[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷13及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解（B）若方程组 Ax=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 Ax=0 一定有非零解（D）若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解2 设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是( ) （A）若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解（B）若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解（C）若 r(

2、A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解（D）若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解3 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A=(1， 2， 3， 4)，AX=0 的通解为X=k(0，一 1，3，0) T，则 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 44 设向量组 1， 2， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0 的基础解系的是( )（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2

3、 132+223，3 1+5253二、填空题5 设 A= (a0)，且 AX=0 有非零解，则 A*X=0 的通解为_6 设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n 一 1，则方程组 AX=0 的通解为7 设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki0，则 AX=0 的通解为_。8 设 1， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k11+kss 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是_9 设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 的解，则 k=_，B =_10 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且1+

4、2= ，则方程组 AX=b 的通解为_11 设方程组 无解，则 a=_12 设方程组 有解，则 1， 2， 3， 4 满足的条件是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 1， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1， 2 为非齐次线性方程组AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( )14 求方程组 的通解15 参数 a 取何值时，线性方程组 有无穷多个解? 求其通解16 设 的三个解，求其通解17 ，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出18 设 1， 2， 3 为四维列向量组， 1， 2 线性无关， 3=31+22，A=( 1，

5、2， 3)，求 AX=0 的一个基础解系19 设 A 是 34 矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，( 一1，2，0，1) T，(2 ，一 4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解(1)求常数 a；(2)求方程组AX=0 的通解20 设 A=(1， 2， 3， 4， 4)，其中 1， 3， 5 线性无关，且 2=31 一 3 一5， 4=21+3+65，求方程组 AX=0 的通解21 四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1， 2， 3 且 r(A)=3，设，求方程组 AX=b 的通解22 Ann=(1， 2， n)，B nn=(1+2， 2+

6、3， n+1)，当 r(A)=n 时，方程组BX=0 是否有非零解?23 设 (1)a，b 为何值时， 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合?(2)a ，b 为何值时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合 ?24 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向量线性无关，且 1+22+(n 一 1)n1=0，b= 1+1+ n (1)证明方程组AX=b 有无穷多个解； (2)求方程组 AX=b 的通解25 设 A= ，且 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX=0 的通解26 就 a，b 的不同取值，讨论方程组

7、 解的情况27 设 A= (1)若 aiaj(ij)，求 ATX=b 的解；(2)若 a1=a3a0，a 2=a4=一 a，求 ATX=b 的通解28 设向量组 1， 2， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，AB0 证明：齐次线 性方程组 BY=0 有零解，其中 B=(，+ 1，+ s)考研数学三（线性代数）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵) ，则，即方程组 AX=b 一定有解，选 D【知识模块

8、】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)=3，于是 r(A*)=1 因为 A*A=AE=O，所以 1， 2， 3， 4 为 A*X=0 的一组解， 又因为一 2+33=0，所以 2， 3 线性相关，从而 1， 2， 4 线性无关，即为A*X=0 的一个基础解系，应选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选 C【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 因为 AX=0 有

9、非零解，所以A=0，而A = =一(a+4)(a 一 6)且 a0，所以 a=一 4因为 r(A)=2，所以 r(A*)=1因为A*A=AE=0 ，所以 A 的列向量组为 A*X=0 的解，故 A*X=0 的通解为 X=(C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【试题解析】 k(1，1，1) T，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以 =0，又因为 r(A)=n 一 1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 (其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C(A k1，A k2，A ki，A kn)T【试题解析】 因为A=0

10、，所以 r(A)n，又因为 Aki0，所以 r(A*)1，从而r(A)=n1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA*=AE=0 ，所以 A*的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为C(Ak1，A k2，A ki， ，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 k 1+k2+ks=1【试题解析】 k 1+k2+ks=1显然 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k11+k22+kss)=b，因为 A1=A1=A s=b，所以(k1+k2+ks)b=b，注意到 b0，所以 k1+k2+ks=1，即 k1

11、1+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k1+k2+ks=1 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1；0【试题解析】 令 A= ，因为 B 的列向量为方程组的解且 BO，所以 AB=O 且方程组有非零解，故A=0，解得 k=1因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3 且 r(A)1，于是 r(B)23，故B=0【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 =31=(2+3)一(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1【试题解析】 因为方程组无解，所以 r(A) 3，于是 r

12、(A)3，即A=0由A=3+2a 一 a2=0得 a=一 1 或 a=3当 a=3 时，因为，所以方程组有无穷多个解；当 a=一 1 时，所以方程组无解，于是 a=一 1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 选 D，因为 1， 1+2 为方程组 AxO 的两个线性无关解，也是基础解系，而 为方程组 AX=b 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选 D【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 X=k(1，1，1)

13、 T+(2，2，0)(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A= ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组有三个线性无关解，所以 4 一 r(A)+1=3，即 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k1(2 一 1)+k2(3 一 1)+1=k1 (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令1，2， 4 为一个极大线性无关组， 3=31+2， 5=21+2【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 AX=0 x11+x22+x33=0，由 3=31+22 可得(x 1+3x3)1+(x2+2x3)2=0，因为 1， 2 线性无关，因此

14、【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T，(2，一4，3，a+1) T 线性相关，即 =0，解得 a=6 (2)因为(1，一2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为 X=k1(1，一 2，1，2) T+k2(1，0，5，2) T+k3(一 1，2，0，1) T(k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 1， 3， 5 线性

15、无关，又 2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由2=31 一 3 一 5， 4=21+3+65 得方程组 AX=0 的两个解为 1=(3，一 1，一1，0，一 1)T， 2=(2，0，1，一 1，6)T 故 AX=0 的通解为 k1(3，一 1，一 1，0，一 1)T+k2(2，0，1，一 1，6) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 r(A)=3，所以方程组 Ax=b 的通解形式为 k+，其中 为AX=0 的一个基础解系，为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的

16、结构的性质，【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 当 n 为奇数时，B0，方程组 BX=0 只有零解；当 n 为偶数时，B=0 ，方程组 BX=0 有非零解【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 x 11+x22+x33+x44= (*)(1)当 a=一 1，b0 时，因为 r(A)=2 =3，所以方程组(*)无解，即 不能表 示为 1， 2， 3， 4 的线性组合； (2)当 a一 1 时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4的线性组合【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)因为 r(A)=n 一 1，又 b=1+2+ n，所以=n 一 1，=n 一 1n，所以方程组 AX

17、=b 有无穷多个解 (2)因为 1+22+(n 一 1)n1=0，所以 1+22+(n 一 1)n1+0n=0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n 一 1，0) T，又因为b=1+2+ n，所以方程组 AX=b 有特解 =(1， 1，1) T，故方程组 AX=b 的通解为 k+=k(1，2，n 一 1，0) T+(1，1， 1)T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)D=A T=(a 4 一 a1)(a4 一 a2)(a4 一 a3)(a3 一 a1)(a3 一 a2)(a2 一 a1)，若 aiaj(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1=D2=D3=0，D 4=D，所以方程组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T； (2) 当 a1=a3=a0，a 2=a4=一 a 时，方程组通解为X=k1(一 a2，0，1，0) T+k2(0，一 a2，0，1) T+(0，a 2，0，0) T(k1，k 2 为任意常数) 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 1， 2， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1，+线性无关， 故方程组 BY=0 只有零解【知识模块】 线性代数