[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷16及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 P11AP1，P 21BP2 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 2，使得 Q1TAQ1，Q 2TBQ2 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 P1(A+B)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B2 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A *是正定矩阵3 下列说法正确的是( ) （A）

2、任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）一次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的4 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAN 与 XTA1X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同5 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵6 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（A）A

3、，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 AX=0 与BX=0 同解（D）r(A)=r(B)7 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)=r(B)（B） A= B（C） AB（D）A，B 与同一个实对称矩阵合同8 设 ，则 A 与 B( )（A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）不合同也不相似9 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1 ，以下命题：(1)AB ；(2)A ，B 合同；(3)A ，B 等价；(4)A = B中正确的命题个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题10 二次型

4、 f(x1，x 2，x 3)=(x1 一 2x2)2+4x2x3 的矩阵为_11 设 ，则 1， 2， 3 经过施密特正交规范化后的向量组为12 设二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3 的秩为 2，则 a=_13 设 5x12+x22+tx32+4x1x2 一 2x1x3 一 2x2x3 为正定二次型，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x2x3 为标准二次型15 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x1x34x32 为标准形16 设二次型 f(x

5、1，x 2，x 3)=XTAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 (1)求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；(2)求矩阵 A17 用正交变换法化二次型 f(x1+x2+x3)=x12+x22+x324x1x24x1x34x2x3 为标准二次型18 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a 一 1)x12+(a 一 1)x22+2x32+21x2(a0)的秩为 2 (1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形19 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A(A 称为幂等阵) 求：(1) 二次型 XTAX 的标准形； (2)E+A+A 2+An的值20

6、设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1，x 2，x n)= (1)记X=(x1，x 2，x n)T，把二次型 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式； (2)二次型 g(x)=XTAX 是否与 f(x1，x 2， ，x n)合同?21 设 A 是三阶实对称矩阵，且 A2+2A=O，r(A)=2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，A+kE 为正定矩阵?22 设二次型 f(x1，x 2，x n)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3 为正定二次型，求 t 的取值范围23 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：E+A124 用配方法化下列二次型为标准形： f(x

7、1，x 2，x 3)=x12+2x225x32+2x1x22x1x3+2x2x325 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1，x 2，x 3)=2x1x2+2x1x3+6x2x326 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x324x1x28x1x34x2x3 经过正交变换化为标准形 5y12+by22 一 4y32，求： (1) 常数 a，b； (2)正交变换的矩阵 Q27 设 (1)求 PTCP；(2)证明：D一 BA1BT 为正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解

8、析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 f=x1x2，令，则 f=y12 一 9y22；(B) 不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指

9、数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 O，不能保证其正惯性指数为咒；选 D，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A1 合同，所以 XTAX 与 XTA1X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选 B【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选 D【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解

10、析】 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合伺，则 A，B 合同一，反之若A，B 合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与 合同，选 D【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 由E 一 A=0 得 A 的特征值为 1，3，一 5，由E 一 B=0得 B 的特征值为 1，1，一 1，所以 A 与 B 合同但不相似，选 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 的特征值为一 2，1，1 ，所以A=B= 一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A， B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 B【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确

11、答案】 【试题解析】 因为 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x224x1x2+4x2x3，所以 A=【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 该二次型的矩阵为 A=。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 t2【试题解析】 二次型的矩阵为 A=10，A0，解得 t2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 f(x 1+x2+x3)=x12+2x1x2+2x1x34x32=(x1+x2+x3)2 一(x 2+x3)2 一 4x3

12、2，【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1)由 AB+B=0 得(E+A)B 一 0，从而 r(E+A)+r(B)3，因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=5由(E+A)B=0 得 B 的列组为(E+A)X=0 的解，【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)因为 A2=A，所以AE 一 A=0，即 A 的特征值为 0 或者 1， 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可

13、对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r重)，=0(n 一 r 重)，则二次型 XTAX 的标准形为 y12+y22+yr2 (2)令B=E+A+A2+An，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n 一 r 重)，故E+A+A 2+An=B=(n+1) r【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (2)因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A1 合同，故二次型f(x1，x 2， xn)与 g(X)=XTAX 规范合同【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)由 A2+2A=O 得 r(A)+r(A+2E)=3，从而 A 的特征值为 0 或一

14、2，因为 A 是实对称矩阵且 r(A)=2，所以 1=0， 2=3=一 2 (2)A+kE 的特征值为k，k 一 2，k 一 2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值10， 20， 30 ，因此 A+E 的特征值为1+11， 2+11， n+11，故A+E=( 1+1)(2+1)( n+1)1 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 【知识模块】 线性代数