[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷25及答案与解析.doc

1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=y(x)是二阶线性常系数微分方程 y+Py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 的极限( )（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 32 设 f(x)=x2(x 一 1)(x 一 2)，则 f(x)的零点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0(x)=，则 (x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导

2、但 (x)在 x=0 不连续（D）可导且 (x)在 x=0 连续4 设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( )（A）（B）（C）（D）5 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) （D）对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)6 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（A）f(x)在 x=1 处不可导（B） f(x

3、)在 x=1 处可导，且 f(1)=a（C） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=b（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab7 设函数 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导8 周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 ，则y=f(x)在点(5,f(5)处的切线斜率为( )（A） （B） 0（C）一 1（D）一 29 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量 x=一 01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)等于( )（A）一 1（B） 01（C）

4、1（D）0510 =( )（A）（B）（C） ln(1+lnx)一 ln(1+2x)（D）ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)11 已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足矿 xf(x)+3xf(x)2=1 一 e-x，若 f(x0)=0(x00)，则( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） (x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点12 若 f(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1

5、，2) 内 ( )（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点13 设函数 则( )（A）x= 为 F(x)的跳跃间断点（B） x= 为 F(x)的可去间断点（C） F(x)在 x= 处连续不可导（D）F(x)在 x= 处可导14 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0,f(x) 0， x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则( )（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy0二、填空题15 设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xey 确定，则 =_

6、.16 设 y=y(x)由参数方程=_，y=y(x)在任意点处的曲率 K=_17 已知 则 y=_18 =_.19 曲线 的点处的法线斜率为_20 已知 xy=ex+y，则 =_.21 设 =_.22 作变量替换 可简化为_23 设 =_.24 设 y=y(x)是由方程 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 确定的，则 y=y(x)的极值点是_25 设函数 ，则 y(n)(0)=_26 已知 ，则 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 证明：当 0a b 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a28 证明：28 设奇函数 f(x)在一 1， 1上具有

7、二阶导数，且 f(1)=1，证明：29 存在 (0，1)，使得 f()=130 存在 (一 1，1)，使得 f()+f()=131 设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f(x)0，记 un=f(n)，n=1，2，又u1u 2 证明32 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内可导，且 f(0)=0,f(1)=33 求34 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设 f(0)存在且等于 a(a0)，试证明对任意 x,f(x)都存在，并求 f(x)35 已知函数 试求 a 的取值范围36 求极限37

8、 设 且 f(x)0，证明 f(x)x(x0)38 设 其中 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f(0)=1(1)a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处连续(2)a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处可导考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 用等价无穷小代换和洛必达法则得，【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 容易验证 f(0)=f(1)=f(2)=0，因此由罗尔中值定理知至少有 1(0，1)，2(1， 2)，使 f(1)=f(2)=0 成立，

9、所以 f(x)至少有两个零点又 f(x)中含有因子x，因此可知 x=0 也是 f(x)的零点，因此选 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 先求【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 因 如果此极限存在，则由导数定义可知，函数 f(x)在 x=a 处可导，即该极限存在是 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件故选 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，知 根据极限的保号性，存在 0，使对任意 x 于是当 x(一 ，0)时，有 f(x)f(0)；当 x(0，)时，有 f(x)f(0)故选 C【知识模块】 一元

10、函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f(0)=0，对于极限是无穷小量，sin 为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知， 因此 f(x)在 x=0处连续，排除 A、B又因为 不存在，所以 f(x)在 x=0 处不可导，故选 C【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在( 一，+) 内可导，且 f(x)=f(x+4k)，其中 k 为整数，故有 f(x)=f(x+4k)取 x=1，k=1，可得 f(1)=f(5)又由可得 f(1)=一 2，故选 D【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答

11、案】 D【试题解析】 由微分的定义可知，函数 f(x)在戈 0 点处的增量y 的线性主部即为函数 f(x)在该点处的微分 dy x=x0=f(x0)x，所以有 01=y(一 1)x=一 01y(一1)，即 y(一 1)=一 1而因此 f(1)=05，故选D【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 故选A【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)=0 知，x=x 0 是 y=f(x)的驻点将 x=x0 代入方程，得 x0f(x0)+3x0f(x0)2=1 一 e-x0，即得 (分 x00 与 x00 讨论) ，由极值的第二判定定理可知，f

