[职业资格类试卷]教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷2及答案与解析.doc

1、教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 如图所示，在棱长为 1 的正方体内，M 为 AB 的中点，P 为 D1M 上的动点，当P 点到 CC1 的距离最小时，P 点距 D1 点的距离是( )2 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，相互平行的直线有( )（A）6 对（B） 12 对（C） 18 对（D）24 对3 已知三个半径为 2 的球两两相切，球心分别为 O1、O 2、O 3，以三球球心为底面顶点的正三棱锥 P 一 O1、O 2、O 3 的表面积为 则，分别与球 O1、O 2、O 3 相切，且以 P 为球心的球的半径为( )（A）2（B）（C） 4（

2、D）4 如图所示，多面体为正方体 ABCD 一 A1B1C1D1 沿面对角线 B1C、CD 1、B 1D1 切割后得到的部分，则它的左视图为( )5 在棱长为 2 的正方体内，E、F、G、M、N、O 是各棱的中点，截去三棱锥 C1 一EFG 和 A 一 MNO 剩下的多面体的体积为( )（A）6（B）（C） 7（D）6 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两平面的关系为( )（A）平行（B）相交（C）异面（D）无法判断7 同底的三棱锥和三棱柱的体积比为 2：1，则它们的高之比为( )（A）1：3（B） 2：3（C） 6：1（D）2：18 如图所示，一只蚂蚁在底面半径为 1 cm，高为

3、 cm 的圆锥侧面运动，自 A 点出发运动一圈后又回到 A 点的最短距离为( )（A）2（B） 2（C）（D）39 某零件如图所示，则它的俯视图为( )10 下列叙述正确的是( )（A）任何一个三棱锥都有外接球（B）任何一个三棱锥都有内切球（C）任何一个三棱柱都有外接球（D）任何一个三棱柱都有内切球11 P-ABC 为正三棱锥，其高是底面边长的 倍，则底面面积与 PMC 面积的比值为( )12 一个带盖的长方体容器，底面是边长为 10 cm 的正方形，高为 11 cm，最多可放入( )个半径为 1 cm 的圆球 (要求盖子正好盖住容器，厚度忽略不计)（A）107（B） 123（C） 125（D

4、）13213 在长方体ABCDA 1B1C1D1 内，点 P 是面 ABB1A1 上的动点，且点 P 到直线BC 的距离等于点 P 到直线 AA1 的距离已知 AA1=BC=2，AB=3，则 P 点在面ABB1A1 上的轨迹为( )14 如图所示的四面体 ABCD，AD面 BCD，BDCD，BD=1，CD=2 ，AD=2 ，则该四面体的内切球的半径为( )15 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D、E、F 分别是 A1C1、BB 1、CC 1 的中点，则与面ABB1A1 平行且在面 DEF 内的直线有( )（A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）无数条二、填空题16 已知平面 内的直线

5、 a 与平面 内的直线 b 为异面直线，且 a，b，则平面 与平面 的关系是_17 已知三棱锥 APBC， AP=3，PB=PC=4 ，且 AP底面 PBC，cos BPC=一 ，则二面角 ABCP 的正弦值为 _18 如图所示的多面体 ABCDEF，ADE 是等边三角形，ME底面F 为 EM 延长线上的动点，ME=2，底面四边形 ABCD 是长为 4，宽为 2 的矩形，面 ADE 上面ABCD，当面 BCF 与底面 ABCD 的夹角为_时，V MABCD=VF 一 BCM+VE一 ADM，此时 ME：MF=_ 19 下列观点正确的是_若直线 a 平行于平面 ，则直线 a 平行于平面 内的所有

6、直线；a 是平面 外的一条直线，若 a 平行于平面 内的直线 b，则 a；若 a，b ，则 ab；若平面 内有两条直线分别平行于平面 ，则 ；直线 a、b 分别垂直于平面 ，则 ab20 如图所示，A、B 两点在面 上，且 ABl，已知 A 点到 l 的距离为2，AB=2现以 l 为轴，将 A 点旋转 120后得到 A点，则 AB=_。21 分别以 RtABC 的两条直角边为轴，旋转 360后，得到两种圆锥，体积比为4：1，则它们的侧面积比为_22 某正八棱柱的三视图如图所示，则它的体积为_23 如图所示的直三棱柱，ABBC，MA=MA 1=ABBC=1，则面 MBC1 与底面ABC 的夹角的

