[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷145及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 145 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 4 阶方阵 A 的行列式|A|=0，则 A 中( )（A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任一列向量是其余列向量的线性组合2 设向量组() ： 1， 2， ， r 可由向量组()： 1， 2， s 线性表示，则( )（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组()必线性相关3 设 A，B 为同阶方阵，则 A 与

2、B 相似的充分条件是( )（A）秩(A)=秩(B) （B） |A|=|B|（C） A 与 B 有相同的特征多项式（D）A、B 有相同的特征值 1， 2， n，且 1， 2， n 两两不同二、填空题4 方程 f(z)= =0 的全部根是_5 设矩阵 A= ，I 为 3 阶单位矩阵，则(A 2I)1 =_6 设 =(1，0 ，1) T，矩阵 A=T，n 为正整数， a 为常数，则|aEA n|=_7 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1， 2， 3)，B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93) 如果|A|=1，则|B|=_ 8 设 aibi0(i=1，2，n)，则

3、矩阵 的秩为_9 已知方程组 无解，则 a=_10 曲线 2x2xy+4y 2=1 的名称是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设实对称矩阵 A 满足 A2=O，证明：A=O 12 已知 AP=PB，其中 求矩阵 A 及 A513 已知向量组() ： 1=(0，1，1) T， 2(a，2，1) T， 3=(b，1，0) T 与向量组( )： 1=(1，2，3) T， 2=(3，0，1) T， 3=(9，6，7) T 具有相同的秩，且3 可由向量组 ()线性表示，求 a、b 的值14 问 a、b 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解，有无穷多组解? 并求出有无穷多解时的通

4、解15 设矩阵 A=(aij)nn 的秩为 n，a ij 的代数余子式为 Aij(i，j=1 2，n)记 A 的前 r 行组成的 rn 矩阵为 B，证明：向量组 1=(Ar+1，1 ，A r+1，n )T2=(Ar+2，1 ，A r+2，n )Tnr =(An1，A nn)T 是齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系16 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解17 设 3 阶矩阵 A 与对角矩阵 D= 相似，证明：矩阵 C=(A 1E)(A 2E)(A 3E)=O17 下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?18 19 20 设矩阵 A= 的特征方程有一个二重根，求

5、a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化20 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+3321 求矩阵 B，使得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B；22 求矩阵 A 的特征值；23 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵24 设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵，试证： BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n25 设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a 、b为常数，证明：A+B 的特征值全大于 a+b26 设 n 阶矩阵

6、 A 正定，X=(x 1，x 2，x n)T证明：二次型 f(x1，x 2，x n)为正定二次型27 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+ax32+2bx1x22x 1x3+2x2x3(b0)通过正交变换化成了标准形 f=6y12+3y222y 32求 a、b 的值及所用正交变换的矩阵P考研数学三（线性代数）模拟试卷 145 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由条件知秩()秩()，而秩( )s，故秩()s，当 rs 时，有秩()sr，故 ()必线性相关【知识模块】

7、 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 在选项 D 的条件下，存在适当的可逆矩阵 P、Q ，使P1 AP=diag(1， 2， n)=Q1 BQ， QP1 APQ1 =B， (PQ1 )1 A(PQ1 )=B，因 PQ1 可逆，知 A 与 B 相似【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 1，2，3【试题解析】 利用范德蒙行列式得 f(z)=(21)(3 1)(x 1)(32)(x2)(x3)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 a 2(a2 n)【试题解析】 A n=(T)(T)( T)=(T)( T)T=2n1 T |aEA n|=a2

8、(a2 n)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 2【试题解析】 利用矩阵乘法，可将 B 写为 两端取行列式，得 =12=2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 1【试题解析】 知 r(A)=1。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1【试题解析】 可见，Ax=b 无解 a=1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 椭圆【试题解析】 二次型 2x2xy+4y 2 的矩阵 是正定的用旋转变换(适当的正交变换) 可化曲线方程为标准方程 1x2+2y2=1(其中 1， 2 为 A 的特征值，均为正数)，故曲线为椭圆【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11

9、【正确答案】 A 2=AAT=O 的(i，i) 元素为：0= aij2， aij=0(i，j=1，2，n)，即 A=O【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因 P 可逆，得 A=PBP1A5=(PBP1 )(PBP1 )(PBP1 )=PB5P1 =PBP1 =A【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1， 2 是向量组() 的一个极大无关组， ()的秩为 2，故( )的秩为 2故() 线性相关，从而行列式| 1， 2， 3|=0，由此解得 a=3b又 3 可由()线性表示，从而 3 可由 1， 2 线性表示，所以向量组 1， 2， 3 线性相关，于是，行列式| 123|=0，解之得 b

