[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷46及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 46 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A，B，A+B，A 1 +B1 均为 n 阶可逆阵，则 (A1 +B1 )1 等于 ( )（A）A+B（B） A1 +B1（C） A(A+B)1 B（D）(A+B) 12 下列命题正确的是 ( )（A）若 AB=E，则 A 必可逆，且 A1 =B（B）若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆（C）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆（D）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆3 设 A 是 n 阶方阵，且 A3=O，则 ( )（A）A

2、 不可逆，EA 不可逆（B） A 可逆，但 E+A 不可逆（C） A2A+E 及 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且必有 A2=O4 设 A，B 是 n 阶方阵，AB=O，BO，则必有 ( )（A）(A+B) 2=A2+B2（B） B 0（C） B* =0（D）A *=05 A 是 n 阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，则A *= ( )（A）A（B） A1 （C） An1 （D）A n6 A 是 n 阶方阵，A=3则(A *)* = ( )7 设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A *是 A 的伴随阵，则(A *)* ( )（A）A n1 A（B） A n+1A（C） A n2 A（D

3、）A n+2A8 设 Ann 是正交矩阵，则 ( )（A）A *(A*)T=AE（B） (A*)TA*=A *（C） A*(A*)T=E（D）(A *)TA*=E9 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（A）(A+A 1 )2=A2+2AA1 +(A1 )2（B） (A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2（C） (A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2（D）(A+E) 2=A2+2A+E二、填空题10 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，c= ，则C =_11 设 A 为奇数阶矩阵，AA T=ATA=E，A0，则AE=_12 设 3 阶

4、方阵 A，B 满足关系式 A1 BA=6A+BA，且 A= ，则B=_13 设 =1， 2，3 ，= ，A= T，则 An=_14 设 A= ，n2 为正整数，则 An2A n1 =_15 设 A= ，则 A1 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵17 证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则(A *)T=(AT)*18 证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A *=( A) *(n2)19 已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A23A2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A1 20

5、 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=O证明：矩阵 EA 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)21 设 M= 可逆，其中 A，D 皆为方阵求证： A，D 可逆，并求 M1 22 设矩阵 A= ，矩阵 X 满足 AX+E=A2+X，其中 E 为 3 阶单位矩阵求矩阵 X23 假设 A= ，求 A 的所有代数余子式之和24 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵(1)计算并化简 PQ；(2)证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA1 b25 设(2EC 1 )AT=C1 其中

6、 E 是 4 阶单位矩阵， AT 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，求 A26 设 A= ，求 An27 已知 A= ，求 An28 设有两个非零矩阵 A=a1，a 2，a nT，B=b 1，b 1，b nT (1)计算 ABT 与ATB； (2)求矩阵 ABT 的秩 r(ABT)； (3)设 C=EAB T，其中 E 为 n 阶单位阵证明：CTC=EBA TAB T+BBT 的充要条件是 ATA=129 证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n30 证明：r(A+B)r(A)+r(B)31 设 A

7、是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T)=0 的充分必要条件是 A=O考研数学三（线性代数）模拟试卷 46 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 验算 (A 1 +B1 )A(A+B)1 B=(E+B1 A)(A+B)1 B =B1 (B+A)(A+B)1 B=B1 B=E， 故(A 1 +B1 )1 =A(A+B)1 B (A 1 +B1 )1 =B1 (BA1 +E)1 =B 1(B+A)A1 1 =A(A+B)1 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因 A，B 不可逆，则A=0，B=0 ，故AB=

8、AB=0，AB 不可逆；(A) 中 AB=E，但未指出是方阵，若，则 AB=E，但 A，B 均无逆可言；(B)中，取 B=A ，则A+B=AA=O 不可逆；(C)中，取 均不可逆，但 AB=E 是可逆阵【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 A 3=O，有 E3+A3=(E+A)(A2A+E)=E，E 3A 3=(EA)(A 2+A+E)=E，故 A2 A+E 及 A2+A+E 均可逆，由以上两式知，EA，E+A 也均可逆，故(A)，(B)不成立，同时(D)不成立，例：A= 有【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 AB=O ，不一定有 BA=O，故(A) 选项

9、中 (A+B)2=A2+B2，不成立；BO，B可以为零，也可以不为零， B *也可以为零，可以不为零，故(B)，(C)不成立； BO，AB=O，AX=0 有非零解，故A=0 ，从而A *=A n1 =0【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 AA *=AE，两边取行列式，得A A *=A n 若A0，A *=A n1 =A n1 ； 若A=0，则A *=0，故选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 A=3，A 可逆，则(A *)(A*)*=A *E，(A *)*=A *(A *)1 =A * =A n2 A，(A *)*=A n2 A=A (n2)n A

