[自考类试卷]全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷25及答案与解析.doc

1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 25 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵(mn)，则下列运算结果是 n 阶方阵的是 ( )（A）AB（B） ATB T（C） BTA T（D）(A+B) T2 设 A 是 3 阶反对称矩阵，即 AT=一 A，则A= ( )（A）0（B） 1（C） 1（D）0 或 l3 设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，则 ( )（A）AA *=A（B） AA*A n（C） A*A= AI（D）A *A=A

2、nI4 若齐次线性方程组 只有零解，则 A 应为 ( )（A）=一 1（B） 一 1（C） =1（D）15 二次型 f=x*Ax 经过满秩线性变换 x=Py 可化为二次型 y*By，则矩阵 A 与 B ( )（A）一定合同（B）一定相似（C）即相似又合同（D）即不相似也不合同二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知齐次线性方程组 有非零解，则 的值为_7 设矩阵 A= ，则 A+2B=_8 设 A= ， B 为三阶非零矩阵，且 AB=O，则 t=_9 设向量 1=(1，1，1) T， 2=(1，1，0) T， 3=(1，0，0) T，=(0，1，1) T，则 由1，

3、 2， 3 线性表示的表示式为_10 方程组 中有_个自由未知量11 阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，则 B=E+A*的特征值为_12 设 3 阶方阵的特征值为 1，一 1，2，则A 一 5E=_13 已知 4 阶方阵 A 相似于 B，A 的特征值为 2，3，4，5，则BE=_14 设二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4，x 5)的秩为 4，而正惯性指数为 3，则二次型的规范型为_15 矩阵 A= 对应的二次型为_ 三、计算题16 计算 D=17 设矩阵 A= ，求 2A 一 3B 及 ATB18 计算下列矩阵的逆： 19 已知向量组 1= ，求向量组 1， 2， 3， 4， 5 的

4、秩20 已知四元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)=3， 1， 2， 3 是它的三个解向量，且1= ，求该方程组的通解21 求线性方程组 的通解22 用初等变换法将下列二次型化为标准型并求正、负惯性指数：f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22+2x1x2+2x2x3+4x32四、证明题23 设 为非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1， 2， r 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系，证明 ， 1， 2， r 线性无关全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 25 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

5、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的运算定义和矩阵转置的定义可知 ATB T 是 n 阶方阵答案为 B。2 【正确答案】 A【试题解析】 由于A=A T=A=(一 1)3A = 一A，所以A=0答案为 A。3 【正确答案】 C【试题解析】 AA *=AI答案为 C。4 【正确答案】 B【试题解析】 齐次线性方程组 Ax=0 只有零解A 0A=1 一 +2=+1 故 一 1 时题中齐次线性方程组只有零解答案为 B。5 【正确答案】 A【试题解析】 f=x TAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即 B=PTAP，所以矩阵 A 与B 一定合同只有当

6、P 是正交矩阵时，由于 PT=P-1，所以 A 与 B 既相似义合同答案为 A。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 =1 或 =一 2【试题解析】 由于齐次线性方程度组有非零解因此系数行列式=(+2)( 一 1)2=0，所以 =1 或 =一 27 【正确答案】 【试题解析】 A+2B=。8 【正确答案】 一 3【试题解析】 AB=0 ，故 r(A)+r(B)3 又zb 为三阶非零矩阵，故 r(B)1 所以 r(A)3，A=0A= =7(t 一 8)+77=7t+21=0t=一 39 【正确答案】 = 1+023【试题解析】 设线性方程组为 x11+x2

7、2+x33=，对它的增广矩阵施行初等变换，得： (A，)=( 1， 2， 3，)=(T，d) 显然 x11+x22+x33= 的同解方程组 Tx=d 就是 它的惟一解就是x1=1， x2=0， x3=一 1 可以惟一表示成 1， 2， 3 的线性组合是 =1+02310 【正确答案】 1【试题解析】 由于系数矩阵的秩为 2，所以有 32=1 个自由未知量11 【正确答案】 3，一 1，0【试题解析】 设 为三阶矩阵 A 的特征值，A=一 112=一 2A -1 的特征值为一 1，1， ，A *的特征值为 2，一 2，一 1，故得： B 的特征值为：3，一1，012 【正确答案】 一 72【试题

8、解析】 如果 0 是 A 的特征值，则存在非零向量 使 A=0，因此(A 一5E)=A5=(0 一 5)，所以 0 一 5 是 A 一 5E 的特征值，由此可知 A 一 5E 的三个特征值为 15=一 4，一 15=一 6，25= 一 3，所以A 一 5E=(一 4)(一6)(一 3)=一 7213 【正确答案】 24【试题解析】 由于 B 与 A 相似，故有相同的特征值，并且存在可逆矩阵 P，使 P-1BP= ，所以BE= P -1BEP = P -1BPP-1P= =2414 【正确答案】 y 12+y22+y32y4215 【正确答案】 x 12+4x1x2+8x1x3+2x22 一 2

9、x2x3+3x32【试题解析】 由二次型矩阵的定义知所求的二次型为：x 12+4x1x2+8x1x3+2x22 一2x2x3+3x32三、计算题16 【正确答案】 第一行乘 1 加第二行，再让第二行乘 1 加第三行以此类推得D=117 【正确答案】 18 【正确答案】 我们用初等变换法计算：19 【正确答案】 对以 1， 2， 3， 4， 5 为列向量的矩阵 A 进行初等变换，有r(A)=2，所以向量组 1， 2， 3， 4， 5 的秩为 220 【正确答案】 Ax=0 的基础解系为： (12)+(12)=21 一( 2+3)21 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有所以线性方程组的同解方程组为 其中 x4 是自由未知量，方程组的通解为，k 为任意实数22 【正确答案】 对二次型的系数矩阵进行行初等变换：因此二次型的标准型为 y12+y22，正惯性指数为 2，负惯性指数等于 0四、证明题23 【正确答案】 因为 1， 2， r，是 Ax=0 的基础解系 所以 1， 2， r线性无关， 若 ， 1， 2， r 线性无关， 则 必可由 1， 2， r 线性表出，从而 为 Ax=0 的解，这与 为 Ax=b 的解矛盾，故 ， 1， 2， r 线性无关