[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷14及答案与解析.doc

1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 Ik=0ksin xdx(k=1，2，3)，则有 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I32 3 4 5 二、填空题6 7 已知 是 f(x)的原函数，则xf(x)dx=_8 xx(1+lnx)的全体原函数为_9 (arcsin x)2dx=_10 11 若f(x)dx=F(x)+C 且 x=at+b(a0)，则f(t)dt=_ 12 13 设 f(ex)=1+x，则 f(x)=_14 三、解答题解答应写出文

2、字说明、证明过程或演算步骤。15 求xsin 2xdx16 设 f(x)= 求f(x)dx17 求不定积分18 求不定积分19 已知 f(x)的一个原函数为(1+sin x)ln x，求xf(x)dx20 计算21 22 求e xsin2xdx23 24 25 26 27 求(x 5+3x22x+5)cos xdx28 29 30 31 设函数 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 =f(0)，证明：在(0，1)内存在一点 c，使 f(c)=032 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f() bg(x)dx=g()af(x)dx考研数学二（

3、一元函数微分学）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 首先，由 sin xdx0 可得 I2I 1其次，其中 故I3I 1，从而 I2I 1I 3，故选(D) 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 设 x=t6， dx=6t 5dt【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 其中 C 为任意常

4、数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 因为 是 f(x)的原函数，所以【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 x x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 因为(x x)=(exlnx)=xx(1+ln x)，所以 x 2(1+lnx)dx=xx+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 F(t)+C ，其中 C 为任意常数【试题解析】 因

5、F(x)=f(x)，故 F(t)=f(t)，于是f(t)dt=F(t)+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 xln x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 设 u=ex，则 x=ln u，由 f(ex)=1+x，得 f(u)=1+ln u，f(u)=(1+ln u)du=ulnu+C，因此 f(x)=xln x+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证

6、明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 当 x1 时，f(x)dx=2dx=2x+C 1；当 0x1 时，f(x)dx=xdx= +C2；当 x0 时，f(x)dx=sin xdx=-cos x+C 3 因为 f(x)在( 一 ，1)内连续，所以f(x)出在(一，1)内存在，因而f(x)dx 在 x=0 处可导，连续，因此又因 x=1 为 f(x)的第一类间断点，所以在包含 x=1 的区间内 f(x)的原函数不存在，故此处的 C1 和 C2 是两个相互独立的常数【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确

7、答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 由于xf(x)dx=xf(x) 一f(x)dx，又由于(1+sin x)ln x 为 f(x)的一个原函数，因此 f(x)=(1+sin x)ln x=cos xln x+ 且f(x)dx=(1+sin x)ln x+C，【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 结合图 133，可得【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 e xsin2xdx= 而excos 2xdx=cos2xdex =excos 2x+2sin 2x.exdx =excos 2x+2sin 2xdex=ex

8、cos 2x+2exsin 2x 一 4excos 2xdx，【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 因为 x4+1=(x2+1)2 一 2x2=【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 利用表格的形式：所以(x 5+3x22x+5)cos xdx=(x5+3x22x+5)sin x+(5x4+6x 一 2)cos x 一 20x3+6)sin x一 60x2cos x+120xsin x+120cos x+C【知识模块】 一元函数积分学

9、28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 设 ln x=t，则 x=e t，【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 由积分中值定理知，在 上存在一点 c1，使从而有 f(c1)=f(0)，故 f(x)在区间 0，c 1上满足罗尔定理条件，因此在(0 ，c 1)内存在一点 c，使 f(c)=0，c (0，c 1) (0，1)【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 记 G(x)=f(x)xbg(t)dtg(x)axf(t)dt求得 G(x)的原函数为 F(x)=axf(t)dtxbg(t)dt+C，其中 C 为任意常数，因为 f(x)，g(x)在a，b上连续，所以F(x)：(1)在a，b 上连续；(2)在(a ，b)内可导；(3)F(a)=F(b)=C，即 F(x)在a ，b上满足罗尔定理，所以，至少存在一个 (a，b)，使得 F()=0，即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【知识模块】 一元函数积分学