[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷91及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 91 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是一个 nn 矩阵，交换 A 的第 i 列和第 j 列后再交换第 i 行和第 j 行得到矩阵 B，则 A，B( )（A）是等价矩阵但不相似（B）是相似矩阵但不合同（C）是相似、合同矩阵，但不等价（D）是等价、相似、合同矩阵2 已知 A 是三阶实对称矩阵且不可逆，又知 A=3，A=，其中 =(1，2，3)T， =(5，1，t) T，则下列命题正确的是 ( ) A 必可相似对角化 必有 t=一 1 =(1，16，一 11)T 必是 A 的特征向量 AE 必为 0（A）（B）

2、（C） （D）3 设 A 为三阶矩阵，1，1，2 是 A 的三个特征值， 1， 2， 3 分别为对应的三个特征向量，则( ) （A） 1， 2， 3 为矩阵 2E 一 A 的特征向量（B） 12 为矩阵 2E 一 A 的特征向量（C） 1+2 为矩阵 2EA 的征征向量（D） 1， 2 为矩阵 2EA 的特征向量， 3 不是矩阵 2EA 的特征向量4 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的对应于 1， 2 的特征向量，则( )（A）当 1=2 时， 1 与 2 必成比例（B）当 1=2 时， 1 与 2 必不成比例（C）当 12 时， 1 与 2 必成比例（D）

3、当 12 时， 1 与 2 必不成比例二、填空题5 邑知 = 的一个特征向量，则a=_6 已知矩阵 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_7 已知 A 是四阶矩阵， 1， 2 是矩阵 A 属于特征值 =2 的线性无关的特征向量，若 A 的每一个特征向量均可由 1， 2 线性表出，那么行列式A+E的值为_8 若三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，5，5，则秩 r(5EA)= _9 设 A 是三阶矩阵，相似于对角阵 设 B=(A1E)(A2E)(A 一3E)则 B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 1， 2 是 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值， 是 A 的对

4、应于特征值 1 的一个单位特征向量试求矩阵 B=A1T 的两个特征值11 设 A、B 均为 n 阶实对称矩阵，且 A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，其中 a，b 均为实常数，证明：矩阵 A+B 的特征值全大于 a+b12 设 f(x)=xTAx 为一 n 元二次型，且有 Rn 中的向量 x1 和 x2，使得 f(x1)0，f(x 2)0证明：存在 Rn 中的向量 x00，使 f(x0)=013 设 A 为 n 阶正定矩阵，n 维实的非零列向量 1， 2， n，满足iTAi=0(i，j=1，2，n；ij)证明：向量组 1， 2， n 线性无关14 设 A 为 n 阶方阵，B 为 n

5、 阶可逆方阵，且 AB=BA，证明：(1)若 是 A 的特征向量，则 B 也是 A 的特征向量(2)若 A 有 n 个不同的特征值， 是 A 的特征向量，则 也是 B 的特征向量15 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 经正交变换 x=Qy 化为标准形 f=3y126y226y32，其中矩阵 Q 的第 1 列是 1=( )T求二次型 f(x1，x 2，x 3)的表达式16 已知三元二次型 xTAx 经正交变换化为 2y12y22y32，又知 A*=，其中=(1， 1，一 1)T，求此二次型的表达式17 已知 =0 是矩阵 A= 的特征值，求 a 的值，并求正交矩阵 Q，使 Q1A

6、Q=A18 已知矩阵 A= 的特征值有重根，判断 A 能否相似对角化，并说明理由19 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，其中 10，若A1=2，A 2=3，A n1=n，A n=0 (1)证明： 1， 2， n 线性无关 (2)求 A 的特征值、特征向量20 已知 A= ，求 A 的特征值与特征向量，并指出 A 可以相似对角化的条件21 A 是三阶实对称矩阵，A 的特征值是 1=1， 2=2， 3=一 1，且 1=(1，a+1，2)T2=(a 一 1，一 a，1) T 分别是 1， 2 所对应的特征向量，A 的伴随矩阵 A*有特征值 0， 0 所对应的特征向量是 0=

