A 应满足条件 4 一 20，2一 20，解出 (一 2，1)时二次型正定【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 按正定的定义来检查显然对任何(x 1，x 2，x n)，f(x1，x 2， xn)0并且等号成立的充要条件为x1+a

23、1x2=x2+a2x3=xn+anx1=0于是，f(x 1，x 2，x n)正定的充要条件为齐次方程组 没有非零解，即其系数矩阵 可逆A=1+(一 1)n-1a1a2an于是，f 正定的充要条件为 a1a2an(一 1)n【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)A 是实对称矩阵，它可相似对角化，从而 B 也可相似对角化，并且以 B 的特征值为对角线上元素的对角矩阵和 B 相似求 B 的特征值：EA=( 一 2)2，A 的特征值为 0，2，2，于是 B 的特征值为 k2 和(k+2) 2，(k+2) 2则 B 一 D(2)当 k 为0 和一 2 的实数时，B 是实对称矩阵，并且特征值都大

24、于 0，从而此时 B 正定【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 用正定的定义证明 显然 ATA，B TB 都是 n 阶的实对称矩阵，从而 ATA+BTB 也是 n 阶实对称矩阵 由于 r(A+B)=n，n 元齐次线性方程组(A+B)X=0 没有非零解于是，当 是一个非零 n 维实的列向量时，(A+B)0 ，因此 A与 B 不会全是零向量，从而 T(ATA+BTB)=TATA+TBTB=A2+B20根据定义，A TA+BTB 正定【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 “”B TAB 是 n 阶正定矩阵，则 r(BTAB)=n，从而 r(B)=n “” 显然 BTAB 是实矩阵，并且(B

25、TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，因此，B TAB 是实对称矩阵因为 r(B)=n，所以齐次线性方程组 BX=0 只有零解，即若 X 是 n 维非零实列向量，则 BX0再由 A 的正定性，得到 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0由定义知，BTAB 正定【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，所以 A 的特征值都是实数 假设 是 A的一个特征值，则 2+2 是 A2+2A 的特征值而 A2+2A=0，因此 2+2=0，故 =0或一 2又因为 r(A 一 0E)=r(A)=2，特征值 0 的重数为 3 一 r(A 一 0E)=1，所以

26、一2 是 A 的二重特征值A 的特征值为 0，一 2，一 2【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 A+kE 的特征值为 k，k 一 2，k 一 2于是当 k2 时，实对称矩阵 A+kE 的特征值全大于 0，从而 A+kE 是正定矩阵当 k2 时，A+kE 的特征值不全大于 0，此时 A+kE 不正定【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 因为 A 正定，所以存在实可逆矩阵 P1，使得 P1TAP1=B作B1=P1TBP1，则 B1 仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵 Q，使得 QTB1Q 是对角矩阵令 P=P1Q，则 P TAP=QTP1TAP1Q=E，P TBP=Q

27、TP1TBP1Q=QTB1Q因此 P 即所求【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 设对(1)中求得的可逆矩阵 P，对角矩阵 PTBP 对角线上的元素依次为 1， 2， n,记 M=max 1， 2， ， n 则当1M 时，E+P TBP 仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+i0，i=1，2，n于是 E+PTBP 正定，P T(A+B)P=E+PTBP，因此 A+B也正定【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 显然 C 是实对称矩阵 A，B 都是实对称矩阵于是 A，B 的特征值合起来就是 C 的特征值如果 C 正定，则 C 的特征值都大于 0，从而 A，B的特征值都大于 0，A，B 都正定反

28、之，如果 A，B 都正定，则 A，B 的特征值都大于 0，从而 C 的特征值都大于 0，C 正定【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数38 【正确答案】 【知识模块】 线性代数39 【正确答案】 因为 D 为正定矩阵，P 是实可逆矩阵，所以 PTDP 正定得 B 一CTA-1C 正定【知识模块】 线性代数40 【正确答案】 条件说明 于是 A 的特征值为1，1，0，并且 Q 的第 3 列 是 A 的特征值为 0 的特征向量记1=(1， 0，1) T，它也是 A 的特征值为 0 的特征向量A 是实对称矩阵，它的属于特征值 1 的特征向量都和 1 正交，即是方程式 x1+x3=0 的非零解 2=(1，0，一 1)T， 3=(0，1，0) T 是此方程式的基础解系，它们是 A 的特征值为 1 的两个特征向量建立矩阵方程 A(1,2,3)=(0， 2， 3)，两边做转置，得解此矩阵方程A+E 也是实对称矩阵，特征值为 2，2，1，因此是正定矩阵【知识模块】 线性代数