12、(x)在 x0 处取得极小值，故选 B【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意,f(x)是一个凸函数，因此 f(x)0，在点(1，1) 处的曲率，而 f(1)=一 1，由此可得 f(1)=一 2在闭区间1，2上，f(x)f(1)=一 10，即 f(x)单调减少，没有极值点根据拉格朗日中值定理，对于f(2)一 f(1)=f()【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 C【试题解析】 由于则 F( 一 0)=F(+0)，所以 F(x)在 x= 处是连续的即F-()F+()，所以 F(x)在 x= 处是不可导的因此选 C【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答

13、案】 A【试题解析】 根据函数单调性的判 f(x)0 可知,f(x)严格单调增加，由 f(x)0 可知,f(x)是凹函数作函数的图象如图 24 所示，显然x0 时，ydy=f(x 0)dx=f(x0)x 0，即知选择 A【知识模块】 一元函数微分学二、填空题15 【正确答案】 一 e【试题解析】 当 x=0 时，y=1在方程两端对 x 求导，得 y=一 ey 一 xeyy，整理得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知， 因此，y=y(x) 的曲率【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 易知【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【

14、试题解析】 本题为 未定式极限的求解，利用洛必达法则进行计算【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析】 本题考查参数方程的导数及导数的几何意义【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 在方程两端分别对 x 求导，得其中 y=y(x)是由方程 xy=ex+y 所确定的隐函数【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 0【试题解析】 由题干可得，【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 x=1【试题解析】 方程两边对 x 求导，

15、可得 y(3y2 一 2y+x)=x 一 y， (*) 令 y=0，有x=y，代入 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 中，可得(x 一 1)(2x2+x+1)=0，那么 x=1 是唯一的驻点下面判断 x=1 是否极值点：对(*)求导得 y(3y2 一 2y+x)+y(3y2 一 2y+x)x=1 一 y把 x=y=1，y(1)=0 代入上式，得 故 y(x)只有极值点为x=1，且它是极小值点【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 【试题解析】 本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 【试题解析】 等式两边取对数，则有 等式两边分别对

16、x 求导，有 整理得【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 令 f(x)=xsinx+2cosx+x，需证 0ax 时,f(x)是单调增加的f(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=xcosxsinx+f(x)=cosxxsinxcosx=一 xsinx0，所以 f(x)严格单调减少又 f()=cos=0 故 0ax 时,f(x) 的一阶导数大于零，从而函数单调增加，根据 ba 可得 f(b)f(a) ，即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数

17、微分学【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 x，F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)一 1=0，由罗尔定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 令 G(x)=ef(x)一 1，由(1)知，存在 (0，1) ，使 G()=0，又因为 f(x)为奇函数，故 f(x)为偶函数，知 G(一 )=0，则存在 (一 ，)c(一 1，1)，使得 G()=0，即 e(f()一 1)+eny()=0，即 f()+f()=1【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 对函数 f(x)分别在区间k ，k+1

18、 ，k=1，2，n，上使用拉格朗日中值定理 u2 一 u1=f(2)一 f(1)=f(1)0，1 12，u n-1 一 un-2=f(n 一 1)一 f(n一 2)=f(n-2)，n 一 2 n-2n 一 1，u n 一 un-1=f(n)一 f(n 一 1)=f(n-1)，n 一 1 n-1n因 f(x)0，故 f(x)严格单调增加，即有 f(n-1)f( n-2)f( 2)f( 1)=u2 一 u1，则 un=(un 一 un-1)+(un-1un-2)+(u2 一 u1)+u1=f(n-1)+f(n-2)+f( 1)+u1f( 1)+f(1)+f( 1)+u1=(n 一 1)(u2 一

19、u1)+u1，于是有 【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 令 则 F(1)=F(0)=0在区间 上分别应用拉格朗日中值定理，将上面两个等式相加【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得 f(0)=0，为证明 f(x)存在，则由导数定义，【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 先作变量替换并转化为 型，然后用洛必达法则【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学38 【正确答案】 (1)由题意【知识模块】 一元函数微分学