1、教师公开招聘考试小学数学(函数)模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题1 已知点 A(2,3) 是曲线 C:y=x 2 一 2x+3 上一点,直线 l 在点 A 处与曲线 C 相切,则直线 l 的解析式为( ) (A)y=一 4x+11(B) y=一 2x+7(C) y=4x 一 5(D)y=2x 一 12 已知 f(x)= ,其值域为 ( )(A)一 1,0(B)(C)(D)1,13 已知函数 f(x)=lgx 一 ,f(x)=0,若 x1(0,x 0),x 2(x0,+),则 f(x1)f(x 2)( )(A)0(B) 0(C) =0(D)以上三种均有可能4 某印刷厂每年要买进 125 吨铜
2、版纸,每次购入的量都相同,运费为 5000 元次,仓储费为 1000 元(吨年)(以最大仓储量计费) ,假设该印刷厂将每次购入的纸张消耗光后才购入下一批,则印刷厂每次买进铜版纸( )吨,可使成本降到最低(A)125(B) 25(C) 50(D)1255 已知反比例函数 y= 图像上的两点 A(x1,y 1)、B(x 2,y 1),当 x1x 20 时,y1y 2,则直线 y=一 3x 一 k 的图像不经过( ) (A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限6 函数 y= 的自变量 x 的取值范围为( )(A)x一 2(B) x一 2 且 x2(C) x0 且 x2(D)x一 2 且
3、 x27 已知点 P(x,y)在函数 y= 的图像上,那么点 P 应在平面直角坐标系中的( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限8 如右图,直线 l 对应的函数表达式为( )9 已知 M1(x1,y 2),M 2(x2,y 2),M 3(x3,y 3)是反比例函数 y= 的图像上的三个点,且 x1x 20x 3,则 y1,y 2,y 3 的大小关系是( )(A)y 3y 2y 1(B) y3y 1y 2(C) y2y 1y 3(D)y 1y 2y 310 函数 y=(5 一 m2)x+4m 在区间0,1上恒为正,则实数 m 的取值范围是( )(A)一 1m5(B) 0m(
4、C)一 1m(D)0m511 若点(4 ,5)在反比例函数 y= 的图像上,则函数图像必经过点( )(A)(5 ,一 4)(B) (2,10)(C) (4,一 5)(D)(2 ,一 10)12 如果一次函数 y=kx+b 的图像经过第一象限,且与 y 轴负半轴相交,那么( )(A)k0,b0(B) k0,b0(C) k0,b0(D)k0,b013 二次函数 y=ax2+bx+c 图像如右图所示,则点 A(ac,bc)在( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限14 若函数 y=(3a 一 1)x+b2 一 2 在 R 上是减函数,则( )15 已知二次函数 y=ax2+bx
5、+c,其中 a0,且 4a 一 2b+c0,则有( )(A)b 2 一 4ac=0(B) b2 一 4ac0(C) b2 一 4ac0(D)b 2 一 4ac016 设 y=sinx,则 y 为( )(A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)恒等于零的函数17 函数 f(x)= 是( )(A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)既是奇函数又是偶函数18 设函数 f(x)=x2+3(42a)x+2 在区间3,+) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( )(A)a一 7(B) a3(C) a7(D)a319 若函数 y=f(x)的定义域是0,6,则函数 g(x)= 的定义域是( )(
6、A)0 ,2(B) 0,2)(C) 0,2)U(2 ,9(D)(0 ,2)20 若 a= ,则( )(A)ab c(B) cba(C) ca b(D)ba c21 已知 P(m,n)是曲线 y= 上一点,则m 一 n的最小值为( )(A)一(B) 0(C)(D)3二、填空题22 将直线 y=一 2x+1 向左平移 a(aN+)个单位后,得到的直线与直线 y=2x3 交于第三象限,则 a 的最小值为 _23 =_24 已知直线 y=2x+1,其关于直线 y=一 x+4 的对称图形的解析式为 _25 某便利店新进一种盒饭,供货商每天送货 40 份,该盒饭只能当天销售且不可退货,进价每份 10 元最
