[自考类试卷]全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷10及答案与解析.doc

1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 10 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 行列式 ( )（A）0（B） 21（C） 42（D）一 422 设 A、B 为 n 阶方阵，且 AB=0(零矩阵)，则 ( )（A）A=0 或 B=0（B） A+B=0（C） A+ B=0（D）A=0 或B=03 1=(1，2， 3)， 2=(2，1 ，3) ， 3=(一 1，1，0)， 4=(1，1，1)，则 ( )（A） 1 线性相关（B） 1， 2 线性相关（C） 1， 2， 3 线性相关（D） 1， 2，

2、 4 线性相关4 方程组 的一组基础解系由_个向量组成( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 实二次型 f(x1，x n)=ATx 为正定的充要条件是 ( )（A）f 的秩为 n（B） f 的正惯性指数为 n（C） f 的正惯性指数等于 f 的秩（D）f 的负惯性指数为 n二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 的根为_7 8 设 A，B 都为 n 阶对称矩阵，则 AB 也为对称矩阵的充要条件为_9 用初等变换将矩阵 化为标准型为_10 设向量组 线性无关，则 a、b、c 满足的关系式是_11 n 阶矩阵 A 的秩为 n1 且矩阵 A 的各行元素之和为 0，齐次线

3、性方程组 Ax=0的通解为_12 设矩阵 已知向量 是 A 的一个特征向量，则 对应的特征值 =_13 若 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 必有特征值_14 设向量 则 与 的内积(，)= _。15 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换下化为标准型 y12+2y22，则 A 的最小特征值为_三、计算题16 计算 .17 设矩阵 求 2A 一 3B 及 AT.B.18 计算下列矩阵的逆：19 已知向量组求向量组1,2,3,4,5 的秩20 已知四元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)一 3， 1,2,3 是它的三个解向量，且求该方程组的通解21 求线性方程组

4、 的通解22 用初等变换法将下列二次型化为标准型并求正、负惯性指数：f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22+2x1x2+2x2x3+4x32四、证明题23 已知向量 =(一 1，2，s)可由 1=(1，一 1，2)， 2=(0，1，一 1)， 3=(2，一3，t)惟一地线性表示，求证：t5全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 10 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 行列式展开性质， ,答案为 D2 【正确答案】 D【试题解析】 由于AB=A.B1= 0=

5、0，所以A =0或B =0 答案为 D.3 【正确答案】 C【试题解析】 单个非零向量是线性无关的选项 A 不对而( 1,2,3)因为含有零向量的向量组一定线性相关，所以 C 是正确答案为 C4 【正确答案】 B【试题解析】 该方程组的系数矩阵秩等于 1，有 3 个未知数，因此基础解系由 2个线性无关的向量组成答案为 B5 【正确答案】 B【试题解析】 由正定的性质即得答案为 B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)=3x+3+1227+2x+2=5x-10=x=2.7 【正确答案】 211【试题解析】 依据行列式计算法则：原式=

6、一 2(一 2)(一 2)(一 2)(一 2)+33333 一 00(一 2)030300(一 2)一 0(一 2)003030(一 2)0 一 (一 2)0030=一 32+243 一 0=2118 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A、B 为 n 阶对称矩阵，则 AT=A，B T=B，因为 AB 也是对称矩阵(AB) T=BTAT=BA=AB，故 A、B 都为 n 阶对称矩阵，则 AB 也为对称矩阵的充要条件为 AB=BA.9 【正确答案】 【试题解析】 对 A 进行初等变换，有10 【正确答案】 A0，b0，c0【试题解析】 由于 1,2,3 线性无关，因此矩阵 A=(1,2,3)为

7、满秩矩阵，即所以 A0，B0， c011 【正确答案】 k(1，1，1) Tk 为任意常数【试题解析】 Ax=0 的基础解系解向量的个数为 1，由题设知 A(1，1，1)T=0，故(1，1，1) T0 为 Ax=0 的一个线性无关解，所以通解为k(1，1，1) T，其中 k 为任意常数12 【正确答案】 1【试题解析】 根据特征值与特征向量的定义，A= 因此所以 =113 【正确答案】 【试题解析】 A 有特征值 =2，则 必有特征值必有特征值 .14 【正确答案】 -3【试题解析】 (，)=11+21+( 一 2)2+1(一 2)=一 315 【正确答案】 0【试题解析】 二次型在正交变换下

8、的标准型为 y12+2y22+0.y32，因此特征值为1=1， 2=2， 3=0，最小特征值为 0三、计算题16 【正确答案】 第一行乘 1 加第二行，再让第二行乘 1 加第三行以此类推得D=117 【正确答案】 18 【正确答案】 我们用初等变换法计算：因此原矩阵的逆阵为：19 【正确答案】 对以 1,2,34,5 为列向量的矩阵 A 进行初等变换，有r(A)=2，所以向量组1,2,34,5 的秩为 220 【正确答案】 Ax=0 的基础解系为： (1 一 2)+(13)=21 一( 2+3)所以通解为 (c 为任意常数)21 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有所以线性方程组的同解方程组为 其中 x4 是自由未知量，方程组的通解为 k 为任意实数22 【正确答案】 对二次型的系数矩阵进行行初等变换：因此二次型的标准型为 y12+y22，正惯性指数为 2，负惯性指数等于 0四、证明题23 【正确答案】 1,2,3 是 3 个 3 维向量，如果它们线性无关，则任意一个 3 维向量均可惟一地由它们线性表示反之，若它们线性相关，则或者不能表示，或者表示不惟一，而 1,2,3 要线性无关由它们组成的矩阵必须是非奇异矩阵，即通过计算得 t5