[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷49及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设则 ( )（A）存在 aij(i，j=1 ，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（B）不存在 aij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相关（C）存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（D）不存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相关2 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n，则 A 中必 ( )（A）没有等于零的 r1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零（B）有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子

2、式全为零（C）有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式（D）任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零3 向量组() 1， 2， s，其秩为 r1，向量组( ) 1， 2， s，其秩为 r2，且i，i=1，2，s 均可由向量组( ) 1， 2， s 线性表出，则必有 ( )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B） 1 1， 2 2， s s 的秩为 r1r 2（C） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r14 已知 r(A)=r1，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2，且 BY=

3、无解，设A=1， 2， n，B= 1， 2， n，且r(1， 1， n， 1， 2， n，)=r，则 ( )（A）r=r 1+r2（B） rr 1+r2（C） r=r1+r2+1（D）rr 1+r2+15 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组21+3+4， 2 4， 3+4， 2+3，2 1+2+3 的秩是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 n 阶(n3)矩阵 A= ，若矩阵 A 的秩为 n1，则 a 必为 ( )7 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（A）向量组 1， 2， ，

4、 m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表出（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表出（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=1， 2， m与矩阵 B=1， 2， m等价8 要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( )9 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，若存在 3 阶矩阵 BO，使得 AB=O，则 ( )（A）=2 且B=0（B） =2 且B 0（C） =1 且B =0（D）=1 且B0二、填空题10 设 A 是 5 阶方阵，且 A2=O，则 r(A*)=_11 设 Amn，B nn，C nm，其中 AB=A

5、，BC=O ，r(A)=n，则CAB =_12 已知向量组 等秩，则 x=_13 已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n1，则线性方程组 AX=0的通解是_14 设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a=_15 设 A 是 n 阶矩阵，A=0，A 110，则 A*X=0 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2 (1)证明：A 1，A 2，A 3 线性

6、无关；(2)求A17 已知 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， s 是 n 维线性无关向量组，若A1，A 2，A s 线性相关证明：A 不可逆18 设 A 是 nm 阶矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵若 AB=E，证明：B 的列向量组线性无关19 设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ms 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是r(A)n20 设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，证明： (1)A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积； (2)存在数 ，对任意正整数 k，有 Ak=k1 A21 A 是 mn 矩阵，对任何 n 维列向量 X 都有 AX=0证明：A=O22 向量组

7、 1， 2， t 可由向量组 1， 2， s 线性表出，设表出关系为若1， 2， s 线性无关证明：r( 1， 2， t)=r(C)23 设 A 是 sn 矩阵，B 是 A 的前 m 行构成的 mn 矩阵，已知 A 的行向量组的秩为 r证明：r(B)r+ms24 设 A 是 mn 阶实矩阵，证明：(1)r(A TA)=r(A)；(2)A TAX=ATb 一定有解25 设线性方程组 为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解26 已知齐次线性方程组()的基础解系为考 1=1，0，1，1 T， 2=2，1，0，1T， 3=0，2，1，1 T，添加两个方程 后组成齐次线性方程组()，求() 的基础解

8、系27 已知线性方程组() 线性方程组()的基础解系1=3，7，2，0 T， 2=1，2，0，1 T求方程组 ()和()的公共解考研数学三（线性代数）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 知向量组1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关因 1， 2， 3 线性相关，故(A)，(B)不成立，因 2， 3， 4 线性无关，故(C) 成立，(D) 显然不成立【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中

9、有不等于零的(至少一个)r 阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为零即可，故选(B)，而(A)，(C) ，(D)均不成立，请读者自行说明理由【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 设 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， ，则i(i=1， 2，s)均可由 1， 2， 线性表出，又 i(=1，2，s)可由()表出，即可由 1， 2， 线性表出，即 1， 2， 也是向量组1， 2， s， 1， 2， ， s 的极大线性无关组，故r(1， 2， ， 3， 1， 2， s)=r1，其余选项可用反例否定【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题

