[自考类试卷]全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷27及答案与解析.doc

1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 27 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 =0 的根为 ( )（A）a 1+a2+a3+a4（B） 0，a 1+a2+a3+a4（C） a1a 2a 3a 4，0（D）0，一 a1a2a3a42 如果 A，B 是同阶对称矩阵，则 AB ( )（A）是对称矩阵（B）是非对称矩阵（C）是反对称矩阵（D）不一定是对称矩阵3 设 n(n3)阶矩阵 A= 若矩阵 A 的秩为 n 一 1，则 a 必为 ( )（A）1（B）（C）一 1（D）4 n 元线性方程组 Ax

2、=0 有非零解的充要条件是 ( )（A）方程个数 mn（B）方程个数 mn（C）方程个数 m=n（D）秩(A) n5 若可逆矩阵 A 有特征值 =2，则(A 2)-1 必有特征值( )（A）4（B）（C）（D）一二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 函数 f(x)= 中，x 3 的系数为_ 7 设 A= =_8 设矩阵 A= ，则 ATB_9 设向量组 I 的秩为 r1，向量组的秩为 r2，且可由表出，则 r1、r 2 的关系为_10 设矩阵 A= ，则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有解向量个数为_11 三元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)=2，且 1

3、=(1，2，2) T， 2=(3，2，1) T 是Ax=b 的两个解，则 Ax=b 的通解为_12 已知 3 阶矩阵 A 的 3 个特征值为 1，2，3，则 A=_13 若 AB= ，则A=_14 设向量 =(1，1，1) ，则它的单位化向量为_15 f(x1，x 2， x3)=(k+1)x12+kx22+(k 一 2)x32 为正定二次型，则 k_三、计算题16 计算 D= 17 设 A= ，求 A2+B2 一 ABBA18 设 A= ， AB=A+2B，求 B19 已知 1=(1，0，2，3) ， 2=(1，1，3，5) ， 3=(1，一 1，a+2 ，1) ，4=(1， 2，4， a+8

4、)，=(1，1，b+3，5)，问当 a，b 为何值时， 不能表示为1， 2， 3， 4 的线性组合 ?20 a、b 的值使线性方程组 ，有无穷多解，并求出通解21 求 A= 的特征值及特征向量22 设对称矩阵 A= ，求正交矩阵 P 使 PTAP 为对角矩阵四、证明题23 已知向量 =(一 1，2，s)可由 1=(1，一 1，2)， 2=(0，1，一 1)， 3=(2，一3，t)惟一地线性表示，求证：t5全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 27 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案

5、】 D【试题解析】 2、3、4 列加到第一列，答案为 D。2 【正确答案】 D【试题解析】 设 A= ，A 与 B 均为对称矩阵但 AB=不是对称矩阵，答案选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 由 r(A)=n 一 1必A=0若 a=1，则 r(A)=1，故必 a1=(1 一 a)n1(1 一 n+na) =(1a)n11 一 n)a因 a1，故仅当 a= 时，A=0 且 r(A)=n1(即A n10)答案为 B。4 【正确答案】 D【试题解析】 对于线性方程组 Ax=0 来说，若 r(A)nAx=0 有非零解(充分条件)；同样，若 Ax=0 有非零解r(A) n( 必要条件)答案为 D。5

6、 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A=2 是 A 的特征值=4 是 2 特征值，所以 是(A 2)-1 的特征值答案为 B。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 2【试题解析】 只有主对角线上都含有 x 项，由行列式的性质得 2x(一 x)(一 x)=2x3， x3 的系数为 27 【正确答案】 【试题解析】 A=1 利用公式 A-1= =A*，8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 r 1r2【试题解析】 向量组可由表出，故向量组的秩向量组的秩，即 r1r210 【正确答案】 2【试题解析】 由此得r(A)=2，所以 AX=0 的自由未知

7、量有 42=2 个，基础解系中含有 2 个解向量11 【正确答案】 (c 为任意常数)【试题解析】 r(A)=2 知三元非齐次方程 Ax=b 的基础解系只有一个解向量，1=(1，2，2) t， 2=(3，2，1) t 是 Ax=b 的两个解，故 1 一 2=(一 2，0，1) t 是Ax=0 的一个解向量，故 Ax=b 的通解为 (c 为任意常数)12 【正确答案】 36【试题解析】 i=A 而 1=1， 2=2， 3=3A=123=6 AA*=AE AA*=6E 两边同时求行列式有， AA*= 6E=6 3A A *=6 3 A *=36 13 【正确答案】 72【试题解析】 A =7214

8、 【正确答案】 【试题解析】 根据单位向量定义可知：=1 为单位向量=(1，1，1) 的单位化向量为15 【正确答案】 k2【试题解析】 它是正定二次型当且仅当它的所有系数都是正数k 2三、计算题16 【正确答案】 将第一行乘一 1 加到其余各行上，形成三线型，最后得结果为(1+x+2x+3x+4x) 17 【正确答案】 A 2+B2 一 AB 一 BA=(A2AB)一(BAB 2)=A(AB)一 B(AB)=(AB)2=18 【正确答案】 由 AB=A+2B 可得(A2E)B=A，故 B=(A 一 2E)-1A=。19 【正确答案】 设 =x11+x22+x33+x44，不难求得有线性方程组

9、对这个线性方程组的增广矩阵进行初等变换 若 a+1=0 而b0，则方程组无解因此当 a=一 1，b0 时， 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合20 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有由此可见，当 a=b0 时，增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2未知量个数，方程组有无穷多解，并且当 a=b=0 时，线性方程组的同解方程组为 所以方程组通解为 (k 为任意实数)21 【正确答案】 (1)特征值为 1=2=0， 3=3属于 1=2=0 的特征向量满足于是全部的特征向量为 k1 (k1，k 2 为不全为零的实数)属于 3=3 的特征向量满足 于是全部的特征向量为(k0 为任意实数)(2)特

10、征值为 1=一 1， 2=3=1，属于 1=一 1 的特征向量满足 于是全部的特征向量为 (k0 为任意实数)属于2=3=1 的特征向量满足 x1 一 x3=0，于是全部的特征向量为k1 (k1，k 2 为不全为零的实数)22 【正确答案】 因为矩阵 A 是对称矩阵，所以其特征值都是实数，且对应的特征向量都线性无关，先求出特征值，然后求出相应的特征向量，最后把特征向量正交单位化就可以求出正交矩阵(1)首先求特征值I 一 A=2( 一 4)，特征值为 1=0(三重)， 2=4(2)其次求特征向量当 1=0 时，求( 1IA)x=0 的基础解系解之得基础解系为 1=(一 1，1，0，0)T， 2=

11、(一 1，0，1，0) T， 3=(一 1，0，0，1) T，将 1， 2， 3 正交化，得 1 一1=(一 1，1， 0，0) T， 再将1， 2， 3 单位化，得 当 2=4时求( 2I 一 A)x=0 的基础解系 得基础解系为 4=(1， 1，1，1) T，将 4=(1，1，1，1) T 单位化，得 4= (1，1，1，1) T(3)令 P=(1， 2， 3， 4)，则有 PTAP=四、证明题23 【正确答案】 1， 2， 3 是 3 个 3 维向量，如果它们线性无关，则任意一个 3维向量均可惟一地由它们线性表示反之，若它们线性相关，则或者不能表示，或者表示不惟一，而 1， 2， 3 要线性无关，由它们组成的矩阵必须是非奇异矩阵，即 0 通过计算得 t5