[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷41及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 行列式 【 】（A）(adbc) 2（B） (adbc)2（C） a2d2b2C2（D）b 2c2a2d22 设对方阵 A 施行初等初换得到方程 B且A 0，则 【 】（A）必有B =A（B）必有 BA（C）必有 B0（D）B =0 或B0 依赖于所作初等变换二、填空题3 设 4 阶矩阵 A=1 1 2 3，B=a 2 1 2 3，其中 1， 2， 1， 2， 3 均为 4 维列向量，且已知行列式A=4， B=1，则行列式 A+B=_4 设矩阵 ，I 为 3 阶单位矩阵，则(A

2、一 2I)-1=_5 6 已知 =(1， 2，3) ， ，矩阵 A=T，n 为正整数，则An=_7 设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，其中 ，则B=_8 设 ，B 为 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 t=_9 设矩阵 A 满足 A2+A 一 4E=0，则(AE) -1=_10 设 A 为 n 阶方阵，且A =a0，则 A*=_11 设 A 为 n 阶非零方阵，且A =0，则 A*_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设向量组 1， 2， 3 线性相关，向量组 2， 3， 4 线性无关，问：12 1 能否由 2， 3 线性表示?证明你的结论13 4

3、 能否由 1， 2， 3 线性表示 ?证明你的结论14 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 AkX=0 有解向量 ，且 Ak-10，证明：向量组 ，4，AA k-1 线性无关14 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维向量 x，使得向量组 x， Ax，A 2x 线性无关且满足A3x=3Ax 一 2A2x15 记矩阵 P=x，Ax ，A 2x，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP-1；16 计算行列式A+E17 设向量组() ： 1， 2， ， r 线性无关，且()可由()： 1， 2， s 线性表示证明：在() 中至少存在一个向量 j，使得向量组 j， 2， r 线性无关18 设

4、n 个 n 维列向量 1， 2， n 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组P1，P 2，P n 线性无关P019 设向量 可由向量组 1， 2， n 线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组 1， 2， n 线性无关20 设向量组 1=(1，1，1，3) T， 2=(一 1，一 3，5，1) T， 3=(3，2，一 1，n+2)T 4=(一 2，一 6，10，) T (1) 为何值时，该向量组线性无关? 并在此时将向量 =(4，1 ，6，10) T 用 1， 2， 3， 4 线性表出； (2) 为何值时，该向量组线性相关? 并在此时求出它的秩和一个极大无关组21 已知向量组() ：

5、 1=(0，1，一 1)T， 2(，2， 1)T， 2=(6，1，0) T 与向量组()： 1=(1，2，一 3)T， 2=(3，0，1) T， 3=(9，6，一 7)T 具有相同的秩，且 2可由向量组() 线性表示，求 a、b 的值22 已知 i=(i1， i2， in)T(i=1，2，r，r n) 是 n 维实向量，且 1， 2， r线性无关已知 = (b1，b 2，b n)T 是线性方程组 的非零解向量试判断向量组1， 2， r， 的线性柑关性23 设向量组() ： 1， 2， ， r，线性无关，向量组()可由向量组()：1， 2， s 可由() 线性表示： j=1j1+2j2+ rjr

6、(j=1，2，s)证明：向量组() 线性无关矩阵 A=(ij)rs 的秩为 s考研数学三（线性代数）模拟试卷 41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 解 1 按第 1 列展开，得所求行列式 D 等于 =ad(adbc)+bc(adbc)= (adbc)2 解 2 先互换 D 的 2、3 两行，得 再通过相邻列的互换将第 1 列移至第3 列，得 本题主要考查计算行列式的展开法则，具体的计算方法可有多种解 2 的第 2 步利用了分块对角行列式的计算方法【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数二、填空题3

7、 【正确答案】 A+B =1+2 21 22 23=8(1 1 2 3+2 1 2 3)=8(A+B)=8(4+1)=40【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 ，可利用分块对角矩阵求逆的方法【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A n=(T)(T)( T)(T)=T(T)( T)=T3n-1=3n-1T=3n-1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B=(A -1 一 E)-16AA-1=6(A-1 一 E)-1=6【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 在条件下必有A =0(否则 A0，则 A 可逆，用 A-1 左乘 AB=0 两端，得 B=0，

