1、考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设周期函数 f(x)在(一,+)内可导,周期为 4,又 =一 1,则曲线 y=f(x)在点(5,f(5)处的切线斜率为 ( )(A)(B) 0(C)一 1(D)一 22 设函数 f(x)与 g(x)在(a,b)上可导,考虑下列叙述:(1)若 f(x)g(x),则 f(x) g(x);(2)若 f(x)g(x) ,则 f(x)g(x)则 ( )(A)(1),(2)都正确(B) (1),(2)都不正确(C) (1)正确,但(2)不正确(D)(2)正确,但 (1)不正确3 两曲线
2、 y= 处相切,则 ( )4 若 f(x)在 x0 点可导,则f(x) 在 x0 点 ( )(A)必可导(B)连续,但不一定可导(C)一定不可导(D)不连续5 设函数 f(x)= 则 f(x)在点 x=0 处 ( )(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导6 关于函数 y=f(x)在点 x0 的以下结论正确的是 ( )(A)若 f(x0)=0,则 f(x0)必是一极值(B)若 f“(x0)=0,则点(x 0,f(x 0)必是曲线 y=f(x)的拐点(C)若极限 存在(n 为正整数),则 f(x)在 x0 点可导,且有 =f(x0)(D)若 f(x)在 x0 处可微
3、,则 f(x)在 x0 的某邻域内有界7 设 F(x)= 其中 f(x)在 x=0 处可导,f(0)0,f(0)=0,则 x=0 是 F(x)的 ( )(A)连续点(B)第一类间断点(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定8 设函数 f(x)= 在 x=0 处 f(x) ( )(A)不连续(B)连续,但不可导(C)可导,但导数不连续(D)可导,且导数连续二、填空题9 p(x)为二次三项式,要使得 ex=p(x)+o(x2)(x0) ,则 p(x)=_10 曲线 y= 的斜渐近线方程为_11 若 f(t)= ,则 f(t)=_12 设 =_13 曲线 处的法线方程是_三、解答题解答应写
4、出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 y= 求 y(n)(0)15 设 f(x)满足 f(x)+2f ,求 f(x)16 设 f(x)= 试确定常数 a,b,c,使 f(x)在 x=0 处连续且可导17 顶角为 60,底圆半径为 a 的正圆锥形漏斗内盛满水,下接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积),水由漏斗注入水桶,问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时,漏斗中水平面高度是多少?18 防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 121),截面的面积为 5 平方米,问底宽 x 为多少时才能使建造时所用的材料最省?19 试证明:曲线 y= 恰有三个拐点,且位于同
5、一条直线上20 求曲线 的斜渐近线21 求曲线 r= 的斜渐近线22 作函数 y=x2+ 的图形23 求函数 y=excos x 的极值24 若函数 f(x)在(一,+)内满足关系式 f(x)=f(x),且 f(0)=1,证明:f(x)=e x25 设 f(x)可导,证明:f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点26 设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b) 内可导,且 f(a)=f(b)=0,求证:(1)存在 (a,b),使 f()+f()=0;(2)存在 (a,b) ,使 f()+f()=027 设函数 f(x)在一 2,2上二阶可导,且f(x) 1,又 f2(0)+f(
6、0)2=4 试证:在(一 2,2) 内至少存在一点 ,使得 f()+f“()=028 设函数 f(x)在0,1上二阶可导,且 f(0)=f(0)=f(1)=0,f(1)=1求证:存在 (0,1),使f“()4 29 设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b) 上可导且 f(a)f(b)试证:存在, (a,b),使得 30 设函数 f(x)在闭区间a,b上连续(a,b0) ,在(a ,b) 内可导试证:在(a ,b)内至少有一点 ,使等式 =f()一 f()成立。31 设 f(x)在0, 上具有连续的二阶导数,且 f(0)=0证明:存在 , , sin 2f“()32 试求方程 ex=ax2(
7、a0 为常数)的根的个数33 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导,且 f(m)(x0)=0(m=1,2,n 一 1),f (n)(x0)0(n2),证明:(1)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时 f(x)在 x0 处取得极大值; (2)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时 f(x)在 x0 处取得极小值考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 f(x)周期为 4,曲线在点(5,f(5) 处的切线斜率与曲线在点(1,f(1)处的切线斜率相等,根据导数的几何意义,曲线在
8、点(1,f(1) 处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数即 f(1)=一 2【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=e 一 x 与 g(x)=一 e 一 x,显然 f(x)g(x),但 f(x)=一 e 一x,g(x)=e 一 x,f(x)g(x),(1)不正确将 f(x)与 g(x)交换可说明(2)不正确【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因两曲线相切于点=4a+b,又因为相切于该点,故切线斜率相等,即导数相等,所以一。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)=x 在 x=0 处