10、解析】 由题设 r( 1， 2， n，)=r 1，r( 1， 2， n，)=r 2+1， 故r(1， 2， ， n， 1， 2， n，)r 1+r2+1【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 r(2 1+3+4， 2 4， 3+4， 2+3，2 1+2+3)r(1， 2， 3， 4， 5)=3 1， 2， 3， 4， 5=1， 2， 3， 4，因 r(1， 2， 3， 4)=4，故 r(1， 2， 3， 4， 5)=r=3，r( 1， 2， 3， 4， 5)=3【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 因r(A)=n1，1+(n1)a=0，a=【知识模块】 线性代

11、数7 【正确答案】 D【试题解析】 A= 1， 2， m，B= 1， 2， m等价 r(1， m)=r(1， ， m)1， 2， m 线性无关(已知 1， 2， m 线性无关时)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 因2，1，1 1=0，2，1，1 2=0，故选(A) 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 BO ，AB=O，故 AX=0 有非零解，A=0，又 AO，故 B 不可逆，故 =1，且B =0 【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 0【试题解析】 因 A 2=AA=O，r(A)+r(A)5，r(A)2， 从而 A *=O，r(A *)=

12、0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 () n【试题解析】 因 AB=A， A(BE)=O，r(A)=n故 BE=O，B=E，且由BC=O，得 C=O，故 CAB =E=(1) n【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1【试题解析】 由 1， 2， 3= ，知r(1， 2， 3)=2由题设：r( 1， 2， 3)=2因 1， 2， 3=故 x=1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【试题解析】 r(A)=n1 知 AX=0 的基础解系有 n(n1)=1 个非零向量组成A的各行元素之和均为零，即 a i1+ai2+ain=0，i=1，2，n

13、也就是 ai1.1+ai2.1+ain.1=0，i=1，2，n， 即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 A= ，AX=0 只有一个非零解组成基础解系，故 r(A)=n 1，A=r(A)=n 1=1+(n1)a=0，a=【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 A=0，A 110，r(A)=n1，r(A *)=1，A *X=0 有 n1 个线性无关解向量组成基础解系，因 A*A=AE=O，故 A 的列向量是 A*X=0 的解向量，又A110，故 A

14、的第 2，3，n 列是 A*X=0 的 n1 个线性无关解向量，设为：2， 3， n，故通解为 k22+k33+knn或者由已知方程 A*X=0，即是A11x1+A21x2+An1xn=0，故方程的通解是：【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)A 1， A2，A 3=2+3， 1+3， 1+2=1， 2， 31， 2， 3C，其中C= =20，C 是可逆阵，故A1，A 2，A 3 和 1， 2， 3 是等价向量组，故 A1，A 2，A 3 线性无关(2)A1， A2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3 两边取行列式，得A=2【知

15、识模块】 线性代数17 【正确答案】 因 A1，A 2，A s 线性相关，故存在不全为零的数k1，k 2，k s，使得 k 1A1+k2A2+ksAs=0， 即 A(k 11+k22+kss)=A=0 其中 =k11+k22+kss 成立，因已知 1， 2， s 线性无关，对任意不全为零的 k1，k 2，k s，有 =k 11+k22+kss0， 而 A=0 说明线性方程组 AX=0有非零解，从而A=0，A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 证 B 的列向量线性无关，即证 B 列满秩，亦即证 r(B)=n因 r(B)n(nm)，又 r(B)r(AB)=r(E)=n故 r(B

16、)=n，所以 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 充分性 r(A)n，AX=0 有非零解，将非零解 X 组成 B，则BO，且有 AB=O 必要性若 AB=O，其中 BO，设 B=1， 2， s，则Ai=0，i=1，2，s其中 i，i=1，2，s，不全为 0，即 AX=0 有非零解，故 r(A)n【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)将 A 以列分块，则 r(A)=r(1， 2， n)=1 表明列向量组1， 2， n 的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为 i=a1，a 2，a nT(ai0)，其余列向量均可由 ai 线性表出，设为 ai=bjai(j=1

