[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷84及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 84 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 要使 都是线性方程组 AX0 的解，只要系数矩阵 A 为 【 】（A）2 11（B）（C）（D）2 已知 Q ，P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQO，则 【 】（A）t6 时 P 的秩必为 1（B） t6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 23 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ab 的两个不同的解， 1， 2 是对应齐次线性方程组 A 0 的基础解系，k 1，k 2 为任意常数，则方程组 Ab 的通解(一般解)是 【 】（A

2、）k 11k 2(1 2) (1 2)（B） k11k 2(1 2) (1 2)（C） k11k 2(1 2) (1 2)（D）k 11k 2(1 2) (1 2)4 设 1(a 1，a 2，a 3)T， 2(b 1，b 2，b 3)T， 3(c 1，c 2，c 3)T则 3 条平面直线 a1b 1yc 10，a 2b 2yc 30 (其中 ai2b i20，i1，2，3)交于一点的充分必要条件是 【 】（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C）秩 r(1， 2， 3)秩 r(1， 2)（D） 1， 2， 3 线性相关，而 1， 2 线性无关5 设 A 是 mn 矩

3、阵，A0 是非齐次线性方程组 Ab 所对应的齐次线性方程组，则 【 】（A）若 A 0 仅有零解，则 Ab 有唯一解（B）若 A0 有非零解，则 Ab 有无穷多个解（C）若 Ab 有无穷多个解，则 A0 仅有零解（D）若 A b 有无穷多个解，则 A0 有非零解6 非齐次线性方程组 Ab 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则 【 】（A）rm 时，方程组 Ab 有解（B） rn 时，方程组 Ab 有唯一解（C） mn 时，方程组 Ab 有唯一解（D）rn 时，方程组 Ab 有无穷多解7 设有齐次线性方程组 A0 和 B0，其中 A、B 均为 mn 矩阵现有 4 个命

4、题： 【 】若 A0 的解均是 B0 的解，则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 A0 的解均是 B0 的解；若 A0 与 B0 同解，则秩 (A)秩(B)；若秩(A)秩(B) ，则 A0 与 B0 同解以上命题中正确的是（A） （B） （C） （D） 二、填空题8 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n1，则线性方程组AX0 的通解为_9 已知方程组 无解，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 问 a、b 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解，有无穷多组解? 并求出有无穷多解时的通解11 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式

5、12 已知 1(1 ，0，2，3) ， 2(1，1，3，5)， 3(1，1，a2，1)，4 (1，2，4 ，a 8)， (1，1，b3，5) (1)a、b 为何值时， 不能表示成1， 2， 3， 4 的线性组合 ? (2)a、b 为何值时， 可表示成 1， 2， 3， 4 的线性组合?并写出该表示式13 设 4 元齐次线性方程组()为 ，又已知某齐次线性方程组()的通解为志k1(0，1 ，1，0) Tk 2(1，2，2，1) T (1)求线性方程组()的基础解系； (2)问线性方程组()和()是否有非零公共解 ?若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由14 已知线性方程组 的一个基础解

6、系为： (b 11，b 12，b 1,2n)T， (b21，b 22， ，b 2,2n)T， ，(b n1，b n2，b n,2n)T 试写出线性方程组 的通解，并说明理由15 设 1， 2， ， m 为线性方程组 A0 的一个基础解系，1t 11t 22， 2t 12t 23， mt 1mt 21，其中 t1，t 2 为实常数，试问t1，t 2 满足什么关系时， 1， 2， m 也为 A0 的一个基础解系16 设矩阵 A、B 的行数都是 m，证明：矩阵方程 AXB 有解的充分必要条件是r(A)r(A B)17 设 X( ij)，问 a、b、c 各取何值时，矩阵方程 AXB 有解? 并在有解时