7、初三天为推销新产品,以 12 元每份的价格进行销售,40份恰好售完试售后,便利店准备提高价格,经调查发现,盒饭单价每提高 1 元,每天就少销售 2 份,要想获得最大的利润,便利店可将盒饭单价定为_元26 已知函数 y= (x)一 1,则其反函数 f1(x)的单调递减区间是_27 已知函数 f(x)= 若 f(3 一 a2)f(2a),则实数 a 的取值范围为_28 为美化校园,某小学打算在校门前的空地上修建一个 16 平方米的方形花坛,花坛四边用大理石等材料修砌,为了节约材料成本,花坛的长最好为_米三、解答题29 已知二次函数 y=x2 一 2mx+m2 一 1 (1)当二次函数的图像经过坐标
8、原点O(0,0)时,求二次函数的解析式; (2) 当 m=2 时,该抛物线与 y 轴交于点 C,顶点为 D,求 C、D 两点的坐标; (3)在(2)的条件下,x 轴是否存在一点 P,使得PC+PD 最短?若 P 点存在,求出 P 点的坐标;若 P 点不存在,请说明理由30 已知函数 f(x)=m3 x+n5 x,其中常数 m、n 满足 mn0 (1)若 mn0,判断函数 f(x)的单调性; (2) 若 mn0,求 f(x+2)f(x) 时 x 的取值范围31 已知:如右图所示,反比例函数的图像经过点 A、B ,点 A 的坐标为(1,3),点B 的纵坐标为 1,点 C 的坐标为(2,0) (1)
9、求该反比例函数的解析式; (2)求直线BC 的解析式32 设函数 f(x)= +sin2x(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)设函数 g(x)对任意 xR,有 f(x)求函数 g(x)在一 ,0 上的解析式33 如图所示,已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B,AB=2,与 y 轴交于点C,对称轴为直线 x=2 (1)求抛物线的函数表达式; (2)设 P 为对称轴上一动点,求APC 周长的最小值; (3)设 D 为抛物线上一点,E 为对称轴上一点,若以点A、B、D、E 为顶点的四边形是菱形,求点 D 的坐标四、证明题34 已知函数 f(x)的定义域为全体实数,则对于(m
10、0) 证明:函数f(x)是周期函数教师公开招聘考试小学数学(函数)模拟试卷 5 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的解析式为 y 一 3=k(x 一 2),整理得,y=kx 一 2k+3,将 y=kx 一 2k+3 代入 y=x2 一 2x+3 中,整理得 x2 一(2+k)x+2k=0,因为直线 l 在点 A 处与曲线 C 相切,所以=一(2+k) 2 一 42k=(k 一 2)2=0,解得k=2,故直线 l 的解析式为 y=2x 一 1此题还可采用求导的方法求直线的斜率【知识模块】 函数2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】
11、 函数3 【正确答案】 A【试题解析】 设 g(x)=lgx,h(x)=一 ,g(x)、h(x)在(0,+)上均是单调递增函数,则 f(x)=g(x)+h(x)也是单调递增函数,又 x1 x0x 2,所以 f(x1)f(x 0)=0f(x 2),即 f(x1)f(x 2)0 【知识模块】 函数4 【正确答案】 B【试题解析】 设该印刷厂每次买进铜版纸 x 吨,则每年购买的次数为 次,则该厂每年纸张的运输和仓储成本 S=5000=1000x,即 x=25 时,“=”成立,故该印刷厂每次买进铜版纸 25 吨时,其成本最低【知识模块】 函数5 【正确答案】 A【试题解析】 由当 x1x 20 时 y
12、1y 2 可知,反比例函数 y= 在 x0 时是单调递减函数,故可判断出 k 0,又根据直线斜率为一 3 可判断直线必过第二、四象限,而直线与 y 轴的交点为(0,k),即交 y 轴于负半轴,故直线必过第三象限,所以直线的图像不经过第一象限故本题选 A【知识模块】 函数6 【正确答案】 D【试题解析】 自变量 x 须满足 ,所以 x一 2 且 x2,故选 D【知识模块】 函数7 【正确答案】 B【试题解析】 根据二次根式的概念知一 x0,再根据分式有意义的条件知 x0,故x0;当 x0 时,y= 0所以点 P(x,y)在第二象限,故选 B【知识模块】 函数8 【正确答案】 D【试题解析】 设直
13、线 l 对应的解析式为 y=kx+b由图可知,l 经过点(0,2)和( 一3,0),代入解析式得+2【知识模块】 函数9 【正确答案】 C【试题解析】 由题可知,k=3,反比例函数的图像位于第一、三象限,在第一象限中,y 随 x 的增大而减小,在第三象限中,y 随 x 的增大而减小,因此当x1x 20x 3 时,y 2y 10y 3,即 y2y 1y 3【知识模块】 函数10 【正确答案】 D【试题解析】 由题可知,若 y 为一次函数,5 一 m20,即 m ,则 x=0 和 x=1时,y0,即 0 恒成立,故实数 m 的取值范围为 0m5因此答案为【知识模块】 函数11 【正确答案】 B【试
