[考研类试卷]考研数学三（线性方程组）模拟试卷2及答案与解析.doc

1、考研数学三（线性方程组）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量 可由向量组 1， 2，., m 线性表示，但不能由向量组(I)： 1， 2，., m-1, 线性表示，记向量组()： 1， 2，., m-1，则（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但不可由()线性表示2 设 1， 2， .， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2，.， s 线性

2、相关，则 A1，A 2， .，A s 线性相关（B）若 1， 2，.， s 线性相关，则 A1，A 2，.，A s 线性无关（C）若 1， 2，.， s 线性无关，则 A1，A 2，.，A s 线性相关（D）若 1， 2，.， s 线性无关，则 A1，A 2， .，A s 线性无关3 设 1， 2， .， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2，. ， s ，线性无关（B）若 1， 2，.， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，有 k11+k22+kss=0（C） 1

3、， 2，.， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.（D） 1， 2，.， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关4 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=05 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为（A）( 2+3)/2+k1(2-1)（B） (2-3)/2+k1(2-1) （C） (2+3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)（D）( 2

4、-3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)6 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解必是（A）k 11+k2(1+2)+(1-2)/2（B） k11+k2(1-2)+(1+2)/2（C） k11+k2(1+2)+(1-2)/2（D）k 11+k2(1-2)+(1-2)/27 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为r，则（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n

5、 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，必有行列式丨 AB 丨0.（B）当 mn 时，必有行列式丨 AB 丨=0（C）当 nm 时，必有行列式丨 AB 丨0（D）当 nm 时，必有行列式丨 AB 丨=0 11 设 n 维行向量 =(1/2， 0，,0，1/2)，矩阵 A=E-T，B=E+2 T,其中 E 为 n 阶单位矩阵，则 AB=（A）0（B） -E（C） E（D）E+ T12 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是 A 的伴随矩阵，则（A）(A *)*=丨 A 丨 n-1A（B） (A*)*=丨 A 丨 n+1A（C） (A*)*=丨 A 丨 n-2A（D）(A *)*=丨

6、 A 丨 n+2A13 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) *=（A）kA *（B） kn-1A*（C） knA*（D）k -1A*.14 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0，则（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆（B） E-A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆15 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -116

7、 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有（A）当丨 A 丨=a(a0)时，丨 B 丨=a（B）当丨 A 丨=a(a0)时，丨 B 丨=-a.（C）当丨 A 丨0 时，丨 B 丨=0（D）当丨 A 丨=0 时，丨 B 丨=0 17 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *（D）交换 A*的第 l 行与第 2 行得-B *二、填空题18 设 A 为 3 阶矩阵，丨 A 丨

8、=3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2行得矩阵 B，则丨 BA*丨 =_.19 若 1， 2， 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式丨 1， 2， 3， 1 丨=m，丨 1， 2， 2， 3 丨=n，则 4 阶行列式丨 3， 2， 1， 1+2 丨=_.20 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1， 2， 3)， B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93). 如果丨 A 丨=1，那么丨 B 丨=_21 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a T， B=E+1/a T 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_.22 设矩阵

9、 A 满足 A2+A-4E=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.23 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则B-C 为 _.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设 A 为 n 阶非零矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，当 A*=AT 时，证明丨 A 丨024 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B25 证明 B 可逆；26 求 AB-1考研数学三（线性方程组）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题

10、目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 可由 1， 2，., m 线性表示，故可设 =k11，k 22，.,k mm 由于 不能由 1， 2，., m-1 线性表示，故上述表达式中必有 km0因此 m=1/km(-k11-k22-km-1m-1) 即 m 可由()线性表示，可排除(A)、 (D) 若 m 可由(I)线性表示，设 m=l11+lm-1m-1，则 =(k 1+kml1)1+(k2+kml2)2+(km-1+kmlm-1)m-1 与题设矛盾，故应选 (B)【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1， A2，.，A s=A(1， 2，.， s)，所以