8、这与 B0 矛盾)，=t= 一 3【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 0=A 2+A 一 4E 一(AE)(A+2E)一 2E，=(AE)(A+2E)=2E，=(AE)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 由 AA*=AE 两端取行列式，得 AA*=An，= A*=An-1=an-1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 必有A *=0，否则 A*0，则 A*可逆，用 (A*)-1 右乘 AA*=AE=0两端，得 A=0，这与 A0 矛盾【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 能由 2， 3 线性无关，而 1，

9、 2， 3 线性相关即可证明【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 不能否则， 4 能由 1， 2， 3 线性表示，由(1)知 1 能由2， 3 线性表示， =4 能由 2， 3 线性表示，这与 2， 3， 4 线性无关矛盾【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 设有一组数 0， 1， k-1 使 0+1A+ k-mAk-1=0，两端左乘 Ak-1，由于 Ak+m=0(m=0，1，2，)，= 0Ak-1=0，又 Ak-10，= 0=0，同理可证 1= k-1=0，故 ，A ，A k-1 线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 AP=Ax Ax A 2x=Ax

10、 A2x A3x=Ax A2x 3Ax 一 2A2x 其中 ，使 AP=PB，或A=PBP-1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由(1)有 A=PBP-1=A+E=P(B+E)P-1=A+E=B+E=一 4【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 用反证法否则对()中每个向量 j，向量组 j， 2， r，都线性相关=B j 可由 2， r 线性表出= () 可由 2， r 线性表出=( )可由2， ， r 线性表出= 1 可由 2， r 线性表出，这与()线性无关矛盾【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 向量组 P1，P 2，P n 线性无关行列式 P1 P2P n0P1 2 n0

11、(注意由条件有行列式 1 2 n0)P0【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由条件有 k11+k22+knn= 必要性设表示唯一，若11+22+ nn=0，与 两端分别相加，得 (k 1+1)2+(k2+2)2+(kn+n)n= ，由表示唯一，比较与，得 kj=kj+j(j=1，2，n)=j=0(j=1，2，n)，= 1， 2， n 线性无关充分性：设 1， 2， n线性无关，若还有 s11+s22+snn=，一，得(k 1 一 s1)1+(k2 一 s2)2+(kn 一 sn)4=0，由 1， 2， n 线性无关，得 kj=sj(j=1，2，n)，即式必为式故表示唯一【知识模块】 线性

12、代数20 【正确答案】 对矩阵 A=1 2 3 4 作初等行变换，化为阶梯形： (1)当 a2 时，矩阵 A=1 2 3 4的秩为 4，即向量组 1， 2， 3， 4 线性无关此时设 x11+x22+x33+x44=，解得(x1，x 2，x 3，x 4)= ，即有 (2)当 =2 时，向量组 1， 2， 3， 4线性相关，此时该向量组的秩为 3， 1， 2， 3(或 1， 3， 4)为其一个极大无关组【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 1， 2 是向量组() 的一个极大无关组， ()的秩为 2，故( )的秩为 2故() 线性相关，从而行列式 123=0，由此解得 =3b又 3 可由()线

13、性表示，从而 3 可由 1， 2 线性表示，所以向量组 1， 2， 3 线性相关，于是，行列式 1 23=0，解之得 b=5，所以 =15，b=5【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由题设条件有 Ti=0(i=1，2，r)设 k 11+krr+kr+1=0 (*) 两端左乘 T，得 kr+1T=0，又 0，= T=20，故 kr+1=0 代入(*)式，得k11+krr=0，又 1， r，线性无关，所以有 k1=kr=0，因此1， ， r， 线性无关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 不妨设 i(i=1，r)及 j(j=1，s) 均为 n 维列向量，则题设的线性表示或可写成矩阵形式： 1 2 r=1 2 rA，或 B=PA，其中 B=1 2 r为 ns 矩阵，P= 1 2 r为 nr 矩阵，且 P 的列线性无关于是可证两个齐次线性方程组 Bx=0 与 Ax=0 同解：若 Bx=P(Ax)=0，因 P 的列线性无关，得Ax=0；若 Ax=0，两端左乘 P，得 PAx=Bx=0，所以 Bx=0 与 Ax=0 同解，=sr(B)=s 一 r(A)，=r(B)=r(A)，=( )线性无关 r(B)=sr(A)=s【知识模块】 线性代数