[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷58及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 58 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。0 设 0 为 A 的特征值证明：1 AT 与 A 特征值相等；2 求 A2，A 2+2A+3E 的特征值；3 若|A|0，求 A 一 1，A *，E 一 A 一 1 的特征值4 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1， 2 的特征向量，证明：X 1+X2 不是 A的特征向量5 ， T=aibi0，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化5 设向量 =(a1，a 2，a n)T，其中 a10，A= T6 求方程组 AX=0 的通解；7 求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征

2、向量8 设 ，A= T，求|6E 一 An|9 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为 1= ， 2= ， 3= ，向量 = ，求 An10 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量？说明理由10 设 A，B 为 n 阶矩阵11 是否有 ABBA；12 若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA12 设 为 n 维非零列向量，A=E 一 证明：13 A 可逆并求 A 一 1；14 证明：

3、 为矩阵 A 的特征向量14 设矩阵 有一个特征值为 315 求 y；16 求可逆矩阵 P，使得(AP) T(AP)为对角矩阵16 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A 一 0，设(1 ，1，一 1)T 为 A 的非零特征值对应的特征向量17 求 A 的特征值；18 求矩阵 A19 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=8， 2=3=2，矩阵 A 的属于特征值 1=8 的特征向量为 1= ，属于特征值 2=3=2 的特征向量为 2= ，求属于2=3=2 的另一个特征向量20 设 n 阶矩阵 A 满足(aE 一 A)(bE 一 A)一 0 且 ab证明：A 可对角化21 设非

4、零 n 维列向量 ， 正交且 A=T证明： A 不可以相似对角化21 设22 证明 A 可对角化；23 求 Am24 设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P TAP 为正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 58 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数1 【正确答案】 因为|E 一 AT|=|(E一 A)T|=|E一 A|，所以 AT 与 A 的特征值相等【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 因为 A=0(a0)，所以 A2=0A=02，(A 2+2A+3E)=(02+20+3)，于是 A2，A 2+2A+3E 的特征值分别为 0

5、2， 02+20+3【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 因为|A|= 12 n0，所以 00，由 A=0得 A 一 1= ，由A*A=|A|得 A*= ，又(E 一 A 一 1)=(1一 )，于是 A 一 1，A *，E 一 A一 1 的特征值分别为【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 反证法 不妨设 X1+X2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有A(X1+X2)=(X1+X2)，因为 AX1=1 X1，AX 2=2 X2，所以( 1 一 ) X1+(2 一 ) X2=0，而 X1，X 2 线性无关，于是 1=2=，矛盾，故 X1+X2 不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数5

6、【正确答案】 令 T=k，则 A2=kA，设 AX=X，则 A2X=2X=kX，即 (一 k)X=0，因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0或 =k，由 1+ n=tr(A)且 tr(A)=k得 1= n 一 1=0， n=k，因为 r(A)=1，所以方程组(0E 一 A)X=0 的基础解系含有n 一 1 个线性无关的解向量，即 =0有 n 一 1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n 一 1 个线性无关的特征向量，其基础解系为则方程组 AX=0 的通解为 k11+k22

7、+kn 一 1n 一 1(k1，k 2，k n 一 1 为任意常数)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 因为 A2=kA，其中 k=(，)= 0，所以 A 的非零特征值为k，因为 A=T=k，所以非零特征值 k 对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A= T，由 |E一 A|=2(一 2)=0 得 1=2=0， 3=2，因为 6E 一 An的特征值为 6，6，6 一 2n，所以|6E 一 An|=62(6 一 2n)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 令 P=x11+x22+x33，解得 x1=2， x2=一 2，x 3=1，则 An=2An1 一2An2

8、+An3=【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 由 AX=X得 A2X=A(AX)=A(X)一 AX=2X 可知 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量，若 A2X=X，其中 ，A 2=0，A 2 的特征值为 =0，取X= 显然 A2X=0X，但 AX= 0X，即 X 不是 A 的特征向量，因此结论未必成立【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 一般情况下，AB 与 BA 不相似，如因为 r(AB)r(BA)，所以 AB 与 BA 不相似【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为A|=n ！0 ，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有 P 一1ABP=BA，故

9、ABBA 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为 A2=所以 A 可逆且A 一 1=A【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为 =一 2=一 ，所以 是矩阵 A 的特征向量，其对应的特征值为一 1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为 3 为 A 的特征值，所以|3E 一 A|=0，解得 y=2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，A 2=|E一 A1|=0 得 1=1， 2=9，当 =1时，由(E A1)X=0 得 1= ；=9 时，由(9E 一 A1)X=0 得 2= 单位

10、化得 1=(AP)T(AP)=【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A 23A=0 |A|3E 一 A|=0 =0， 3，因为 r(A)=1，所以1=3， 2=3=0【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设特征值 0 对应的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则 x1+x2 一 x3=0，则0 对应的特征向量为 2=(一 1，1，0) T， 3=(1，0，1) T，令【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有1T2=一 1+k=0 k=1 1=8 对应的特征向量为 1= 令 2=3=2 对应的另一个特征向量为

11、 3= ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 x1+x2+x3=0【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由(aE 一 A)(bE 一 A)=0，得|aE 一 A|bE 一 A|=0，则|aE 一 A|=0或者|bE 一 A|=0又由(aE 一 A)(bE 一 A)=0，得 r(aE 一 A)+r(bE 一 A)n同时 r(aE 一 A)+r(bE 一 A)r(aE一 A)一(bE 一 A)=r(a 一 b)E=n所以 r(aE 一 A)+r(bE 一 A)=n(1)若|aE 一 A|0，则 r(aE 一 A)=n，所以 r(bE 一 A)=0，故 A=bE(2)若|bE 一 A|0，则 r

12、(bE 一 A)=n，所以 r(aE 一 A)=0，故 A=aE(3)若|aE 一 A|=0 且|bE 一 A|=0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值，方程组(aE 一 A)X=0 的基础解系含有 n 一 r(aE 一 A)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(aE 一 A)个；方程组(bE 一 A)X=0 的基础解系含有 n 一 r(bE 一 A)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(bE 一 A)个因为 n 一 r(aE 一 A)+n 一 r(bE 一 A)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所

13、以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AX=X，显然 A2X=2X，因为 ， 正交，所以 A2=T T=0，于是 2X=0，而X0，故矩阵 A 的特征值为 1=2= n=0又由 ， 都是非零向量得 A0，因为 r(OE 一 A)=r(A)1，所以 n 一 r(OE 一 A)n一 1n，所以 A 不可相似对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由|E 一 A|=(一 1)2(+2)=0得 1=2=1， 3=一 2当 =1时，由(E 一 A)X=0 得 =1对应的线性无关的特征向量为 1=

14、 ， 2= 当 =一 2时，由(一 2E 一 A)X=0 得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为 3= 因为 A有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令于是 Am【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 首先 AT=A，因为(P TAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以 PTAP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 TA0，即 XT(PTAP)X0，故 XT(PTAP)X为正定二次型，于是 PTAP 为正定矩阵【知识模块】 线性代数