7、正切值为 _三、解答题24 已知三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 为边长为 2 的正三角形，A 1 在底面的投影为 BC 边的中点 0证明：四边形 BCC1B1 为矩形25 已知正三棱柱 ABCA1B1C1，底面：边长为 1，A 1A=2AB，M 、N 分别为CC1、AB 的中点， (1)求异面直线 A1B1 与 MN 的距离； (2)求 MN 与底面所成的角26 已知四棱锥 PABCD 底面为梯形，PD底面ABCD，CD AB，ADAB，AB=2PD=2CD=AD=2求二面角 PBCD 的正切值27 已知半径为 R 的圆球，放在一直径为 R，高为 R 的空心无盖圆柱形容器上(容器的厚

8、度忽略不计) 求：(1) 球的顶端到容器底面的距离 L； (2)向容器内注水，当水面刚好与球面相切时，水的体积28 如图所示，在正四棱锥 PABCD 中，侧面是面积为 的等边三角形，E 为PC 重点，F 在 PB 上，G 在 PD 上，且 (1)证明：点A、E、 F、G 在同一平面；(2)求平面 AFEG 与底面夹角的余弦值29 在直角梯形中(图 a)，AD=AB= BC=1，沿对角线 BD 将梯形 ABCD 折叠成如图(6)所示的四面体当 ABD 的面积是CBD 在底面投影面积的 2 倍时， 求：(1)二面角 ABDC 的余弦值； (2)AC 的长度30 判断表面积相同的正方体和长方体的体积

9、大小关系，并证明教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 取 A1B1 中点 N，连接 MN、D 1N过 P 点作 PPMN，P 点到 CC1的距离即转化为 P点到 C1 的显巨离P 点在面 A1B1C1D1 射影的轨迹为 D1N，当C1PD1N 时P 距 C1 最短因为 RtC1PD1RtD1A1N，所以 D1P=又因为 RtD1PPRtD1NM，所以 D1P= 。【知识模块】 立体几何2 【正确答案】 C【试题解析】 取正方体中的一条棱，与该棱相互平行的直线有 3 条，正方体中一共有 1 2 条棱，又因为每条棱重复了两次，所以相

10、互平行的直线有 =18 对【知识模块】 立体几何3 【正确答案】 A【试题解析】 根据三棱锥 P 一 O1O2O3 的表面积为 ，可以求出该正三棱锥为正四面体，则 PO1=PO2=PO3=4，又因为相切球的球心距离等于两球的半径之和，所以所求球体的半径为 r=42=2【知识模块】 立体几何4 【正确答案】 B【试题解析】 三视图为正视图、左视图和俯视图B 项为正视图或左视图，C 项为俯视图【知识模块】 立体几何5 【正确答案】 B【试题解析】 正方体的体积为 222=8，切去的两个三棱锥的体积 V=【知识模块】 立体几何6 【正确答案】 D【试题解析】 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，

11、则两个平面既可能相交，也可能平行面与面的位置关系只有平行和相交，没有异面所以本题选 D【知识模块】 立体几何7 【正确答案】 C【试题解析】 V 锥 = S 底 h 锥 ，V=S 底 h 柱 ，已知 V 锥 ：V 柱 =2：1，S 底 相等，因此h 锥 ：h 柱 =6： 1【知识模块】 立体几何8 【正确答案】 C【试题解析】 沿 PA 将圆锥展开，如图所示，A 点到 A点的最短距离为 AA半径为 1 cm，高为。【知识模块】 立体几何9 【正确答案】 D【试题解析】 由于零件上突出部分的棱可以看到，故排除 B、C ；根据零件各部分的面积比例排除 A故本题选 D 项【知识模块】 立体几何10

12、【正确答案】 A【试题解析】 外接球要求几何体的所有顶点都在该球面上，内切球要求几何体的所有面部与球面相切B 项中，直三棱锥有内切球，但斜三棱锥不一定C 、D 选项同理在三棱锥内，以一个面为底，求出底面三角形的外接圆的圆心，过该圆心作直线与底面垂直，则该直线上总有一个点到第四个顶点的距离与到底面三点的距离相等，所以选项 A 正确 【知识模块】 立体几何11 【正确答案】 D【试题解析】 设底面边长为 a，M 为 AB 中点，根据正三角形性质【知识模块】 立体几何12 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意要尽可能多地往容器中放球，有两种摆放方式，一种如图a 所示，一层可以放 =5 层，恰好能盖