11、 r(A1，A 2， .，A s)r(1， 2，.， s) 因为 1， 2，.， s 线性相关，有r(1， 2，.， s)1，A 2，.，A s)1，A 2，.，A s 线性相关，故应选(A) 注意，当 1， 2，.， s 线性无关时，若秩 r(A)=n，则 A1，A 2，.，A s 线性无关，否则 A1，A 2，.，A s 可以线性相关因此，(C)，(D) 均不正确【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 按线性相关定义：若存在不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss=0， 则称向量组 1， 2，.， s 线性相关 因为线性无关等价于齐次方程组只有零解，

12、那么，若 k1，k 2，k s 不全为 0，则(k 1，k 2，k s)T必不 是齐次方程组的解，即必有 k11+k22+kss0可知(A)是正确的，不应当选 因为“如果 1， 2，.， s 线性相关，则必有 1， 2，.， s+1 线性相关”，所以，若 1， 2，.， s 中有某两个向量线性相关，则必有 1， 2，.， s 线性相关那么 1， 2，.， s 线性无关的必要条件是其任一个部分组必线性无关因此(D)是正确的，不应当选【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 D【试题解析】 按特征值和特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1， A(1+2)线性无关 k11+k2

13、A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为 0 (k1+1k2)1+2k22=0，k 1，k 2 恒为 0 由于不同特征值的特征向量线性无关， 所以 1， 2线性无关【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【试题解析】 分析一 因为 1， 2， 3 足 Ax= 的 3 个线性无关的解，那么 2-1， 3-1 是 Ax=0 的 2 个线性无关的解从而 n-r(A)2，即 3-r(A)2 r(A)1 显然 r(A)l，凶此 r(A)=1 由 n-r(A)=3-1=2，知(A)、(B)均不正确 又 A（ 2+3）/2=1/22+1/2A3=,故 1/2(2+3)是方程组 Ax= 的解所以应选(C)，

14、 注意：1/2(2+3)是齐次方程组 Ax=0 的解 分析二 用排除法( 2+3)/2 三是齐次线性方程组 Ax=0 的解，所以可排除选项(B)，(D)；又 2-1， 3-1 线性无关，所以 Ax=0 的基础解系至少包含 2 个解向量，从而可排除选项(A)因此应选(C) 【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查解的性质与解的结构从 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，知Ax=b 的通解形式为 k 11+k21+, 其中， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系， 是 Ax=b 的解 由解的性质知： 1， 1+2，( 1-2)/2， 1-2,1-2 都是 Ax=0 的解，(

15、 1+2)是Ax=b 的解 那么(A)中没有特解 ，(C) 中既没有特解 ，且 1+2 也不是 Ax=0 的解(D)中虽有特解，但 1， 1-2 的线性相关性不能判定，故(A) 、(C)、(D)均不正确 唯(B) 中，( 1-2)/2 是 Ax=b 的解， 1， 1+2 是 Ax=0 的线性无关的解，是基础解系故应选(B)【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 是 mn 矩阵，若秩 r(A)=m，则m=r(A)r(A， b)m于是 r(A)=r(A，b) 故方程组有解，即应选(A)或，由 r(a)=m，知 A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(

16、A，b)的 m 个行向量也是线性无关的亦知 r(A)=r(A，b)关于(B) 、(D)不正确的原因是：由 r(A)=n 不能推导出 r(A，b)=n(注意 A 是 mn 矩阵，m 可能大于 n)，由 r(A)=r 亦不能推导出 r(A，b)=r，你能否各举一个简单的例子?至于(C)，由克莱姆法则，r(A)=n 时才有唯一解，而现在的条件是 r(a)=r，因此(C)不正确本题答对的同学仅 40，一是由 r(A)=m 不会分析出 r(A，b)=m，一是由 r(A)=n误认为必有 r(A)=n【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 A【试题解析】 若 是(I) 的解，则 A=0，那么 (A TA)

