[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷111及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 111 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且EA0，则2EA 2为( )（A）0（B） 54（C） 2（D）242 设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)r，则( )（A）rm（B） rm（C） rm（D）rm3 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( ) （A） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关（B） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关（C） 1 2， 2 3， 3 4， 14 1 线性无关（D

2、） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关4 向量组 1， 2， S 线性无关的充要条件是( )（A） 1， 2， S 都不是零向量（B） 1， 2， S 中任意两个向量不成比例（C） 1， 2， S 中任一向量都不可由其余向量线性表示（D） 1， 2， S 中有一个部分向量组线性无关5 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)r(B)（B） AB （C） AB（D）A，B 与同一个实对称矩阵合同二、填空题6 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a 1，a 2，a1，则 a_7 设 A

3、，则(A3E) 1 (A29E)_8 设 A ，则 A1 _9 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)2，B ，则 r(AB)_10 设 A (A0) ，且 AX0 有非零解，则 A*X0 的通解为_ 11 设方程组 有解，则 a1，a 2，a 3，a 4 满足的条件是 _12 设 ， 为三维非零列向量，(，) 3，A T，则 A 的特征值为_13 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )14 设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( ) 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 A 求：(1) 2B(2)ABBA16 设 A (ai0，i1，2

4、，n)，求 A1 17 设 A 是 mn 阶矩阵，若 ATAO，证明：AO18 设向量组 1， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1，： n 线性无关，举例说明逆命题不成立19 参数 A 取何值时，线性方程组 有无数个解 ?求其通解20 Amn( 1， 2， n)，B nm(1 2， 2 3， n 1)，当 r(A)n 时，方程组 BX0 是否有非零解?21 求矩阵 A 的特征值与特征向量22 ， T 0，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化23 设矩阵 A 有一个特征值为 3(1)求 y； (2)求可逆矩阵 P，使得(AP) T(AP)为对角矩阵24 设 A 为 n 阶非零矩阵，且

5、存在自然数 k，使得 AkO证明：A 不可以对角化25 (1)设 A， B 为 n 阶矩阵，EAEB且 A，B 都可相似对角化，证明：AB(2) 设 矩阵 A，B 是否相似?若 A，B 相似，求可逆矩阵 P，使得P1 APB 26 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2A(A 称为幂等阵) 求：(1)二次型XTAX 的标准形； (2)EAA 2A n的值考研数学三（线性代数）模拟试卷 111 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又E A 0，所以 A 有特征

6、值1，于是 2EA 2 的特征值为 18，3，于是2E A 54，选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为( 1 2)( 2 3)( 3 4)( 4 1)0， 所以1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性相关； 因为( 1 2)+(2 3)( 3 4)( 4 1)0， 所以 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性相关； 因为( 1 2)( 2 3)( 3 4)( 4 1)0， 所以 1 2， 2 3

7、， 3 4， 4 1 线性相关， 容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关，选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 若向量组 1， 2， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 一定线性无关，因为若 1， 2， ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B合同，则 A，B 的正负惯性

8、指数相同，从而 A，B 与 合同，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 1【试题解析】 由(a1) 2(a2) 3(a1)0 得 a1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【试题解析】 (A+3E) 1 (A29E)(A3E) 1 (A3E)(A 3E)A 3E 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 2【试题解析】 因为B100，所以 r(AB)r(A)2【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 X (C1,C2 为任意常数)【试题解析】 因为 AX0 有非零解，所以A0，而A (a4)(a6)且 a 0，所以 a4

9、因为 r(A)2，所以 r(A*)1因为A*AAEO，所以 A 的列向量组为 A*0 的解，故 A*X0 的通解为 X(C1,C2 为任意常数) 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 a 1a 2 a3a 40【试题解析】 因为原方程组有解，所以 r(A)r ，于是a1a 2a 3a 40【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0 或者 3【试题解析】 因为 A23A，令 AXX，因为 A2X 2X，所以有( 23)X0，而 X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1 2 3tr(A)(，)，所以13， 2 30【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB，则

10、存在可逆矩阵 P，使得 P1 APB， 于是 P1 (EA)PEP 1 APEB，即 EAEB； 反之，若 EA E，即存在可逆矩阵 P，使得 P1 (EA)PE B， 整理得 EP 1 APEB，即P1 APB，即 AB，选(D)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 D【试题解析】 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以A1 ，B 1 及 A*，B *都是 正定的，对任意 X0，X T(CTAC)X(CX) TA(CX)0(因为 C 可逆，所以当 X0 时， CXO)，于是 CTAC 为正定矩阵，同样用定义法可证A1 B 1 与 A*B *都是正定矩阵， 选(D)【知

11、识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)2B(2) 3 B8；【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 r(A)r(A TA)，而 ATAO，所以 r(A)0，于是 AO【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 k11k nn0，由 1， n 两两正交及(1，k 11k nn)0，得 k1(1， 1)0，而( 1， 1) 1 20，于是 k10，同理可证 k2k n0，故 1， n 线性无关令 ，显然 1， 2 线性无关，但 1， 2 不正交【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 Xk(

12、1，0，1) T(2，1 ，0)(k 为任意常数)； 当a2 时，方程组无解； Xk(1，1，1) T(2，2，0)(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 B( 1， 2 3， n 1)( 1， 2， n) 由 r(A)n可知A0，而BA A1 (1) n1 ，当 n 为奇数时，B 0，方程组 BX0 只有零解；当 n 为偶数时，B0，方程组 BX0 有非零解【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由E A( 1) 2(4)0 得 1 21， 34 当 1时，由(EA)X0 得属于特征值 1 的线性无关的特征向量为 ，全部特征向量为 k11k 22(k1，k 2 不同时为

13、 0)；当 4 时，由(4EA)X0 得属于特征值 4 的线性无关的特征向量为 ，全部特征向量为 k3(k0)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令 T k，则 A2kA ， 设 AXX，则 A2X 2XkX ，即(k)X0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 0 或 k 由1 ntr(A)且 tr(A)k 得 1 n1 0， nk 因为 r(A)1，所以方程组(OEA)X0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量， 即 0 有 n1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)因为 3 为 A 的特征值，所以 3EA0，解得 y2(2)

14、(AP)T(AP)P TATAPP TA2P EA 10 得 11， 29，当 1 时，由(EA 1)X0 得 ； 9 时，由(9EA 1)X0 得【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设矩阵 A 可以对角化，即存在可逆阵 P，使得 两边 k 次幂得从而有 1 2 n0，于是 P1 APO，进一步得 AO，矛盾，所以矩阵 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)因为EAEB，所以 A，B 有相同的特征值，设为 1， 2， n，因为 A，B 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 由 P1 1AP1P 21 BP2 得(P 1P2)1 A(P1P21 )B

15、，取 P1P21 B，则P1 APB ，即 AB (2) 由E A (1) 2(2)0 得 A 的特征值为12， 2 31；由EB (1) 2(2)0 得 B 的特征值为12， 2 31；由 EA 得 r(EA)1，即 A 可相似对角化；再由EB 得 r(EB)1，即 B 可相似对角化，故 AB 再令 PP 1P21 ，则 P 1APB【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)因为 A2A，所以AEA 0，即 A 的特征值为 0 或者 1， 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)r 得 A 的特征值为1(r 重)，0 (nr 重)，则二次型 XTAX 的标准形为 y12y 22y r2 (2)令BEAA 2A n，则 B 的特征值为 n1(r 重)，1(nr 重)，故 EA A 2A nB(n1) r【知识模块】 线性代数