10、=5，所以 a=15，b=5【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 当 a1 时有唯一解；当 a=1 且 b1 时无解；当 a=1 且 b=1 时有无穷多解，通解为 x=(1，1，0，0) T+c1(1，2，1，0) T+c2(1，2，0，1) T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 r(B)=r， 方程组 Bx=0 的基础解系含 nr 个向量，故只要证明1， 2， nr 是方程组 Bx=0 的线性无关解向量即可首先，由行列式的性质，有 aijAkj=0(i=1，2，r；k=r+1，r+2 ，n) 故 1， 2， nr 都是 Bx=0的解向量；其次，由于|A *|=|A|n1 0知 A*

11、的列向量组线性无关，而1， 2， nr 正好是 A*的后 nr 列，故 1， 2， nr 线性无关，因此1， 2， nr 是 Bx=0 的 nr 个线性无关解向量，从而可作为 Bx=0 的基础解系【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换：(1)当 a=0 时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+xn=0，由此得基础解系为1=(1，1，0，0) T， 2=(1，0，1，0) T， n1 =(1，0，0，1)T，于是方程组的通解为 x=k11+k22+kn1 n1 ，其中 k1，k n1 为任意常数(2)当 a0 时，对矩阵 B

12、作初等行变换：可知 a= 时，r(A)=n1 n，故此时方程组也有非零解，方程组的用自由未知量表示的通解为x2=2x1，x 3=3x1，x n=nx1 (x1 任意)，由此得基础解系为 =(1，2，3，n) T，于是方程组用基础解系表示的通解为 x=k，其中 k 为任意常数2 方程组的系数行列式为 当|A|=0，即 a=0 或a= 时，方程组有非零解当 a=0 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有故方程组的同解方程组为x1+x2+xn=0，以下同解 1当 a= 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有以下同解 1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A=PDP 1，C=(PDP 1 1PP1

13、)(PDP1 2PP1 )(PDP 1 3PP1 )=P(D 1E)P1 P(D 2E)P1 P(D 3E)P1 =P(D 1E)(D 2E)(D 3E)P1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 是，因该方阵只有单特征值；【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 否，因 A 的特征值为 1=2=2=3=4=1，而对应的线性无关特征向量却只有 2 个【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 A 的特征多项式为=(2)(28+18+3a)(1) 若 =2 是 f()的二重根，则有( 28+18+3a)|=2=2216+18+3a=3a+6=0，解得 a=2当 a=2 时，

14、A 的特征值为 2，2，6，矩阵 的秩为 1，故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个，从而 A 可相似对角化(2)若 =2 不是 f()的二重根，则 28+18+3a 为完全平方，从而 18+3a=16，解得 a=23当 a=23 时，A 的特征值为2，4，4，矩阵 的秩为 2，故 A 的对应于特征值 4 的线性无关特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由题设条件并利用矩阵乘法，可得 A(1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=(1+2+3，2 2+3，2 2+33)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因

15、为 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，可知矩阵C=(1， 2， 3)可逆，且由 AC=CB 可得 C1 AC=B，即矩阵 A 与 B 相似由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值由 =(1) 2(4)=0得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=4【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 对应于 1=2=1，解齐次线性方程组(EB)x=0，得基础解系1=(1，1，0) T， 2=(2，0，1) T 对应于 3=4，解齐次线性方程组 (4EB)x=0，得基础解系 3=(0，1，1) T 令矩阵 Q=(1， 2， 3) 则有 Q1 BQ因 Q1 BQ=Q 1C1 AC

16、Q=(CQ)1 A(CQ)，记矩阵 P=CQ=( 1+2，2 1+3， 2+3)则有P1 AP=Q1 BQ=diag(1，1，4)为对角矩阵，故 P 即为所求的可逆矩阵【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 必要性设 BTAB 正定，则对任意 n 维非零列向量 x， 有 xT(BTAB)x0，即(Bx) TA(Bx)0，于是 Bx0因此，Bx=0 只有零解，从而有 rB=n 充分性因(B TAB)T=BTATB=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵，若 rB=n，则齐次线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意 n 维非零列向量 x，有 Bx0，又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx

17、) TA(Bx)0，于是当 x0 时，x T(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)0，故 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 1 设 为 A+B 的任一特征值，则有 X0，使(A+B)X=X，故有(A+B)X(a+b)X=X (a+b)X 即(A aE)+(BbE)X=(a+b)X 故 (a+b)为(A aE)+(BbE) 的特征值，由已知条件易知 AaE 及 BbE 都是正定矩阵故(A aE)+(BbE) 正定，因而它的特征值全大于 0，因此有 (a+b)0， a+b2 设 s 为 A+B 的最小特征值，对应的特征向量为 X1； 1、 1 分别是 A、B 的最小特征值，则有 1+1a+b 故 A+B的特征值全大于 a+b【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 两端取行列式，得 f(X)= =|A|XTA1 X 由于 A 正定，有|A|0，且 A1 正定，故对于任意X0，XR n，有 XTA1 X0， f(X)=|A|XTA1 X0，故 f(X)正定【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 二次型的矩阵 A= 由 1+2+3=6+3+(2)=1+1+a，解得 a=5，由 123=36=|A|=5b 22b+3 ，解得 b=3所用正交矩阵可取为【知识模块】 线性代数