7、(2，一 5a，2a+1) T试求 a 及 0 的值22 设 A 为三阶方阵，a 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且A3=3A 一 2A2，证明：矩阵 B=，A ，A 4可逆23 已知 A= 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A200424 已知矩阵 A= (1)求 A99； (2)设 3 阶矩阵 B=(1， 2， 3)满足：B2=BA记 B100=(1， 2， 3)，将 1， 2， 3 分别表示为 1， 2， 3 的线性组合25 设 A 为 n 阶实对称矩阵，其秩为 r(A)=r(1)证明：A 的非零特征值的个数必为 r(A)=r(2)举一个三阶矩

8、阵说明对非对称矩阵上述命题不正确26 已知 A= 相似，求 a，b 的值，并求正交矩阵P 使 p1AP=B27 若 n 阶矩阵 A=1， 2， n1， n的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n1个列向量线性无关，= 1+2+ n证明： (1)方程组 Ax= 必有无穷多解 (2)若(k1，k 2，k n)T 是 Ax= 的任一解，则 kn=128 A 是 3 阶实对称矩阵，A 2=E，如果 r(A+E)=2，求 A 的相似对角形，并计算行列式A+2E的值29 A，B 均为 n 阶非零矩阵，且 A2+A=0，B 2+B=0，证明：=一 1 必是矩阵 A 与B 的特征值 若 AB=BA=0， 与

9、 分别是 A 与 B 属于特征值 =一 1 的特征向量，证明：向量组 ， 线性无关30 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 ，若 ，A ，A 2 线性无关，且 A3=3A 一2A2，试求矩阵 A 的特征值与特征向量31 设 A= 是矩阵 A1 属于特征值 0 的特征向量，若A= 一 2，求 a，b， c 及 0 的值考研数学三（线性代数）模拟试卷 91 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A 的 i 列和 i 列互换，i 行和 i 行互换，相当于右乘、左乘互换初等阵，即 B=E ijAEij，其中 因E ij=一 10，

10、E ij 是可逆阵，且 Eij1=EijEijT=Eij，即 B=EijAEij=Eij1AEij=EijAEij，故 A，B 是等价、相似、合同矩阵故选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A 是实对称矩阵，故必可对角化，正确 实对称矩阵不同特征值的特征向量必正交，由 T=52+3t=0， 知 t=一 1，故正确 A 不可逆，于是=0 是 A 的特征值，它与 ， 均要正交，可求出 ，是 A 属于 =0 的特征向量，故正确 由 A= 知，=1 是 A 的特征值，故 EA=0正确因此四个命题均正确，故选 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 利用特征值、

11、特征向量的定义可直接导出(A)正确注意 2EA 的特征值为 1，1，0故选 A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时，它们为 A 的重数大于等于 2 的特征值，故对应的线性无关的特征向量个数可能大于 1，也可能等于 1，所以选项(A)与(B)均不对，而当12 时，则由对应于不同特征值的特征向量线性无关知， 1 与 2 必不成比例故选 D【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 2【试题解析】 设 a 是矩阵 A 属于特征值 0 的特征向量，按定义有可得 a=2【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 0【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式 E 一 A =

12、 =( 一3)2，知矩阵 A 的特征值是 3，3，0 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，故=3 必有两个线性无关的特征向量，因此秩 r(3EA)=1 而 3EA=，可见必有 a=0【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 3 4【试题解析】 因为不同特征值的特征向量线性无关，现在矩阵 A 的每个特征向量均可由 1， 2 线性表出，故 =2 必是矩阵 A 的 4 重特征值，因此，A+E 的特征值为 3(4 重根) ，所以A+E=3 4【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 1【试题解析】 实对称矩阵必可相似对角化，因而 =5 必有两个线性无关的特征向量，所以齐次方程组(5E 一 A)x=0

13、的基础解系由两个线性无关的解向量所构成，从而秩 r(5EA)=32=1【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 0【试题解析】 由 AA，知存在可逆矩阵 P，使 P1AP=A B=(A 1E)(A2E)(A 一 3E) =(PAP4 一 1E)(PAP4 一 2E)(PAP4 一 3E) =P(A1E)P4P(A2E)P4P(A3E)P4=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 因为 是 A 的属于 1 的单位特征向量，故有 A=1，及T=1，于是有 B=(A1T)=A1(T) =1 一 1=0=0， 故 0 为 B 的一个特征值，且 为对应