13、住盖子，这时可放入125 个；一种如图 b 所示，第一层有 25 个，第二层有(51)(51)=16 个，第三层有 25 个，第四层有 16 个以此类推，O 1O2O3 为边长为 2 cm 的等边三角形，高为 ，三层时高度为8928cm，六层时高度为 1239211 cm，所以只放能六层，此时若第六层放 25 个球，总高度为 ( +4)1092811 cm，故这时可放入 25+16+25+16+25+25=132 个所以第二种情况放入的球多，最多能放入 132 个【知识模块】 立体几何13 【正确答案】 B【试题解析】 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，因为 BC面 ABB1A1，所以点

14、 P到 BC 的距离即为点 P 到点 B 的距离，动点到定点与定直线的距离相等，符合抛物线的性质，以 AB 的中点为原点，AB 为 x 轴，如图所示，P 点的轨迹在 y2=6x(y0)上，当 y=2 时，x= ，所以轨迹应为 B 项【知识模块】 立体几何14 【正确答案】 D【试题解析】 四面体内切球半径 r 即内切球的圆心 O 到面的距离，利用体积法得V2ABCD=VO 一 ABC【知识模块】 立体几何15 【正确答案】 D【试题解析】 作距面 ABB1A1 距离为 d 的平行面 ，因为面 ABB1A1 与面 DEF 相交，所以 与面 DEF 相交，交线为 l，又因为 面 ABB1A1，l面

15、 DEF 有无数种可能，所以在面 DEF 中，有无数条直线与 l 平行，所以答案选 D【知识模块】 立体几何二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 面与面的关系只有两种：相交和平行假设平面 与平面 相交，交线为 l，又因为 ，根据线面平行的性质定理得 al，同理，b l，进而推出ab，与 a、b 为异面直线相矛盾，所以 。【知识模块】 立体几何17 【正确答案】 【试题解析】 如图所示，三棱锥 APBC，M 为 BC 中点，连接 PM，AM，根据余弦定理 cosBPC= 计算得 BC=6因为 AP底面PBCPMBC所以 APBC，BCAM AMP 即为所求二面角，AM=【知识模块】 立体几

16、何18 【正确答案】 -arcyan 1：3【试题解析】 因为 VE-ADM=所以；以面 CFM 为底， B 点到面 CFM 的距离即为 A 点到面 CDEF 的距离 ，C 点到 FM 的距离为 2，则 ，求得 MF=6所以ME：MF=1 ： 3；当 MF=6 时，F 点在底面的射影 F到 BC 的距离为 FN=6+2-4=4，EF= ，则面 BCF 与底面 ABCD 的夹角为 FNF的余角。所以夹角为 -arctan 。【知识模块】 立体几何19 【正确答案】 【试题解析】 直线 a 与平面 平行， 内存在无数的直线与 a 平行，但不是全部，错；平行于同一平面的两条直线位置关系有三种情况平行

17、、异面、相交，错；如果平面 a 内的两条直线 a、b 相互平行且平行于平面 ，则 、 有可能相交，错【知识模块】 立体几何20 【正确答案】 4【试题解析】 根据要求作图，过 A 点作 AOl，连接AO、BO 、AB， AOA=120，AO=AO=2，AOl，所以 l面 AOA又因为ABl，所以 AB面 AOA，所以 ABAAAA 2=OA2+OA2 一 2OAOAcos120=12，AB= =4【知识模块】 立体几何21 【正确答案】 4：1【试题解析】 设 RtABC 的两直角边长分别为 a、b ，根据题意旋转后得到的圆锥体积分别为=4：1，则 a：b=4：1两圆锥的侧面积 S 侧 1=a

