[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷125及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 125 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解（B）若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解（D）若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解2 设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( ) （A）若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解（C）若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解（D

2、）若 f(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解3 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A=(1， 2， 3， 4)，AX=0 的通解为X=k(0，一 1，3，0) *，则 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 44 设向量组 1， 2， 4 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0 的基础解系的是( )（A） 1+2， 2-+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 132+223，3 1+52535 设 1

3、， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1， 2 为非齐次线性方程组AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( ) 二、填空题6 设 且 AX=0 有非零解，则 A*X=0 的通解为_7 设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n 一 1，则方程组 AX=0 的通解为_8 设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，A ki0，则 AX=0 的通解为_9 设 1， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k11+kss 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是_10 设 B0 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 的解，则 k=_，|B|=

4、_11 设 1， 2， s 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且1+2= 则方程组 AX=b 的通解为_12 设方程组 无解，则 a=_13 设方程组 有解，则 a1，a 2，a 3，a 4 满足的条件是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求方程组 的通解15 参数 a 取何值时，线性方程组 有无数个解? 求其通解16 设 的三个解，求其通解17 求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出18 设 1， 2， 3 为四维列向量组， 1， 2 线性无关， 3=31+22，A=( 1， 2， 3)，求 AX=0 的一个基础解系18 设

5、A 是 34 阶矩阵且 r(A)=l，设(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一1，2，0，1) T，(2 ，一 4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解19 求常数 a；20 求方程组 AX=0 的通解21 设 A=(1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 3， 5 线性无关，且 2=31 一 3 一5， 4=21+3+65，求方程组 AX=0 的通解22 四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1， 2， 3 且 r(A)=3，设求方程组 AX=b 的通解23 Ann=(1， 2， n)，B nn=(1+2， 2+3， n+1)，当 r(A)=n 时，方程组BX=

6、0 是否有非零解?24 设 (1)a，b 为何值时， 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合? (2)a，b 为何值时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合 ?24 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向量线性无关，且 1+22+(n 一 1)n-11=0，b= 1+2+ n25 证明方程组 AX=b 有无穷多个解；26 求方程组 AX=b 的通解27 设 且 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX=0 的通解28 就 a，b 的不同取值，讨论方程组 解的情况28 设29 若 aiaj(ij)，求 ATX

7、=b 的解；30 若 a1=a3=a0，a 2=a4=一 a，求 ATX=b 的通解31 设向量组 1， 2， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1，+ s)考研数学三（线性代数）模拟试卷 125 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 只有零解，而 无解，故(A)不对； 方程组 有非零解，而 无解，故(B)不对； 方程组无解，但 只有零解，故(C)不对； 若 AX=b 有无穷多个解，则 从而 r(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D

8、【试题解析】 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵) ，则 于是即方程组 AX=b 一定有解，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)=3，于是 r(A*)=1 因为 A*A=|A|E=O，所以 1， 2， 3， 4 为 A*X=0 的一组解， 又因为一 2+33=0，所以 2， 3 线性相关，从而 1， 2， 4 线性无关，即为 A*X=0的一个基础解系，选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易

9、验证四组中只有(C)组线性无关，选 (C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) ，因为 1， 1+2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 为方程组 AX=b 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 因为 AX=0 有非零解，所以|A|=0 ， 而且 a*)=1 因为 A*A=|A|E=0，所以 A 的列向量组为 A*X=0 的解， 故 A*X=0 的通解为 (C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 因为 A 的各行元素之和为零，所以 又因为 r(A)=n 一 1

10、，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 (其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 因为|A|=0，所以 r(A)ki0，所以 r(A*)1，从而 r(A)=n 一 1，AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA*=|A|E=O，所以 A*的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为 C(Ak1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 k 1+k2+ks=1显然 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k11+k22+kss)=b，因为 A1=A2=A s=