17、=AT(A)：A T0=0，即 是()的解 若 是( )的解，有 ATA=0，用 T 左乘得 TATA=0，即(A) T(A)=0 亦即 A 自己的内积 (A，A)=0 ，故必有 A=0，即 是(I)的解 所以(I) 与()同解，故应选 (A)【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(E- T)(E+2T) =E+2T-T-2TT =E+T-2T(T) 故 AB=E+T-21/2T =E【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 C【试题解析】 伴随矩阵的基本关系式为 AA*=A

18、*A=丨 A 丨 E 现将 A*视为关系式中的矩阵 A，则有 A *(A*)*=丨 A*丨 E 那么，由丨 A*丨 =丨 A 丨 n-1 及(A *)-1 =A/丨 A 丨，可得 (A *)*-丨 A*丨（A *-1） = 丨 A 丨 n-1A/丨 A 丨 =丨 A 丨 n-2A【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 B【试题解析】 对任何 n 阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的 n 阶矩阵自然也要成立 那么,A 可逆时， A *=丨 A 丨 A-1 有(kA) * =丨 kA 丨(kA) -1=kn 丨 A 丨 1/kA-1 =kn-1A 选(B)【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】

19、 C【试题解析】 因为(E-A)(E+A+A 2)=E-A3=E， (E+A)(E-A+A 2)=E+A3=E 所以，由定义知 E-A，E+A 均可逆故选 (C)【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A，B，A+B 均可逆，则有 (A -1+B-1)-1=(EA-1+B-1E)-1 =(B-1BA-1+B-1AA-1)-1=B-1(B+A)A-1-1 =(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B 故应选(C) 注意，一般情况下(A+B) -1A-1+B-1，不要与转置的性质相混淆【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 D【知识模块】 线性方程

20、组17 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组二、填空题18 【正确答案】 -27【试题解析】 A 两行互换得到 B，由行列式性质丨 A 丨=- 丨 B 丨，故 丨 BA*丨=丨 B*丨丨 A*丨=-丨 A 丨.丨 A 丨 2=-27【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 n-m【试题解析】 利用行列式的性质，有 丨 3， 2， 1， 1+2 丨=丨 3， 2， 1， 1丨+丨 3， 2， 1， 2 丨 =-丨 1， 2， 3， 1 丨-丨 1， 2， 3， 2 丨 =-m+丨1， 2， 2,3 丨 =n-m【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 2【试题解析】 丨 B 丨= 丨 1

21、+2+3， 1+22+43， 1+32+93 丨 = 丨1+2+3， 2+33， 2+53 丨 =丨 1+2+3， 2+33，2 3 丨 =2 丨1+2+3， 2+33， 3 丨 =2 丨 1+2， 2， 3 丨 =2 丨 1， 2， 3 丨 =2 丨 A 丨 =2【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 -1【试题解析】 按可逆定义，有 AB=E，即 (E- T)(E+1/aT)=E+1/aT-T-1/aTT 由于 T=2a2，而 T 是秩为 1 的矩阵.【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 1/2(A+2E)【试题解析】 矩阵 A 的元素没有给出，因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的

22、路均堵塞应当考虑用定 义法 因为 (A-E)(A+2E)-2E=A 2+A-4E=0 故 (A-E)(A+2E)=2E 按定义知 (A-E) -1=1/2(A+2E)【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 E【试题解析】 由 B=E+AB (E-A)B=E B=(E-A)-1 由 C=A+CA C(E-A)=A C=A(E-A)-1 B-C=(E-A) -1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 若丨 A 丨=0，则 AAT=AA*=丨 A 丨 E=0 设 A 的行向量为ai(i=1，2，n) ，则 aiaiT=ai12+ai22+ain2=0(i=1，2，n) 于是ai=(ai1ai2,， ain)=0(i=1，2，n) 进而有 A=0，这与 A 是非零矩阵相矛盾 故丨 A 丨0【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由于 B=EijA，其中 Eij 是初等矩阵 因为 A 可逆，丨 A 丨0，故丨B 丨=丨 EijA 丨= 丨 Eij 丨丨 A 丨=-丨 a 丨0 ，所以 B 可逆。【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 由 B=EijA，知 AB-1=A(EijA)-1=AA-1Eij-1=Eij-1=Eij【知识模块】 线性方程组