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[考研类试卷]考研数学三(线性方程组)模拟试卷2及答案与解析.doc

1、考研数学三(线性方程组)模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设向量 可由向量组 1, 2,., m 线性表示,但不能由向量组(I): 1, 2,., m-1, 线性表示,记向量组(): 1, 2,., m-1,则(A) m 不能由 (I)线性表示,也不能由()线性表示(B) m 不能由(I)线性表示,但可由()线性表示(C) m 可由(I)线性表示,也可由()线性表示(D) m 可由 (I)线性表示,但不可由()线性表示2 设 1, 2, ., s 均为 n 维列向量,A 是 mn 矩阵,下列选项正确的是(A)若 1, 2,., s 线性

2、相关,则 A1,A 2, .,A s 线性相关(B)若 1, 2,., s 线性相关,则 A1,A 2,.,A s 线性无关(C)若 1, 2,., s 线性无关,则 A1,A 2,.,A s 线性相关(D)若 1, 2,., s 线性无关,则 A1,A 2, .,A s 线性无关3 设 1, 2, ., s 均为 n 维向量,下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数 k1,k 2, ks,都有 k11+k22+kss0,则 1, 2,. , s ,线性无关(B)若 1, 2,., s 线性相关,则对于任意一组不全为零的数k1,k 2,k s,有 k11+k22+kss=0(C) 1

3、, 2,., s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.(D) 1, 2,., s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关4 设 1, 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1, 2,则1, A(1+2)线性无关的充分必要条件是(A) 10(B) 20(C) 1=0(D) 2=05 设 A 为 43 矩阵, 1, 2, 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解,k1,k 2 为任意常数,则 Ax= 的通解为(A)( 2+3)/2+k1(2-1)(B) (2-3)/2+k1(2-1) (C) (2+3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)(D)( 2

4、-3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)6 已知 1, 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解, 1, 2 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系, k1,k 2 为任意常数,则方程组 Ax=b 的通解必是(A)k 11+k2(1+2)+(1-2)/2(B) k11+k2(1-2)+(1+2)/2(C) k11+k2(1+2)+(1-2)/2(D)k 11+k2(1-2)+(1-2)/27 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n,方程个数为 m,系数矩阵 A 的秩为r,则(A)r=m 时,方程组 Ax=b 有解(B) r=n 时,方程组 Ax=b 有唯一解(C) m=n

5、 时,方程组 Ax=b 有唯一解(D)rn 时,必有行列式丨 AB 丨0.(B)当 mn 时,必有行列式丨 AB 丨=0(C)当 nm 时,必有行列式丨 AB 丨0(D)当 nm 时,必有行列式丨 AB 丨=0 11 设 n 维行向量 =(1/2, 0,,0,1/2),矩阵 A=E-T,B=E+2 T,其中 E 为 n 阶单位矩阵,则 AB=(A)0(B) -E(C) E(D)E+ T12 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2),A *是 A 的伴随矩阵,则(A)(A *)*=丨 A 丨 n-1A(B) (A*)*=丨 A 丨 n+1A(C) (A*)*=丨 A 丨 n-2A(D)(A *)*=丨

6、 A 丨 n+2A13 设 A 是任一 n(n3)阶方阵,A *是其伴随矩阵,又 k 为常数,且 k0,1,则必有(kA) *=(A)kA *(B) kn-1A*(C) knA*(D)k -1A*.14 设 A 为 n 阶非零矩阵,E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0,则(A)E-A 不可逆, E+A 不可逆(B) E-A 不可逆,E+A 可逆(C) E-A 可逆,E+A 可逆(D)E-A 可逆, E+A 不可逆15 设 A,B,A+B,A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵,则(A -1+B-1)-1 等于(A)A -1+B-1(B) A+B(C) A(A+B)-1B(D)(A+B) -116

7、 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价,则必有(A)当丨 A 丨=a(a0)时,丨 B 丨=a(B)当丨 A 丨=a(a0)时,丨 B 丨=-a.(C)当丨 A 丨0 时,丨 B 丨=0(D)当丨 A 丨=0 时,丨 B 丨=0 17 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵,交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B,A *,B *分别为A,B 的伴随矩阵,则(A)交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*(B)交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*(C)交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *(D)交换 A*的第 l 行与第 2 行得-B *二、填空题18 设 A 为 3 阶矩阵,丨 A 丨

8、=3,A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2行得矩阵 B,则丨 BA*丨 =_.19 若 1, 2, 3, 1, 2 都是 4 维列向量,且 4 阶行列式丨 1, 2, 3, 1 丨=m,丨 1, 2, 2, 3 丨=n,则 4 阶行列式丨 3, 2, 1, 1+2 丨=_.20 设 1, 2, 3 均为 3 维列向量,记矩阵 A=( 1, 2, 3), B=(1+2+3, 1+22+43, 1+32+93). 如果丨 A 丨=1,那么丨 B 丨=_21 设 n 维向量 =(a,0,0,a) T,a T, B=E+1/a T 其中 A 的逆矩阵为 B,则 a=_.22 设矩阵