7、，求出全部解18 设 A 为 mn 矩阵证明：对任意 m 维列向量 b，非齐次线性方程组 Ab 恒有解的充分必要条件是 r(A)m19 设齐次线性方程组 Amn0 的解全是方程 b11b 22b nn0 的解，其中( 1， 2， n)T证明：向量 b(b 1，b 2， ，b n)可由 A 的行向量组线性表出20 设矩阵 A(a ij)nn 的秩为 n，a ij 的代数余子式为 Aij(i，j 1，2，n)记 A 的前 r 行组成的 rn 矩阵为 B，证明：向量组 是齐次线性方程组 B0 的基础解系21 设 A*为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵(n2)证明：22 取何值时，方程组 无解、有唯一解、

8、有无穷多组解? 在有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解23 参数 P、t 各取何值时，方程组 有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解24 已知下列非齐次线性方程组()，() ： (1)求解方程组( )，用其导出组的基础解系表示通解； (2)当() 中的参数 m，n，t 为何值时，方程组 ()与() 同解25 已知线性方程组 (1)a，b，c 满足何种关系时，方程组仅有零解 ? (2)a，b，c满足何种关系时，方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部解26 设 1， 2， ， k(kn)是 Rn 中 k 个线性无关的列向量证明：存在 n 阶满秩方阵 P，使得 P 以 1，

9、 2， k 为其前 k 列27 设有向量组() ： 1 (1，0，2) T， 2(1 ，1， 3)T， 3(1，一 1，a 2) T 和向量组( )： 1(1，2，a 3) T， 2(2，1，a6) T， 3(2，1，a4) T试问：当口为何值时，向量组() 与() 等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?28 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1：a2by3c 0 l 2：b2cy 3a0 l3：c2ay3b0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 abc029 设 mn 矩阵 A 的秩为 r，且 rn，已知向量 是非齐次线性方程组 Ab 的一个解试证：方程组 Ab 存在 n

10、r1 个线性无关的解，而且这 nr1 个解可以线性表示方程组 Ab 的任一解30 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解31 已知(1 ，1，1，1) T 是线性方程组 的一个解，试求 (1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满足 2 3 的全部解32 已知 3 阶矩阵 A 的第 1 行是(a，b，c) ，矩阵 B (k 为常数)，且 ABO ，求线性方程组 A0 的通解33 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解 (1)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)2； (2) 求 a，b 的值及方程组的通解考研数学

11、三（线性代数）模拟试卷 84 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 此时基础解系至少含 2 个向量( 1，及 2)，故有 3r(A)2，因而r(A)1，故只有 A 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 PQO 说明 Q 的每一列都是齐次方程组 P0 的解向量，当 t1时矩阵 Q 的秩为 2，故此时有 3r(P)2，即 r(P)1，又 PO，有 r(P)1，故当t1 时必有 r(P)1【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 注意 1， 1 2 亦为 A0 的基础解系，而 (1 2)为 Ab的

12、一个特解，由通解的结构即知 B 正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 题设 3 条直线交于一点 联立线性方程组 1y 2 30 有唯一解(，y) T由该非齐次线性方程组有唯一解 r(1， 2)r( 1， 2， 3)21， 2 线性无关，而 1， 2， 3 线性相关，即知 D 正确注意 C 项中的条件只保证了方程组有解，但不能保证解是唯一的，故选项 C 不对【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 当 Ab 有无穷多个解时，设 1、 2 是 Ab 的两个不同解，则由A(1 2)A 1A 2bb0 知 1 2 为 A0 的一个非零解【知识模块】 线性代数6 【正

13、确答案】 A【试题解析】 当 rm，即 mn 矩阵 A 的行向量组线性无关时，增广矩阵 的m 个行向量也线性无关，即知有 r(A)r( )m，故 Ab 有解【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 当 a1 时有唯一解；当 a1 且 b1 时无解；当 a1 且 b1 时有无穷多解，通解为 (1，1，0，0) Tc 1(1， 2，1，0) Tc 2(1，2，0，1)T【知识模块