14、题解析】 由题,将点(4,5)代入函数解析式得到 m2 一 2m 一 1=20,则题干反比例函数解析式为 y= ,可知选项 B 符合【知识模块】 函数12 【正确答案】 B【试题解析】 由图像与 Y 轴负半轴相交可得 b0,又因为过第一象限,则图像只能经过第一、三、四象限,k0,故选 B【知识模块】 函数13 【正确答案】 C【试题解析】 由二次函数 y=ax2+bx+c 图像可知:a0,c0,因为对称轴 x0,在 y 轴左侧,由对称轴和 ab 符号关系“左同右异”可知:b 0,所以ac0,bc 0,即 A(ac,bc)在第三象限【知识模块】 函数14 【正确答案】 D【试题解析】 若 3a
15、一 1=0,a= ,则 y=b2 一 2 为常函数,与题意不符,因此y=(3a1)x+b2 一 2 是一次函数,若在 R 上是减函数,则 3a 一 10,解得a 【知识模块】 函数15 【正确答案】 C【试题解析】 由题 a0 可知二次函数图像开口向上,又 4a 一 26+c0,即当 x=一 2 时,y0,说明函数图像与 x 轴有两个交点,即函数对应方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根,因此 b2 一 4ac0【知识模块】 函数16 【正确答案】 B【试题解析】 因为 sin(一 x)=一 sinx,所以 y=sinx 为奇函数【知识模块】 函数17 【正确答案】 A【试题解析】
16、由 解得函数定义域为一 1x1,关于原点对称又 f(一x)= =f(x),因此函数 f(x)是偶函数【知识模块】 函数18 【正确答案】 D【试题解析】 由题可知,函数 f(x)的对称轴为 x=一 (42a)=3a 一 6,又图像开口向上,则在区间(一,3a 一 6单调递减,在区间3a 一 6,+)单调递增,若要函数 f(x)在区间3,+)上是增函数,则要 3a 一 63,所以 a3【知识模块】 函数19 【正确答案】 B【试题解析】 因为函数 y=f(x)的定义域是0,6 ,所以 g(x)的定义域应为 03x6且 x2,解得 0x2【知识模块】 函数20 【正确答案】 C【试题解析】 根据指
17、数函数的图像性质可知,0 =一 20,比较得 cab【知识模块】 函数21 【正确答案】 B【试题解析】 因为 P(m, n)是曲线 y= 上一点,故 mn=3,而(m 一 n)2=m22mn+n2=n2+0,所以m 一 n min=0【知识模块】 函数二、填空题22 【正确答案】 3【试题解析】 直线 y=一 2x+1 向左平移 a(aN+)个单位后,该直线的解析式为 y=一 2(x+a)+1=2x 一 2a+1,又因为其与直线 y 一 2x 一 3 相交,得,解得 a2,又因为 aN+,故 a 的最小值为 3【知识模块】 函数23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数24 【正确
18、答案】 y=【试题解析】 由已知可知,两直线既不平行也不垂直,故两直线的交点也是所求对称直线上的一点,联立方程 ,交点为(1,3)取直线y=2x+1 与 y 轴的交点 A(0,1),求该点关于直线 y=一 x+4 直线的对称点 B,点 B也在所求对称直线上作过 A 与直线 y=一 x+4 垂直的直线,解析式为 y=x+1;点B 在直线 y=x+1 上,另有 B 到对称轴 y=一 x+4 的距离等于 A 到对称轴的距离,设点 B 坐标为 (x0,y 0),则 ,点 B 又在 y=x+1 上,故y0=x0+1,联立可解得 (舍去),故点 B 坐标为(3,4);所求直线过(1,3)、(3,4),所以
19、直线的解析式为 【知识模块】 函数25 【正确答案】 16【试题解析】 设单价定为 x 元,则商店的利润 W=x402(x 一 12)一1040(12x32),整理得,W=一 2(x 一 16)2+112,当 x=16 时,W 取最大值112,故便利店可将盒饭单价定为 16 元【知识模块】 函数26 【正确答案】 不存在【试题解析】 因为 y= (x)1,则该函数的定义域为 x0,值域为 R,则该函数的反函数为 y=一 在定义域 R 内为单调递增函数,故不存在单调递减区间【知识模块】 函数27 【正确答案】 a (一 3,1)【试题解析】 因为当 x0时,f(x)=x+6x=(x+3) 2 一