9、 A 满足 A2+A-4E=0,其中 E 为单位矩阵,则(A-E) -1=_.23 设 A,B,C 均为 n 阶矩阵, E 为 n 阶单位矩阵,若 B=E+AB,C=A+CA,则B-C 为 _.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设 A 为 n 阶非零矩阵,A *是 A 的伴随矩阵,A T 是 A 的转置矩阵,当 A*=AT 时,证明丨 A 丨024 设 A 是 n 阶可逆方阵,将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B25 证明 B 可逆;26 求 AB-1考研数学三(线性方程组)模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题

10、目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 可由 1, 2,., m 线性表示,故可设 =k11,k 22,.,k mm 由于 不能由 1, 2,., m-1 线性表示,故上述表达式中必有 km0因此 m=1/km(-k11-k22-km-1m-1) 即 m 可由()线性表示,可排除(A)、 (D) 若 m 可由(I)线性表示,设 m=l11+lm-1m-1,则 =(k 1+kml1)1+(k2+kml2)2+(km-1+kmlm-1)m-1 与题设矛盾,故应选 (B)【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1, A2,.,A s=A(1, 2,., s),所以

11、 r(A1,A 2, .,A s)r(1, 2,., s) 因为 1, 2,., s 线性相关,有r(1, 2,., s)1,A 2,.,A s)1,A 2,.,A s 线性相关,故应选(A) 注意,当 1, 2,., s 线性无关时,若秩 r(A)=n,则 A1,A 2,.,A s 线性无关,否则 A1,A 2,.,A s 可以线性相关因此,(C),(D) 均不正确【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 按线性相关定义:若存在不全为零的数 k1,k 2,k s,使 k11+k22+kss=0, 则称向量组 1, 2,., s 线性相关 因为线性无关等价于齐次方程组只有零解,

12、那么,若 k1,k 2,k s 不全为 0,则(k 1,k 2,k s)T必不 是齐次方程组的解,即必有 k11+k22+kss0可知(A)是正确的,不应当选 因为“如果 1, 2,., s 线性相关,则必有 1, 2,., s+1 线性相关”,所以,若 1, 2,., s 中有某两个向量线性相关,则必有 1, 2,., s 线性相关那么 1, 2,., s 线性无关的必要条件是其任一个部分组必线性无关因此(D)是正确的,不应当选【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 D【试题解析】 按特征值和特征向量的定义,有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1, A(1+2)线性无关 k11+k2

13、A(1+2)=0,k 1,k 2 恒为 0 (k1+1k2)1+2k22=0,k 1,k 2 恒为 0 由于不同特征值的特征向量线性无关, 所以 1, 2线性无关【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【试题解析】 分析一 因为 1, 2, 3 足 Ax= 的 3 个线性无关的解,那么 2-1, 3-1 是 Ax=0 的 2 个线性无关的解从而 n-r(A)2,即 3-r(A)2 r(A)1 显然 r(A)l,凶此 r(A)=1 由 n-r(A)=3-1=2,知(A)、(B)均不正确 又 A( 2+3)/2=1/22+1/2A3=,故 1/2(2+3)是方程组 Ax= 的解所以应选(C),

14、 注意:1/2(2+3)是齐次方程组 Ax=0 的解 分析二 用排除法( 2+3)/2 三是齐次线性方程组 Ax=0 的解,所以可排除选项(B),(D);又 2-1, 3-1 线性无关,所以 Ax=0 的基础解系至少包含 2 个解向量,从而可排除选项(A)因此应选(C) 【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查解的性质与解的结构从 1, 2 是 Ax=0 的基础解系,知Ax=b 的通解形式为 k 11+k21+, 其中, 1, 2 是 Ax=0 的基础解系, 是 Ax=b 的解 由解的性质知: 1, 1+2,( 1-2)/2, 1-2,1-2 都是 Ax=0 的解,(

15、 1+2)是Ax=b 的解 那么(A)中没有特解 ,(C) 中既没有特解 ,且 1+2 也不是 Ax=0 的解(D)中虽有特解,但 1, 1-2 的线性相关性不能判定,故(A) 、(C)、(D)均不正确 唯(B) 中,( 1-2)/2 是 Ax=b 的解, 1, 1+2 是 Ax=0 的线性无关的解,是基础解系故应选(B)【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 是 mn 矩阵,若秩 r(A)=m,则m=r(A)r(A, b)m于是 r(A)=r(A,b) 故方程组有解,即应选(A)或,由 r(a)=m,知 A 的行向量组线性无关,那么其延伸组必线性无关,故增广矩阵(