14、】 线性代数11 【正确答案】 当且仅当 1 时有解，通解为 (1，1，0) Tc(1，2，1)T【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1)a1 且 b0 (2) 当 a1 时， 可由 1， 2， 3， 4 唯一地线性表示为： 当 a 1 且 b0 时， 可由 1， 2， 3， 4 线性表示为：( 2c1c 2)1(1 c 12c 2)2c 13c 24(c1，c 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)(0，0，1，0) T，(1，1，0，1) T (2)有非零公共解，所有非零公共解为 c(1，1，1， 1)T(c 为任意非零常数)将()的通解代入方程组( )，

15、有 ，解得 k1k 2，当 k1k 20 时，则向量 k1(0，1，1，0)T k2(1，2 ，2，1) Tk 2(0，1，1，0) T( 1，2，2，1) Tk 2( 1，1，1，1) T 满足方程组()(显然是() 的解)，故方程组() 与()有非零公共解，所有非零公共解是 c(1，1，1，1) T(c 为任意非零常数 )【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 记方程组()、() 的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的()的基础解系中的 n 个向量就是 B 的 n 个行向量的转置向量，因此，由()的已知基础解系可知 AB TO 转置即得 BATO 因此可知 AT 的 n 个列向量即

16、A的 n 个行向量的转置向量都是方程组()的解向量 由于 B 的秩为挖，故()的解空间的维数为 2nnn，所以()的任何 n 个线性无关的解就是()的一个基础解系已知()的基础解系含 n 个向量，故 2nr(A)n，得 r(A)n，于是 A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成()的一个基础解系，因此()的通解为 yc 1(11， 12， 1,2n)Tc 2(21， 22， 2,2n)Tc n(an1，a n2，a n,2n)T， (c1，c 2，c n 为任意常数)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 A0 的解的线性组合都是 A0 的解，知 1， m 均为A0 的解已知

17、 A0 的基础解系含 m 个向量，故 ， 也为 A0 的基础解系 ， ， 线性无关，m 阶行列式 即所求关系式为 t1m(1)m-1t2m0，即当 m 为奇数时，t 1t 2；当 m 为偶数时，t 1t2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设 B、X 按列分块分别为 Bb 1 b2 bpX 1 2 p，则AXB， A1 A2 Apb 1 b2 bp Ajb j(j1，2，p)，故AXB 有解 Ajb j(j1，2，p)有解，故由非齐次线性方程组 Ajb j 有解的充要条件可知，AXB 有解 r(A)r(A bj)(j1，2，p) r(A)rA b 1 b2bpA B【知识模块】 线性代数

18、17 【正确答案】 由下列矩阵的初等行变换： 可见，r(A) a1， b2，C 1，于是由上题知 AB 有解 a1，b2，c1此时，对矩阵 D 作初等行变换： 于是若将矩阵 B 按列分块为 Bb 1 b2 b3，则得方程组 Ab 1 的通解为： 1(1k，k，k) T；方程组 Ab 2 的通解为：2(2l，2l，l) T；方程组 Ab 3 的通解为： 3(1m ，1m ，m) T，所以，当 a 1，b2，c 1 时有解，全部解为【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 必要性：由必要性假定，对 j(0，0，1，0，0) T(第 j个分量为 1，其余分量均为零)，方程组 A j 有解 cj，即A

19、cj j(j1，2，m)，故有Ac 1 Ac2 Acm 1 2 mE m，记矩阵 cc 1 c2 cm，则有 AcE m，故有 mr(E m)r(Ac)r(A)m， r(A)m ；充分性：若 r(A)m，则 A 的行向量组线性无关，故增广矩阵 的行向量组也线性无关，m，由有解判定定理知方程组 Ab 有解，其中 b 为任意 m 维列向量【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由条件知方程组 A0 与方程组 0 同解，故有 r(A) ，因此 A 的极大无关行向量组也是 的极大无关行向量组，故 b 可由 A的极大无关行向量组线性表出，从而知 b 可由 A 的行向量组线性表出【知识模块】 线性代数2