14、的特征向量 设 B 为 A 的属于特征值 2 的特征向量，则有A=2，且由实对称矩阵的性质，有 与 正交，即 T=0，于是有 B(A 1T)=A 一 1(T)=A 一 0=2， 故 2 为 B 的一个特征值且 为对应的特征向量 所以 B 必有特征值 0 和 2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 设 为 A+B 的任一特征值，则有 x0，使(A+B)x=x由此可得(A 一 aE)+(B 一 bE)x= 一(a+b)x，即 一(a+b)为实对称矩阵 (AaE)+(B 一 bE)的特征值设 为 A 一 aE 的任一特征值，则有 y0，使(AaE)y=y，即 Ay=(+a)y，故 +a 为 A

15、的特征值，由题设条件，有 +aa，故 0，即 A 一 aE 的任一特征值都大于零，故实对称矩阵 A 一 aE 为正定矩阵同理可证实对称矩阵 B 一 bE为正定矩阵，由于同阶正定矩阵之和为正定矩阵，故矩阵(AaE)+(BbE)为正定矩阵，因而它的特征值全大于零，从而有 一(a+b)0，于是得 A+B 的任一特征值 都大于 a+b【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 令向量 x0=tx1+x2，其中 t 为待定实数，选择 t，使 f(x0)=0，即 x0TAx0=(tx1+x2)TA(tx1+x2) =(tx1T+x2T)A(tx1+x2) =t2x1TAx1+2tx1TAx2+x2TAx2=

16、0， 记实数 a=x1TAx1，b=x 1TAx2，c=x 2TAx2，则由题设条件知 a0，c0于是上式可写为 at2+2bt+c=0 由于关于 t 的这个二次方程有 a0，判别式 =4b2 一 4ac0，故该方程必有实根 t00，于是有向量 x0=tx1+x20(否则 t0x1+x2=0，则 x2=一 t0x1，于是f(x2)=x2TAx2=(一 t0x1)TA(一 t0x1)=t02x1TAx10，它与已知的 f(x2)0 相矛盾)，使得 f(x0)=x0TAx0=at02+abt0+c=0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设有一组数 x1，x 2，x n，使得 x11+x22+

17、xnn=0，两端左乘 1TA，得 x11TA1=0，由 A 正定及 10，得 1TA10，故 x1=0，同理可得x2=xn=0，故 1， 2， ， n 线性无关【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1)设 A=，则 A(B)=B(A)=B()=(B)，所以 B 也是 A 的特征向量(2)由(1)知，B 是 A 对应于同一特征值的特征向量，又由于 A 有 n 个不同的特征值，故对应于同一特征值的特征向量线性相关，所以 ，B 线性相关，又，B 均为非零向量，所以存在常数 k，使 B=k，所以 是 B 的对应于特征值 k的特征向量【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由题设 A 的三个特征

18、值分别为 1=3， 2=3=一 6，且属于 1=3 的特征向量是 1=(1，2，2) T 设 2=3=一 6 的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，因 A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，有 x， 1=0，即 x 1+2x2+2x3=0 得 2=(0，1，一 1)T， 3=(2，0，一 1)T 是属于 2=2=一 6 的特征向量 先将2， 3 正交化，有 2=2，故所求的二次型为xTAx=一 5x122x222x32+4x1x2+4x1x3+8x2x3【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 xTAx=2y12y22y32 知 A 的特征值是 2，一 1，一 1，那么A

19、=2 从而 1，一 2，一 2 是 A*的特征值，因此 是 A*属于 =1 的特征向量，也就是 A 属于 =2 的特征向量 设 A 属于 =一 1 的特征向量是x=(x1，x 2，x 3)T，则因 A 是实对称矩阵，x 与 正交，故 x1+x2x3=0解出x1=(1，一 1，0) T，x 2=(1， 0，1) Tx 1，x 2 是 A 属于 =一 1 的特征向量故xTAx=2x1x22x1x32x2x3【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 =0 是 A 的特征值，故得矩阵A 的特征值 1=2=0， 3=6 由(0E A)x=0 得特征向量 1=(一 2，1，0) T， 2=(一1，0