16、A,b)的 m 个行向量也是线性无关的亦知 r(A)=r(A,b)关于(B) 、(D)不正确的原因是:由 r(A)=n 不能推导出 r(A,b)=n(注意 A 是 mn 矩阵,m 可能大于 n),由 r(A)=r 亦不能推导出 r(A,b)=r,你能否各举一个简单的例子?至于(C),由克莱姆法则,r(A)=n 时才有唯一解,而现在的条件是 r(a)=r,因此(C)不正确本题答对的同学仅 40,一是由 r(A)=m 不会分析出 r(A,b)=m,一是由 r(A)=n误认为必有 r(A)=n【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 A【试题解析】 若 是(I) 的解,则 A=0,那么 (A TA)

17、=AT(A):A T0=0,即 是()的解 若 是( )的解,有 ATA=0,用 T 左乘得 TATA=0,即(A) T(A)=0 亦即 A 自己的内积 (A,A)=0 ,故必有 A=0,即 是(I)的解 所以(I) 与()同解,故应选 (A)【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(E- T)(E+2T) =E+2T-T-2TT =E+T-2T(T) 故 AB=E+T-21/2T =E【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 C【试题解析】 伴随矩阵的基本关系式为 AA*=A

18、*A=丨 A 丨 E 现将 A*视为关系式中的矩阵 A,则有 A *(A*)*=丨 A*丨 E 那么,由丨 A*丨 =丨 A 丨 n-1 及(A *)-1 =A/丨 A 丨,可得 (A *)*-丨 A*丨(A *-1) = 丨 A 丨 n-1A/丨 A 丨 =丨 A 丨 n-2A【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 B【试题解析】 对任何 n 阶矩阵都要成立的关系式,对特殊的 n 阶矩阵自然也要成立 那么,A 可逆时, A *=丨 A 丨 A-1 有(kA) * =丨 kA 丨(kA) -1=kn 丨 A 丨 1/kA-1 =kn-1A 选(B)【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】

19、 C【试题解析】 因为(E-A)(E+A+A 2)=E-A3=E, (E+A)(E-A+A 2)=E+A3=E 所以,由定义知 E-A,E+A 均可逆故选 (C)【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A,B,A+B 均可逆,则有 (A -1+B-1)-1=(EA-1+B-1E)-1 =(B-1BA-1+B-1AA-1)-1=B-1(B+A)A-1-1 =(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B 故应选(C) 注意,一般情况下(A+B) -1A-1+B-1,不要与转置的性质相混淆【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 D【知识模块】 线性方程

20、组17 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组二、填空题18 【正确答案】 -27【试题解析】 A 两行互换得到 B,由行列式性质丨 A 丨=- 丨 B 丨,故 丨 BA*丨=丨 B*丨丨 A*丨=-丨 A 丨.丨 A 丨 2=-27【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 n-m【试题解析】 利用行列式的性质,有 丨 3, 2, 1, 1+2 丨=丨 3, 2, 1, 1丨+丨 3, 2, 1, 2 丨 =-丨 1, 2, 3, 1 丨-丨 1, 2, 3, 2 丨 =-m+丨1, 2, 2,3 丨 =n-m【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 2【试题解析】 丨 B 丨= 丨 1

21、+2+3, 1+22+43, 1+32+93 丨 = 丨1+2+3, 2+33, 2+53 丨 =丨 1+2+3, 2+33,2 3 丨 =2 丨1+2+3, 2+33, 3 丨 =2 丨 1+2, 2, 3 丨 =2 丨 1, 2, 3 丨 =2 丨 A 丨 =2【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 -1【试题解析】 按可逆定义,有 AB=E,即 (E- T)(E+1/aT)=E+1/aT-T-1/aTT 由于 T=2a2,而 T 是秩为 1 的矩阵.【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 1/2(A+2E)【试题解析】 矩阵 A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的

22、路均堵塞应当考虑用定 义法 因为 (A-E)(A+2E)-2E=A 2+A-4E=0 故 (A-E)(A+2E)=2E 按定义知 (A-E) -1=1/2(A+2E)【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 E【试题解析】 由 B=E+AB (E-A)B=E B=(E-A)-1 由 C=A+CA C(E-A)=A C=A(E-A)-1 B-C=(E-A) -1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 若丨 A 丨=0,则 AAT=AA*=丨 A 丨 E=0 设 A 的行向量为ai(i=1,2,n) ,则 aiaiT=ai12+ai22+ain2=0(i=1,2,n) 于是ai=(ai1ai2,, ain)=0(i=1,2,n) 进而有 A=0,这与 A 是非零矩阵相矛盾 故丨 A 丨0【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由于 B=EijA,其中 Eij 是初等矩阵 因为 A 可逆,丨 A 丨0,故丨B 丨=丨 EijA 丨= 丨 Eij 丨丨 A 丨=-丨 a 丨0 ,所以 B 可逆。【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 由 B=EijA,知 AB-1=A(EijA)-1=AA-1Eij-1=Eij-1=Eij【知识模块】 线性方程组

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