20、0 【正确答案】 r(B) r， 方程组 B0 的基础解系含 nr 个向量，故只要证明 1， 2， ， n-r 是方程组 B0 的线性无关解向量即可首先，由行列式的性质，有 aijAkj0(i 1， 2，r ；kr1，r2，n)故 1， 2， n-r都是 B0 的解向量；其次，由于A *A n-10，知 A*的列向量组线性无关，而 1， 2， n-r 正好是 A*的后 nr 列，故 1， 2， n-r 线性无关，因此1， 2， n-r 是 B0 的 nr 个线性无关解向量，从而可作为 B0 的基础解系【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 当 r(A) n 时，A0，A * A n-10，

21、r(A*)n；当，r(A)n1 时，A 中非零子式的最高阶数为 n1，故 A*0，r(A *)1，又A*AAEO，A 的每一列都是方程组 A* 0 的解向量，故 A*0 至少有r(A)n1 个线性无关解，从而有 nr(A *)n1 r(A*)1，以上两方面说明r(A*)1；当 r(A)n1 时，A 的每个 n1 阶子式即每个元素的余子式都为零，故 A*O r(A*)0【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 当 一 2 且 1 时有唯一解；当 2 时无解；当 1 时有无穷多组解，通解为 ( 2，0，0) Tc 1(1，1， 0)Tc 2(1，0，1) T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】

22、 由增广矩阵的初等行变换： (1)当 t2 时，r(A)r( )，方程组无解； (2)当 t 2 且 P8 时，由 得通解为 (1，1，0，0)T c1(4，2，1，0) Tc 2(1，2，0，1) T (3)当 t2 且 P8 时，由 得通解为 (1，1，0， 0)Tc( 1，2，0，1) T【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)(2，4，5，0) Tk(1，1，2，1) T； (2)将()的通解( 1， 2， 3， 4)( 2k，4k，52k， k)T 代入()的第 1 个方程，得2km(4k) ( 52k) k5，即(34m) (m2)k5，由 k 的任意性得 m2，将 代入(

23、 ) 的第 2 个方程得 n4，将 代入()的第 3 个方程得t6故当 m2，n4，t6 时，()的解都是()的解，此时，由()的增广矩阵的初等行变换： 得()的通解为 (2，4，5，0) Tc(1 ，1，2，1) T，可见( )与()的通解相同，故当 m2，n4，t 6 时，()与() 同解【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)系数行列式A(ba)(c a)(cb)，故当 a，b，c 两两不相等时，方程组仅有零解 (2)当 abc 时，全部解为 k 1(1，1，0) T；当acb 时，全部解为 k 2(1，0，1) T；当 bca 时，全部解为k 3(0，1，1) T；当 abc

24、时，全部解为 k4(1，1，0) Tk 5(1，0，1)T【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 取齐次线性方程组 0 的基础解系 1， n-k，则可证明1， k， 1， n-k 线性无关： 设 11 kk 11 n-kn-k0，两端左乘(11 kk)T，并利用 iTj0(i1，k；j 1，nk)，得(11 kk)T(11 kk)0，即 11 kk20， 11 kk0，而 1， k 线性无关，1 k0， 11 n-kn-k0，又 1， n-k 线性无关，则1 n-k0，于是证得 1， k， 1， n-k 线性无关，令矩阵P 1， k1 n-k，则 P 为满秩方阵，且以 1， k 为其前 k

25、列【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由于行列式 1 2 3a1，故当 a1 时，方程组11 22 33 i(1，2，3)均有解(且有唯一解)，即向量组()可由()线性表示；又因行列式 1 2 360，同理可知向量组()可由()线性表示所以，当a 1 时，向量组( )与()等价当 a1 时，由于秩 1 2 3秩 1 2 3 1，故方程组 11 22 33 1 无解，即向量 不能由向量组() 线性表示，所以此时向量组() 与() 不等价【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 考虑由三直线方程联立所得线性方程组 则三直线交于一点方程组(*)有惟一解 2， 其中 必要性，由 3(abc)(a