20、 9,则 f(x)在 x0时为单调递增函数,且 f(0)=0;当 x0 时,f(x)=6x x2=一(x 3)2+9,则 f(x)在 x0 时为单调递增函数,且 (6xx2)=0=f(0),故 f(x)在 R 上连续且单调递增,由此得 3 一a22a,解得 a(3,1)【知识模块】 函数28 【正确答案】 4【试题解析】 设花坛的一边长为 x 米,则花坛的另一边长为,要想节约材料成本,需使花坛的周长尽可能的短,故本题转化为求函数 l=2(x+,即 x=4 时,l 值最小,此时花坛为正方形【知识模块】 函数三、解答题29 【正确答案】 (1)由于二次函数 y=x2 一 2mx+m2 一 1 过坐
21、标原点 O(0,0),则0=02 一 0+m2 一 1,即 m=1, 故二次函数的解析式为 y=x2 一 2x 或 y=x2+2x (2)因为 m=2,故 y=x2 一 4x+3=(x 一 2)2 一 1,则顶点 D 坐标为(2,一 1);C 是曲线与y 轴的交点,则 x=0,y=3,所以 C 的坐标为(0,3) (3) 连接 CD,交 x 轴于 P,取x 轴上除 P 外的另一点 P,则 在CPD 中,根据两边之和大于第三边,得CP+PDCD=CP+PD,故存在 P 点使得 PC+PD 最短 【知识模块】 函数30 【正确答案】 (1)因为 mn0, 当 m0,n0 时,g(x)=m3 x,h
22、(x)=n5 x 在定义域 R 内均为单调递增函数,故 f(x)=m3 x+n5 x 为单调递增函数; 当m0,n0 时,g(x)=m 3x,h(x)=n 5 x 在定义域 R 内均为单调递减函数,故f(x)=m3 x+n5 x 为单调递减函数 (2)由 f(x+2) f(x)可得,m3 x+2+n5 x+2m3 x+n5 x 整理得 m3 x(32 一 1)n5 x(152), 因为mn0【知识模块】 函数31 【正确答案】 (1)设所求反比例函数的解析式为 y= (k0) 因为点 A(1,3)在此反比例函数的图像上,所以 k=3 故所求反比例函数的解析式为:y= (2)设直线 BC 的解析
23、式为: y=k1x+b(k10) 因为点 B 在反比例函数 y= 的图像上且纵坐标为 1, 设 B(m,1),所以 1= ,m=3 ,所以点 B 的坐标为(3,1) 由题意,得所以直线 BC 的解析式为:y=x 一 2【知识模块】 函数32 【正确答案】 【知识模块】 函数33 【正确答案】 (1)因为抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=一 =2,即 b=一 4, 设对称轴 x=2 与 x 轴交于点 F,故 F 的坐标为(2,0), 又抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B,AB=2, 所以 AF=FB=1,则点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(3,0), 点
24、A 为抛物线上的点,代入得, 0=12 一 41+c,即 c=3, 故抛物线的函数表达式为 y=x2 一 4x+3 (2)由(1)可得,点 C 的坐标为(0,3), 则 AC=, 因 AC 长为一定值,则所求 APC 周长的最小值转化为求 AP+PC 的最小值 连接 BC,交对称轴于一点 P,另取对称轴上一点 P,连接AP、BP 、CP, 因为 A、 B 关于对称轴对称,所以 AP=PB,AP=PB, 在BPC中,根据两边之和大于第三边,可知 BP+CPBC=BP+PC=AP+PC, 所以点 P 即为使 AP+PC 取最小值的点,所以 APC 周长 CAPC=AC+CP+PAAC+BC =(3
25、)D 为抛物线上的点,设 D 的坐标为(x,x 2 一 4x+3), 若以 AB 为菱形的一边,则 DEAB,故点 E 的坐标为(2,x 2 一4x+3), 又 DE=AB,得x 一 2=2,解得 x=0 或 x=4, 故点 E 的坐标为(2,3),点 D 的坐标为(0,3) 或(4 ,3) 当点 D 的坐标为(0,3)时, 则 DA=AB=2, 则此时四边形仅是平行四边形,而不是菱形,(0,3)不合题意,舍去;同理,(4,3) 也不合题意,舍去 若以 AB 为菱形的一条对角线,根据菱形的两条对角线互相垂直平分,可知点 D 也在对称轴上, 所以点 D的横坐标为 2,其纵坐标 y=22 一 42+3=一 1, 故点 D 的坐标为(2,一 1) 此时,DA=DB=EA=EB,则以 A、B、D、E 为顶点的四边形是菱形【知识模块】 函数四、证明题34 【正确答案】 要证明函数 f(x)是周期函数,即可证明 TR,使得 f(x+T)=f(x)即 f(x+2m)=f(x)故当 T=2m 时,f(x+T)=f(x),所以函数 f(x)是周期为 2m 的周期函数【知识模块】 函数
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