9、可导,但f(x)= x在 x=0 处不可导,排除(A)函数 f(x)=x2 在 x=0 处可导,f(x) =x 2在 x=0 处也可导,排除(C) ,(D)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 不存在,故 f(0)不存在【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不一定,反例: f(x)=x3,f(0)=0 ,但 x=0 非极值点;(B)不一定,需加条件:f“(x)在 x0 点两侧异号;(C)项所给的只是必要条件,即仅在子列上收敛,这是不够的【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 F(0)=f(0)=0, =f(0)0【知
10、识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 x2+x+1【试题解析】 设 p(x)=ax2+bx+c,由题意知,当 x0 时,e x 一 p(x)=o(x2),【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 =1,所以斜渐近线为y=2x+1【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (2t+1)e 2t【试题解析】 f(t)=【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 y= 一 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三
11、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 方程两边同时对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 设在时刻 t,漏斗中水平面的高度为 h,水量为 p,水桶中水平面的高度为 H,水量为 q(如图 121),则 p= h2,q=b 2H 因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量,所以【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 设截面周长为 S,矩形高为 y,则由问题的实际意义知,截面周长必有最小值,并且就在此驻点处取得,因此当底宽为 2367 米时
12、,截面的周长最小,因而所用材料最省【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 所以这三个拐点在一条直线上【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 当 t1,t一 1 或 t时,都有 x 当 t1 时,【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 写为参数方程形式【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 定义域 (一 ,0)(0,+),无周期性无奇偶性【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【试题解析】 欲证 f(x)=ex,一种思路是移项作辅助函数 (x)=f(x)一 ex,如能证明(x)0,从而 (x)C由条件 (0)
13、=f(0)一 1=0,得 C=0,即 f(x)一 ex0,于是f(x)=ex但 (x)=f(x)一 ex,利用已知条件 f(x)=f(x)得 (x)=f(x)一 ex,要证 (x)0,即要证 f(x)=ex,而这就是我们要证明的结论,故这种思路行不通另一种思路是由 f(x)=ex 两边同除以 ex 得辅助函数 (x)= 若能证明 (x)=0,从而 (x)=C,由条件 (0)=0,因此本题利用第二种思路【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)ex,由于 f(x)可导,故 F(x)可导,设 x1 和x2 为 f(x)的两个零点,且 x1x 2,则 F(x)在
14、x 1,x 2上满足罗尔定理条件,由罗尔定理,至少存在一点 (x1,x 2),使得 F()=0,即 f()e+f()e=e【试题解析】 f(x)的两个零点 x1,x 2(不妨设 x1x 2)之间有 f(x)+f(x)的零点问题,相当于在(x 1,x 2)内有 f(x)+f(x)=0 的点存在的问题若能构造一个函数 F(x),使F(x)=f(x)+f(x)(x),而 (x)0,则问题可以得到解决由(e x)=ex 可以得到启发,令 F(x)=f(x)ex【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 (1)设 (x)=xf(x),则 (x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且(a)=(b)=0
15、,由罗尔定理得,存在 (a,b),使 ()=0,即 f()+f()=0 (2)设F(x)= f(x),则 F(x)在a,b上连续,在(a ,b)内可导,且 F(a)=F(b)=0,由罗尔定理得,存在 (a,b),使 F()= f()=0,即 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 根据拉格朗日中值定理有 f(0)一 f(一 2)=2f(1),一 2 10, f(2)一 f(0)=2f(2),0 22 由f(x)1 知f( 1)=1 令 (x)=f2(x)+f(x)2,则有 (1)2,( 2)2 因为 (x)在 1, 2上连续,且 (0)=4,设 (x)在 1, 2上的
16、最大值在 1, 2 (一 2,2)上取,则 ()4,且 在 1, 2上可导,由费马定理有:()=0,即 2f()f()+2f()f“()=0 因为f(x)l,且 ()4,所以 f()0,于是有 f()+f“()=0, (一 2,2)【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式,得f“(1)一 f“(1)=8f“( 1)+ f“( 1)8 从而,在 1 和 2 中至少有一个点,使得在该点的二阶导数绝对值不小于 4,把该点取为 ,就有 (0,1),使f“()4【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a),又由柯西中值定理知【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 即在(0,+) 内有且仅有两个零点【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 咒为偶数,令 n=2k,构造极限当 f(2k)(x0)0 时,由极限保号性可得 0,即 f(x)f(x 0),故 x0 为极大值点;当 f(2k)(x0)0 时,由极限保号性可得 0,即 f(x)f(x 0),故 x0 为极小值点【知识模块】 一元函数微分学
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