26、b)2(b c)2(ca) 20，又 a、b、c 不全相等(否则三直线重合，从而有无穷多交点，与必要性假定交于一点矛盾)， abc 0充分性 若 abc0， 由必要性证明知 0，故 r( )3又系数矩阵 A 中有一个 2 阶子式 则方程组(*)有惟一解，即三直线交于一点【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由秩(A)rn，知方程组 A0 的基础解系含 nr 个向量，设A0 的基础解系为： 1， 2， n-r，则可证明：向量 ， 1， n-r 是满足题意的 nr1 个向量【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换： (1)当 a0 时，r(A)1n，故方程

27、组有非零解，其同解方程组为 1 2 n0，由此得基础解系为 1( 1，1，0， ，0) T， 2(1，0，1，0) T， n-1(1 ，0，0，1) T，于是方程组的通解为 k11k 22k n-1n-1，其中k1，k n-1 为任意常数 (2)当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换： 可知 a时r(A)n1n，故此时方程组也有非零解，方程组的用自由未知量表示的通解为 2 21， 33 1， nn 1 (1 任意)， 由此得基础解系为(1，2，3，n) T，于是方程组用基础解系表示的通解为 k，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 将解向量 (1，1，1，1) T 代入

28、方程组，得 ，对方程组的增广矩阵施行初等行变换： (1)当 时，有 因 r(A)r( )34，故方程组有无穷多解，全部解为 k(2，1，1，2) T，其中 k为任意常数 当 时，有 因 r(A)r( )24，故方程组有无穷多解，全部解为 ( ，1，0，0) Tk 1(1，3，1，0) Tk 2(1，2，0，2)T，其中 k1，k 2 为任意常数 (2)当 时，由于 ，即 ，解得k ， 故此时，方程组的解为 (1 ，0，0，1) T 当 时，由于 2 3，即 13k 12k 2k 1，解得 k2 2k 1， 故此时全部解为 k 1(1，3，1， 0)T( 2k 1)(1，2，0，2) T (1，

29、0，0，1)k 1(3， 1，1，4) T【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 由于 ABO，知 B 的每一列都是方程组 A0 的解，因此A0 至少有 r(B)个线性无关解，所以 A0 的基础解系至少含 r(B)个向量，即3r(A)r(B) ，或 r(A)3r(B)又由 a，b，c 不全为零，可知 r(A)1 当 k9 时，r(B)2，有 1r(A)1，于是 r(A)1； 当 k0 时，r(B)1，有 1r(A)2，于是r(A)1 或 r(A)2 当 k9 时，由 ABO 可得 由于 1(1，2，3)T， 2 (3，6 ，k) T 线性无关，故 1， 2 为 A0 的一个基础解系，于是 A

30、0 的通解为 c 11c 22，其中 c1，c 2 为任意常数 当 k9 时，分别就 r(A)2 和 r(A)1 讨论如下： 如果 r(A)2，则 A0 的基础解系由一个向量构成 又因为0，所以 A0 的通解为 c 1(1，2，3) T，其中 c1 为任意常数 如果 r(A)1，则 A 0 的基础解系由两个向量构成又因为 A 的第一行为(a ，b，c)且a，b，c 不全为零， 所以 A0 等价于 a1b 2c 30不妨设 a0，则1(b，a，0) T， 2(c ，0，a) T 是 A0 的两个线性无关的解，从而 1， 2可作为 A 0 的基础解系，故 A0 的通解为 c 11c 22，其中 c1，c 2 为任意常数【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)若 1， 2， 3 是 Ab 的 3 个线性无关解，则 1 2， 1 3是 A0 的两个线性无关解，故 A0 的基础解系所含向量个数 4r(A)2，则r(A)2，又显然有 r(A)2，推出 r(A)2； (2)a2，b3，通解(2，3，0，0) Tk 1(2，1，1，0) Tk 2(4， 5，0，1) T【知识模块】 线性代数