10、 =【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 AA *=AE，得 A*(A*)*=A *E，(A *)*=A *(A *)1 ，其中 A *=A n1 ，(A *) 1= ，故 (A *)*=A n1 =A n2 A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 A 是正交阵，则有 A1 =AT= ，A *(A*)T=AA T(AA T)T=A 2ATA=E【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配律可知： (A+B) 2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2， 因此， (A+B)2=A2+2AB+B2 的充要条件是 BA=AB

11、，也即A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A1 ，A 与 A*以及 A 与 E 都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的故选 (B)【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 (1) mnab【试题解析】 C= =(1) mnA B=(1) mnab【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 0【试题解析】 AE=AAA T=A(EA T)=A (EA)T=AE A 由于 AAT=ATA=E，可知A 2=1，又由于A 0，可知A=1又由于 A 为奇数阶矩阵，故 EA=(AE)= AE， 故有 AE= AE ，可知 AE=0 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 dia

12、g(3，2，1)【试题解析】 由 A1 BA=6A+BA 得 B=6A(EA) 1 =diag(3，2，1)，其中， 1， 2， ， n 全不为零【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 3 n1 A【试题解析】 A= T= An=(T)n=(T)(T)( T)=T()T()T( T)=3n1 A【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 O【试题解析】 A2= =2AA n=2n1 A，A n2A n1 =O【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 则 B=A+E，B 2=4B=4(A+E)=(A+E)2得 A 2A=A(A2E)=3E，【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出

13、文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 充分性 A 是对角阵，则显然 A 可与任何对角阵可交换必要性设A= 与任何对角阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角阵 B=可交换，即b1a12=b2a12，b 1b2，故 a12=0b iaij=bjaij，ij，b ibj，a ij=0，i=1 ，2， ，n,j=1，2，n，故 A=是对角阵【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (A *)T=( AA 1 )T=A (A 1 )T=A(A T)1 =A T(A T)1 =(AT)*【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 A=(aij)mn，A的元素 aij 的代数余子式为 Aij，

14、则A 的元素a ij 的代数余子式为 B ij=(1) n1 Aij， 于是(A) *=(1) n1 (Aji)mn=(1)n1 A*，所以 (A) *=(1) n1 A*=(1) n 1nA *=A *【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 23AE=O ，则 A =E，故 A 可逆，且 A1 = 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 E=EA k=EkA k=(EA)(E+A+A k1 )，所以 EA 可逆，且 (EA) 1 =E+A+Ak1 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 M 可逆=M=A.D0=A 0，D 0=A，D可逆设 M 的逆矩阵为 M1 =X= ，由于 MX

15、= ，得所以 M1 =【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 AX+E=A2+X，有(AE)X=(AE)(A+E)又AE=10，则 X=A+E=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 先计算出 A1 = ，由于A =1，所以A 的所有代数余子式之和即为 A*所有元素之和为 0【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)PQ= (2)由 (1)得PQ= PQ=A 2(b TA1 ) Q=A(b TA1 )Q可逆Q0 TA1 b【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由(2E C1 B)AT=C1 ，有 A=(2CB) T1 =【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A= =E+B

16、，又 EB=BE，所以 An=(E+B)n=Bn+nEn1 B+ En2 B2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 对 A 分块为，则 B=3E+J，于是Bn=(3E+J)n=3nE+Cn13n1 J+Cn23n2 J2+Jn，而 C= 3，1，C2=6C，C n=6n1 C，所以【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)AB T= ，A TB=a1b1+a2b2+anbn(2)因ABT 各行( 或列)是第 1 行(列)的倍数，又 A，B 皆为非零矩阵，故 r(ABT)=1(3)由于 CTC=(EAB T)T(EAB T)=(EBA T)(EAB T)=EBA TAB T+BATAB

17、T，故若要求 CTC=EBA TAB T+BBT，则 BATABTBB T=O，B(A TA1)B T=O，即(A TA1)BBT=O因为 BO，所以 BBTO故 CTC=EBA TAB T+BBT 的充要条件是ATA=1【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 注意到而当 B 有一个 t1 阶子式不为 0，A 有一个 t2 阶子式不为 0时， 一定有一个 t1+t2 阶子式不为 0，因此 故r(AB)r(A)+r(B)n特别地，当 AB=O 时，有 r(AB)=0，故 r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设 A=1， 2， n，B= 1， 2， n，则 A+B=1+

18、1， 2+2， n+n 由于 A+B 的列向量组口1+1， 2+2， n+n 都是由向量组 1， 2， ， n， 1， 2， 3 线性表出的，故 r( 1+1， 2+2， n+n)r(1， 2， n， 1， 2， n) 又由于 r(1， 2， n， 1， 2， n)r(1， 2， n)+r(1， 2， n)， 故 r(A+B)=r(1+1， 2+2， n+n) r(1， 2， n， 1， 2， n) r(1， 2， n)+r(1， 2， n) =r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 充分性 A=O，显然 tr(AAT)=0必要性 tr(AAT)=0，设记 B=AAT，则 tr(AAT)= =0aik=0，k=1，2，n，i=1， 2，n即 A=O【知识模块】 线性代数