20、，1) T 由(6E A)x=0 得特征向量 3=(1，2，0) T对 1， 2 正交化得【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 A 的特征多项式E 一 A=( 一 2)(2 一 8+10+a)，若 =2是重根，则 2 一 8+10+a 中含有 一 2 的因式，于是 22 一 16+10+a=0，得 a=2 此时 2 一 8+12=( 一 2)( 一 6)矩阵 A 的 3 个特征值是 2(二重根)，6 对于=2，由 r(2EA)= =1，知 A 可以相似对角化 若 =2 不是重根，则 2 一 8+10+a 是完全平方，于是 8 2=4(10+a)， 得 a=6， =4(二重根) ， 对于

21、=4，由于 r(4EA)= =21，故 a=6 时，A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)设 k11+k22+knn=0， 据已知条件，有 A 1=2， A21=A2=3， A n11=An22=An1=n， A n1=An12=A n=0，于是，用 An1 左乘式，得 k 1n=0由于 n0，得 k1=0 再依次用 An2，A n3，左乘式，可得到 k1=k2=kn=0，所以 1， 2， n 线性无关 (2)将A1=2，A 2=3，A n=0 用矩阵表示为 A 1， 2， n=1， 2， n1，0 = 1， 2， n 从 1， 2， n 线性无关知，矩阵1， 2，

22、 n可逆，从而 得知 A 的特征值全为0，又因 r(A)=r(B)n1，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系仅由 n 一(n 一 1)1 个向量组成，所以 A 的全部特征向量为 kn，k0【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式E 一 A=(+a 一 1)(a)(a 一 1)，得 A 的特征值是 1=1 一 a， 2=a， 3=a+1 由( 1EA)x=0，得属于 1=1 一 a 的特征向量是 1=(1，0，1) T 由( 2EA)x=0，得属于 2=a 的特征向量是 2=(1，1一 2a，1) T， 由( 3E 一 A)x=0，得属于 3=a+1 的特征向量是 3=

23、(2 一 a，一4a，a+2) T 如果 1， 2， 3 互不相同，即 1 一 aa，1 一 aa+1，aa+1 ， 即 a且 a0，则矩阵 A 有 3 个不同的特征值A 可以相似对角化 若 a=，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化 若 a=0，即 1=3=1，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 3=(x1，x 2，x 3)T 是 A 关于 3 所对应的特征向量，由于 A 是实对称矩阵，有 1， 2， 3 两两正交，于是由解出 a=1 或 a=一 1 若 a=1，从、可得 3=(一 4，1，1) T

24、，此时 1=(1，2，2) T， 2=(，一1，1) T， 0=(2，一 5，3) T因为 A 关于 的特征向量就是 A*关于 的特征向量，现在 0 不与任一个 A 的特征向量共线，说明风不是 A 的特征向量，a=1 不合题意，舍去 若 a=一 1，从、得 1=(1，0，2) T， 2=(一 2，1，1) T， 3=(一 2，一5，1) T， 0=(2，5，一 1)T，那么 A3=33，即 A0=30，又A= 123=一 2，有 3A10=0，即 A*0= 0=20所以 a=一 1， 0=2【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由于 B=，A，A 4=，A，A 2 ，易知B = ，A，A

25、2 =7，A，A 20，可见 B 为可逆矩阵【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由于 A 是上三角矩阵，所以主对角元素就是 A 的特征值， 1=2=1， 3=1=一 1，因为矩阵 A 有四个线性无关的特征向量，故 r(EA)=2， 从而 a=0，类似地由 r(EA)=2 知，b=0 ， 对于 =1，由线性方程(E 一 A)x=0，得 =1 的特征向量为 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0)T 对于 =一 1，由线性方程 (EA)x=0，得 =一 1 的特征向量为3=(1， 0，0，一 1)T， 4=(0，1，一 1，0) T故 A 2004=(A2)1002=E【知识模块

26、】 线性代数24 【正确答案】 (1)由 E 一 A= =(+1)(+2)=0，得 A 的特征值 1=0， 2=一 1， 3=一 2于是，A 可以对角化 当 1=0 时，解方程组(0EA)x=0因为 1EA= ，故矩阵 A 的对应于特征值 1=0 的特征向量为 1=3，2，2 T当 2=一 1 时，解方程组(一 EA)x=0因为2EA= 故矩阵 A 的对应于特征值 2=一 1 的特征向量为 2=1，1，0 T当 3一 2 时，解方程组(一 2EA)x=0因为 3EA=故矩阵 A 的对应于特征值 3=一 2 的特征向量为 3=1，2，0 T(2)由 B2=114，有 B3=BB 2=BBA=B

