[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷31及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是 ( )（A）若 AB=E，则 A 必可逆，且 A-1=B（B）若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆（C）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AJ6I 必不可逆（D）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆2 设 ，若 r(A*)=1，则 a= ( )（A）1（B） 3（C） 1 或 3（D）无法确定3 设向量组() 1， 2， ， s 线性无关，() 1， 2， t 线性无关，且i(i=1，2，s)不能由 () 1， 2， t 线性表

2、出， i(i=1，2，t) 不能由() 1， 2， i 线性表出，则向量组 1， 2， s， 1， 2， s ( )（A）必线性相关（B）必线性无关（C）可能线性相关，也可能线性无关（D）以上都不对4 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关5 已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1=1， 2=2， 3=3，则 2A*的特征值是 ( )（A）1，2，3（B） 4，6，12（C） 2，4，6（D）8，16，246 实二次型 f(x1，x 2，x n)的秩为

3、 r，符号差为 s，且 f 和一 f 合同，则必有 ( )（A）r 是偶数，s=1（B） r 是奇数，s=1（C） r 是偶数，s=0（D）r 是奇数，s=0二、填空题7 设 ，n2 为正整数，则 An 一 2A-1=_8 已知 3 维向量组 1， 2， 3 线性无关，则向量组 1 一 2， 2 一 k3， 3 一 1 也线性无关的充要条件是 k_ 9 已知非齐次线性方程组 A 34X=b 有通解 k11，2，0，一 2T+k24，一 1，一1，一 1T+1，0，一 1，1 T，则满足方程组且满足条件 x1=x2，x 3=x4 的解是_ 10 已知 =1，3，2 T，=1，一 1，一 2T，A

4、=E 一 T，则 A 的最大特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算 ，其中 n212 证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵13 设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且 ABA-1=BA-1+3E，求 B14 为何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时写出方程组的通解14 设四元齐次线性方程组()为 又已知某齐次线性方程组()的通解为 k10，1，1，0 T+k2一 1，2，2，1 T15 求线性方程组() 的基础解系；16 问线性方程组() 和() 是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解若没有，

5、则说明理由17 设向量组 1=a11a21，a n1T， 2=a12，a 22，a n2T， s=a1s，a 2s，a nsT证明：向量组 1， 2， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组有非零解(有唯一零解)18 向量组 1， 2， t 可由向量组 1， 2， s 线性表出，设表出关系为若1， 2， s 线性无关证明： r( 1， 2， t)=r(C)18 已知线性方程19 a，b 为何值时，方程组有解；20 方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；21 方程组有解时，求出方程组的全部解22 设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值23 设 A 是三阶实

6、对称阵， 1=-1， 2=3=1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为1=0，1，1 T，求 A24 设方阵 A1 与 B1 合同，A 2 与 B2 合同，证明： 合同考研数学三（线性代数）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因 A，B 不可逆，则|A|=0，|B|=0，故|AB|=|A|B|=0，AB 不可逆(A)中 AB=E，但未指出是方阵，若 ，则 AB=E，但A，B 均无逆可言(B)中，取 B=-A，则 A+B=A-A=O 不可逆(C) 中，取均不可逆，但 A-B=E 是可逆阵【知识模块】 线性

7、代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1 得 r(A)=3，则|A|=0，即得 a=1 或 3，且此时均满足 r(A)=3，故选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 只要对两种情况举出例子即可由(1)，(2)知，应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 A 的列向量线性无关 AX=0 唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 2A *的特征值是 ，其中|A|= 123， i 是 A 的特征值分别为1，2，3，故 2A*的特征值为 4，6，12【知识模块】 线性代数6 【正确答案】

8、 C【试题解析】 设 f 的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，一 f 的正惯性指数为 p1，负惯性指数为 q1，则有 p=q1，q=p 1，又 f一 f，故有 p=p1，q=q 1，从而有 r=p+q一 p+p1=2p，s=p 一 q 一 p 一 p1=0，故选(C) 【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 O【试题解析】 A 2= An=2 n-1A，A n-2 An-1=O。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 1【试题解析】 1-2， 2-k3， 3-1=1， 2， 3 1， 2， 3 线性无关，故 1-2， 2 一 k3， 3 一 1 线性无关的充要条件是【知识模块】 线

9、性代数9 【正确答案】 2，2，-1，-1 T【试题解析】 方程组的通解为解得 k1=1，k 2=0，代入通解得满足及 x1=x2，x 3=x4 的解为2，2， -1，-1 T【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 7【试题解析】 由于矩阵 T 的秩为 1，故 T 的特征值为 0，0，tr( T)，其中tr(T)=T=一 6故 A=E 一 T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 7【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 把第 1 行的(-x)倍分别加到第 2，3，n 行，得当 x=0 时，显然有 n 一 0，所以总有 D n=(

10、一 1)n-1(n 一 1)n-2【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由题设，a ij=Aij，则 A*=AT， AA *=AAT=|A|E两边取行列式，得|A|2=|A|n，得|A| 2(|A|n-2 一 1)=0因 A 是非零阵，设 aijO，则|A| 按第 i 行展开有从而由|A| 2(|A|n-2 一 1)=0，得|A|=1，故AA*=AAT=|A|E=E，A 是正交矩阵【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由题设 其中|A *|=8=|A|3，|A|=2 ，从而得(2E A*)B=6E，B=6(2E-A *)-1，【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【知识模块】 线性

11、代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 线性方程组()的解为 ，得所求基础解系 1=0，0，1，0 T， 2=一 1，1，0，1 T【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 将方程组()的通解代入方程组()，得 =一k2当 k1=一 k20 时，方程组() 和()有非零公共解，且为 x= 一 k20，1，1，0T+k2一 1，2，2，1 T=k2一 1，1，1，1 T=k一 1，1，1，1 T，其中 k 为任意非零常数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1， 2， s(线性无关)线性相关 (不)存在不全为 0 的x1，x 2，x s，使得 x 11+x22+xss=0 成立有非零解

12、(唯一零解) 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 B= 1， 2， n=1， 2， sC=ACrB=r(AC)rC又 rB=r(AC)r(A)+rC -s，r(A)=s， 故 rBrC，从而有 rB=rC【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 a=1，b=3 时，r(A)=r(A|b)，方程有解【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 导出组基础解系为： 1=1，一 2，1，0，0 T， 2=1，-2，0，1，0 T， 3=5，一 6，0，0，1 T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 方程通解：非齐次特解为 =-2，3，0，0，0 T，故通解为k11+k22

13、+k33+【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 利用特征方程及分块矩阵的运算设 AB 有特征值 ，即有|E 一AB|=0，因 知 AB 和 BA有相同的非零特征值当 AB 有 =0 时，因|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|=0 ，故 BA 也有零特征值，从而得证 AB 和 BA 有相同的特征值【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 2=3=1 有两个线性无关特征向量 2， 3，它们都与 1 正交，故可取 2=1，0，0 T， 3=0，1，一 1T，且取正交矩阵【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同，所以存在可逆矩阵 C1，使 B1=C1TA1 C1 因为 A2 与 B2 合同，所以存在可逆矩阵 C2，使 B2=C1TA2 C2【知识模块】 线性代数