17、，2，n；j=i 时，取bi=1)，则 A=1， 2， n=b1i，b 2i，b ni=ib1，b 2，b n= b1，b 2，b n (2)记 =i=a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT，则 A=T，A k(T)k(T)(T)( T)=(T)(T)( T)T记T=a1b1+a2b2+anbn=，则 Ak=k1 T=k1 A【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由于对任何 X 均有 AX=0，取 x=1，0，0 T，由得 a11=a21=am1=0类似地，分别取 X 为e1=1，0，0 T，e 2=0，1，0，0 T，e n=0，0，1 T 代入方程，可证每个 aij=0，故

18、 A=O【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 B= 1， 2， t=1， 2， sC=AC r(B)=r(AC)r(C)又 r(B)=r(AC)r(A)+r(C)s，r(A)=s， 故 r(B)r(C)，从而有 r(B)=r(C)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因(A 的行向量的个数 s)(A 的线性无关行向量的个数 r(A)(B的行向量个数 m)(B 的线性无关的行向量的个数 r(B)，即 sr(A)mr(B) ，得 r(B)r(A)+ms=r+ms【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)设 r(A)=r1，r(A TA)=r2，由于 AX=0 的解都满足(A TA)X

19、=AT(AX)=0，故 AX=0 的基础解系(含 nr 1 个无关解 )含于 ATAX=0 的某个基础解系(含 nr 2 个无关解 )之中，所以 nr 1nr 2，故有 r2r1，即 r(ATA)r(A) 又当 ATAX=0 时(X 为实向量)，必有 XTATAX=0，即(AX) TAX=0，设AX=b1，b 2，b mT，则(AX) T(AX)= =0，必有 b1=b2=bm=0，即 AX=0，故方程组 ATAX=0 的解必满足方程组 AX=0，从而有 nr(A TA)nr(A) ，r(A)r(ATA) 由式 ，得证 r(A)=r(ATA)(2)A TAX=ATb 有解 r(ATA)-=r(

20、ATAA Tb)由(1)知 r(A)=r(AT)=r(ATA)，将 AT，A TA=B 以列分块，且 B=ATA的每个列向量均可由 AT 的列向量线性表出，故 AT 和 B=ATA 的列向量组是等价向量组，A Tb 是 AT 的列向量组的某个线性组合，从而 r(AT)=r(ATA Tb)=r(ATAA Tb)，故 r(ATA)=r(AT)=r(ATA Tb)=r(ATAA Tb)，故(A TA)X=ATb 有解【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 方程组是齐次线性方程组故当 2，且 2 时，有唯一零解；当 =2 时，有无穷多解，其解为k11， 1，0，0 T+k21，0，1，0 T+k31

21、，0，0 ，1 T；当 =2 时，方程为有通解 k1，1，1，1 T【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 方程组()的通解为 k11+k22+k33= 代入添加的两个方程，得 得解： 1=2，3，0 T， 2=0，1，1 T，故方程组()的基础解系为 1=213 2=4，3，2，5 T， 2=2 3=2，1，1，0 T【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 方程组()的通解为 k 11+k22=k13，7，2，0T+k21，2，0，1 T=3k 1k 2，7k 12k 2，2k 1，k 2T， 其中 k1，k 2 是任意常数将该通解代入方程组()得： 3(3k 1k 2)(7k 12k 2)+8(2k1)+k2=16k 1+16k13k 2+3k2=0， (3k 1k 2)+3(7k12k 2)9(2k 1)+7k2=21k 1+21k17k 2+7k2=0， 即方程组()的通解均满足方程组()，故()的通解 k 13，7，2，0 T+k21，2，0，1 T 即是方程组()，()的公共解【知识模块】 线性代数