27、2A=BAA=BA2类似可得 B 100=BA99即 (1， 2， 3)=(1， 2， 3) 故所求线性组合为 1=(一 2+299)1+(一 2+2100)2， 2=(1299)1+(12100)2， 3=(2298)1+(2299)2【试题解析】 利用矩阵的相似对角化计算矩阵 A 的高次幂，利用已知条件 B2=BA与矩阵运算来计算矩阵 B 的高次幂【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)A 是实对称矩阵必可相似对角化，设由于 r(A)=r，故 a1，a 2，a n 中有且仅有 r 个数非零，而 a1， a2，a n 是矩阵 A 的特征值所以矩阵 A 的非零特征值的个数必为 r(A)

28、=r(2) 例如，A= ，矩阵 A 的特征值是 0，0，0，而 r(A)=2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 AB，有 得 a=1，b=0，那么，矩阵 A 的特征值是 1，0，6再分别解方程组 (iEA)x0，得 A 的特征向量=1 时， 1=(2，0，1) T；0 时， 2=(一 1，1，2) T；=6 时， 3=(1，5，一 2)T特征值不同，特征向量可正交，只需单位化为【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)因为 2， 3， n 线性无关，所以 2， 3， n1 线性无关，而 1， 2， n1，线性相关，因此 1 可由 2， n1 线性表出，r(A)=n 一 1 又

29、 =1， 2， n 可由 1， 2， n 线性表出，增广矩阵=r(A)=n 一 1，因此方程组 Ax= 必有无穷多解 (2)因为 1， 2， ， n1 线性相关，故存在不全为零的实数 l1，l 2，l n1，使 l11+l22+ln1n=0，即 又因 r(A)=n 一 1，故(l 1，l n1，0) T 是Ax=0 的基础解系又 =1， 2， n=， 故(1，1， ，1) T 是 Ax= 的一个特解，于是 Ax= 通解是 (1，1，1)T+k(l1，l 2，l n1，0) 因此，当(k 1，k n1)T 是 Ax= 的解时，必有kkn=1【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由于 A2=E

30、，A 的特征值只能是 1 或一 1，又因为 A 是实对称矩阵，A 必有 3 个线性无关的特征向量从 r(A+E)=2 和(A+E)x=0 的基础解系由 3 一r(A+E)=1 个向量组成，知 =一 1 只有一个线性无关的特征向量，从而 =一 1 是单根，=1 是二重根，因此 由于 +2 是 A+2E 的特征值，知 3，3，1 是 A+2E 的特征值，故 A+2E =3 31=9【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因为(E+A)A=0，A0，知齐次方程组 (E+A)x=0 有非零解，即行列式E+A=0所以 =一 1 必是矩阵 A 的特征值同理，=一 1 也必是矩阵 B的特征值类似地，由 A

31、B=0，B0，知行列式A=0，所以 0 必是矩阵 A 的特征值，同理，=0 也必是矩阵 B 的特征值对于 A=一 ，用矩阵 B 左乘等式的两端有 BA=一 B，又因为 BA=0，故B=0=0即 是矩阵 B 属于特征值 =0 的特征向量那么， 与 是矩阵 B 的不同特征值的特征向量，因而 ， 线性无关【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由于 A3+2A2 一 3A=0，有 A(A 2+2 一 3)=0=0(A2+2 一3) 因为 ，A，A 2 线性无关，故必有 A2+2A 一 30，所以 =0 是 A 的特征值， A 2+2A 一 3 是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量 类似地，由A3+2A2 一 3A=0，有 (AE)(A2+3A)=0=0(A2+3A)， (A+3E)(A 2 一 A)=0=0(A2 一 A) 所以，=1 是 A 的特征值，A 2+3A 是属于 =1 的特征向量；=一 3 是 A 的特征值，A 2A 是属于 =一 3 的特征向量【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 在 A1=0 两边左乘 A 得 0A=，即则有 a(b 一 6)=0 若 a=0，由、解出 c=一 2， 0=1，代入 得 b=一 2 若b=6，由 、 解出 c=一 4， 0=一 1，代入 得 a=一 2【知识模块】 线性代数