[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷11及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 a= ，A=E T，B=E+2 T，则 AB 为( )（A）O（B）一 E（C） E（D）E+ T2 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 A+B 可逆（B）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（C）若 A+B 可逆，则 AB 可逆（D）若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆3 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A1+B1 为对称矩阵（C） A+B 为对

2、称矩阵（D）kA 为对称矩阵4 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0（B） AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0（C） AB=0 且 r(A)=n，则 B=0（D）若 AB0，则A0 或B05 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则 ( )（A）A=B（B） AB （C）若 A=0 则B=0（D）若A0 则B06 设 A 为 mn 矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr1（D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定7 设

3、A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )。（A）rm（B） r=m（C） rm（D）rm8 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则( )（A）r(A)=1（B） r(A)=2（C） r(A)=3（D）r(A)=49 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则( )（A）r(B)=n（B） r(B)n（C） A2 一 B2=(A+B)(AB)（D）A=010 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( )11 设，则 A，B 的关系为( )（A）B=P 1P2A（B） B=P2P1A（C） B=P2AP1

4、（D）B=AP 2P112 设，则( )（A）B=P 1AP2（B） B=P2AP1（C） B=P21AP1（D）B=P 11AP21二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 求(1)一 2B；(2)AB 一 BA14 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A2=A，B 2=B，(A+B) 2=A+B证明：AB=O，15 设 AX=A+2X，其中 A= ，求 X16 设 A= ，且 AX+AE=A *+X，求 X17 设四阶矩阵 B 满足 ，求矩阵B18 设 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，且 A= ，求 B19 设 B= ，求 B120 设 A= (ai0，i=1，2，

5、n) 求 A121 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A 一 3E=0求：(1)(A+2E) 1；(2)(A+4E) 122 设 A 为 n 阶矩阵，且 Ak=0，求(E A)123 设 A，B 为 n 阶矩阵，P= (1)求 PQ；(2)证明：当 P 可逆时， Q 也可逆24 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2=A证明：A=A *25 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2 一 2A 一 8E=0证明：r(4E 一 A)+r(2E+A)=n26 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一27 设 A 是 mn 矩阵，若 ATA=0，证明：A=0 考研数学三（线性代数）模拟试卷 11 答案与解析一、

6、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 T= ，得 AB=(E 一 T)(E+2T)=E，选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 可逆，则A0，B0，又AB= A B，所以AB0，于是 AB 可逆，选 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由(A+B) T=AT+BT=A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A 1+B1)T=(A1)T+(B1)T=A1+B1，得 A1+B1 为对称矩阵；由(kA) T=kAT=kA，得 kA 为对称矩阵，选 A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【

7、试题解析】 取 A= ，显然 AB=0，故(A) 、(B)都不对，取 A= ，但A =0且B =0 ，故 (D)不对；由 AB=0 得 r(A)+r(B)n，因为，r(A)=n，所以 r(B)=0，于是 B=0，所以选 C【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵P1，P s， Q1，Q t，使得 B=PsP1AQ1Qt，而 P1，P s，Q 1，Q t都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若A=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B =0 ，选 C 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r1=r(

8、B)一 r(AC)r(A)=r，所以选 C【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选 C【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*)=1，所以 r(A)=41=3，选 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(An，于是A=0，选 D【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解

9、析】 P 1=E12，P 2=E23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE23(2)E12=AP2P1，选 D【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 显然 =P1AP21，因为 P11=P1，所以应选 D【知识模块】 线性代数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (1)一 2B=( 一 2)3B=一 8；(2)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由 A2=A，B 2=B 及(A+B) 2=A+B=A2+B2+AB+BA 得 AB+BA=0 即AB=一 BA，AB= 一 BA 两

10、边左乘 A 得 AB=ABA，再在 AB=一 BA 两边右乘 A得 ABA=一 BA，则 AB=BA，于是 AB=0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 AX+AE=A *+X 得(AE)X=A *一A E=A *一 AA*=(E 一A)A*，因为E 一 A= 一 30，所以 E 一 A 可逆，于是 X=一 A*，由A=6 得X=一 6A1，【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 A*BA=2BA 一 8E 得 AA*BA=2ABA 一 8A，即一 2BA=2ABA一 8A，整理得(A+E)B=4

11、E，所以 B=4(A+E)1=【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)由 A2+2A 一 3E=O 得 A(A+2E)=3E， A(A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) 1= (2)由 A2+2A 一 3E=O 得(A+4E)(A 一 2E)+5E=0，则(A+4E) 1=一 (A 一 2E)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 E k 一 Ak=(EA)(E+A+A2+Ak1)，又 Ek 一 Ak=E，所以(E A)1=E+A+A2+Ak1【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1

12、)PQ=(2)因为P=AB，所以当 P 可逆时，AB0，而PQ= A BE，即 。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 AA*=AE ，又已知 A2=A E，所以 AA*=A2，而 A 可逆，故 A=A*【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 A22A 一 8E=0 得(4E 一 A)(2E+A)=0，根据矩阵秩的性质得r(4E 一 A)+r(2E+A)n又 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有r(4EA)+r(2E+A)=n【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(BC)=0，故r(A)+r(BC)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(BC)=0，BC=0 ，于是B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 r(A)=r(ATA)，而 ATA=0，所以 r(A)=0，于是 A=0【知识模块】 线性代数