11、b，所以(k1+k2+ks)b=b，注意到 b0，所以 k1+k2+ks=1，即 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k1+k2+ks=1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 令 因为 B 的列向量为方程组的解且 BO，所以AB=O，且方程组有非零解，故|A|=0 解得 k=1因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3且 r(A)1，于是 r(B)2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 =3 一1=(2+3)一( 1+2)= = (2+3)= 于是方程组的通解为 【知识模块】 线性代数12 【

12、正确答案】 因为方程组无解，所以 于是 r(A)2=0，得 a=一 1或 a=3当 a=3 时，因为 所以方程组有无穷多个解； 当 a=一 1 时，因为 所以方程组无解，于是a=一 1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为原方程组有解，所以 于是 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 方法一 原方程组的同解方程组为 或者 故原方程组的通解为 方法二 原方程组的基础解系为 故通解为【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 若a=1，则 原方程组的通解为 X=k(一 1，0，1)T+(2，一 1，0)(k 为任

13、意常数)； 若 a1，则当 a=2 时，方程组无解； 当 a=一 2 时， 原方程组的通解为X=k(1，1，1) T+(2，2，0)(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组有三个线性无关解，所以 4 一 r(A)+1=3，即 r(A)=2，于是原方程组的通解为 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 3=31+2， 5=21+2.【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 方法一 AX=0 x11+x22+x33=0，由 3=31+22 可得(x 1+3x3)1+(x1+2x3)2=0，因为 1， 2 线性无关，因此 的

14、一个基础解系为 方法二 由 r(A)=2 可知 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，而 31+22 一 3=0， 因此 为 AX=0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T，(2，一4，3，a+1) T 线性相关，即 解得 a=6【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通

15、解为 X=k1(1，一 2，1，2) T+k2(1，0，5，2) T+k3(一1，2，0，1) T(k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 1， 3， 5 线性无关，又 2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由2=31 一 3 一 5， 4=21+3+65 得方程组 AX=0 的两个解为 1=(3，一 1，一1，0，一 1)T， 2=(2，0， 1，一 1，6) T 故 AX=0 的通解为 k1(3，一 1，一 1，0，一1)T+k2(2，0，1，一 1，6) T(k

16、1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 为AX=0 的一个基础解系，n 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质， 所以方程组AXb 的通解为【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 方法一 当n 为奇数时，|B|0 ，方程组 BX=0 只有零解； 当 n 为偶数时，|B|=0，方程组 BX=0有非零解 方法二 BX=0 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0 (x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn-1+xn)n=0， 因为 1， 2， n 线性无关， 所以当 n 为奇数时

17、，|B|0，方程组 BX=0 只有零解； 当 n 为偶数时，|B|=0，方程组 BX=0 有非零解【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 x 11+x22+x33+x44= (*) (1)当a=一 1，b0 时，因为 所以方程组(*)无解，即 不能表示为1， 2， 3， 4 的线性组合； (2)当 a一 1 时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 r(A)=n 一 1，又 b=1+2+ n，所以 即所以方程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 1+22+(n 一 1)n-

18、1=0，所以 1+22+(n 一 1)n+1+0n=0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n=1，0) T， 又因为 b=1+2+ n，所以方程组 AX=b 有特解 =(1，1，1) T， 故方程组 AX=b的通解为 k+=k(1，2，n 一 1，0) T+(1，1， ，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 r(A)=2，所以 t=1，方程组的通解为 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 (2)当 a=0 时，因为 所以方程组无解； (3)当 a=b0 时， 方程组有无穷多个解，通解为

19、【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 D=|A T|=(a4 一 a1)(a4 一 a2)(a4 一 a3)(a3 一 a1)(a3 一 a2)(a2 一 a1)， 若aiaj(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1=D2=D3=0，D 4=D，所以方程组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T；【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 当 a1=a3=a0，a 2=a4=一 a 时， 方程组通解为 X=k1(一a2，0，1，0) T+k2(0，一 a2，0，1) T+(0，a 2，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 1， 2， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1，+ s线性无关， 故方程组 BY=0 只有零解【知识模块】 线性代数