18、l，S 侧 2=bl所以侧面积的比为a：b=4：1【知识模块】 立体几何22 【正确答案】 4(1+ )cm3【试题解析】 该正八棱柱可以看成长方体切去四个直三棱柱根据题意可知，底边正八边形的边长为 1cm，正八棱柱的高为 2cm，则可求得底面正方形的边长为cm3，一个直三棱柱的体积为cm3【知识模块】 立体几何23 【正确答案】 【试题解析】 延长 C1M 与 CA，交于 N 点，连接 BN，则 BN 即为面 MBC1 与底面 ABC 的的交线过 A 点作 ADDN，连接 MD，因为三棱柱为直三棱柱，所以MA面 ABC，又 BN 面 ABC，所以 MABN，又 MAAD=A，所以 BN面MD

19、A，即 BNMD，所以 MDA 即面 ABC 与面 MBC1 的二面角，根据余弦【知识模块】 立体几何三、解答题24 【正确答案】 根据三棱柱的性质可知，三个侧面均为平行四边形， 如图，M为 B1C1 的中点，连接 OM、A 1M 因为 MB1OB 且 MB1=OB，所以O1MBB1AA1 且 OM=BB1=AA1 因为ABC 为正三角形，AO BC， 根据三垂线定理可知， AA 1BCOMBCBB 1BC 即B 1BC=90， 所以平行四边形BCC1B1 为矩形 【知识模块】 立体几何25 【正确答案】 (1)如图，取 A1B1 中点 P，连接 PN，过 P 作 PQMN 交于 Q 点， 因

20、为 AA1面 A1B1C1，PN AA1，所以 PN面 A1B1C1，所以 PNA1B1 在等边三角形 A1B1C1 中，P 为 A1B1 中点，所以 C1PA1B1所以 A1B1面 CC1PN， 又因为 PQ面 CC1PN，所以 A1B1PQ， 又因为 PQMN， 所以 PQ 是异面直线 A1B1、MN的公一垂线，即为两直线间的距离 在PQN 和NCM 中，PNQ+MNC=PNQ+NPQ=90，所以MNC= NPQ， 又因为PQN=NCM=90，所以 PQNNCM， (2)因为 M在底面的投影为 C 点，MN 在底面的投影为 CN， 所以 MNC 即为 MN 与底面的夹角，【知识模块】 立体

21、几何26 【正确答案】 延长 BC，过 D 作 DE 垂直于 BC 并交于 E 点，PED 即为所求二面角 取 AB 中点 F，连接 CF 因为 AFCD 且 AF=CD=1，所以 ADCF 且AD=CF=2 又因为 ADAB，所以 CFAB，由此求得 CB= 在DEC 和CFB 中， 因为DEC=CFB=90，DCE+CDE=DCE+BCF=90 所以CDE=BCF， 所以DECCFB 【知识模块】 立体几何27 【正确答案】 【知识模块】 立体几何28 【正确答案】 (1)连接 AC、BD、AE、FG，ACBD=O， 以 O 为原点，AC 为x 轴，BD 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立

22、空间 直角坐标系， 设AEOP=M， FGOP=N 在正四棱锥 P 一 ABCD 中， 即点 M 和点 N 重合，所以 AE 与 GF 交于一点 又因为经过两条相交直线有且只有一个平面， 所以 AE 与 GF 在平面 AFEG 内，即点 A、E、F、G 在同一平面 (2)AEGF=M，平面 AFEG 与底面的交线为 l， 因为所以 FGlBD 在正四棱锥 P 一 ABCD 中， 因为 所以 BD面 PAC，推出 BDAE， 则AEl， ACl，AEAC=A， 因此EAC 即为所求二面角， 【知识模块】 立体几何29 【正确答案】 (1)如图所示，C 点在底面的投影为 O，E 、F 为 AB、A

23、D 的中点，过 O 作 0MBD，连接 CM，则 CM0 即为所求二面角， OBD 即是CBD 在底面的投影，ABD 与 CBD 同底 因为 SABD=2SOBD， 【知识模块】 立体几何30 【正确答案】 当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积 设长方体的三边分别为 a、b、c ，正方体的边长为 l， 因为表面积相同，所以 2ab+2ac+2bc=6l2，即 ab+ac+bc=3l2 根据均值定理可知 又因为 V 正=l3， V 长 =abc，所以 l3abc，即 V 正 V 长 ， 当且仅当 a=b=c 时取等号，此时长方体即为正方体，所以不能取等号 所以当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积【知识模块】 立体几何