2019届高考数学二轮复习专题五解析几何名师.doc

1、11.5.3 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题名校名师创新预测1.已知抛物线 G:y2=2px(p0),过焦点 F 的动直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M.(1)当直线 l 的倾斜角为 时,|AB|=16.求抛物线 G 的方程.(2)对于(1)问中的抛物线 G,是否存在 x 轴上一定点 N,使得|AB|-2|MN|为定值?若存在,求出点 N 的坐标及定值;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意知 F ,(2,0)设直线 l 的方程为 x=ty+ (tR),A , 2B ,由 得:y 2-2pty-p2=0,2=2,=+2,=4p 2t2+4p20,y1+y2

2、=2pt,y1y2=-p2,|AB|= =2p(t2+1),(212-222)2+(1-2)2当直线 l 倾斜角为 时,t=1,|AB|= 4p=16,得 p=4,4所以抛物线 G 的方程为 y2=8x.(2)假设在 x 轴上存在点 N(a,0)使得|AB|-2|MN|为 定值.由(1)知|AB|=8(t 2+1),xM= (y1+y2)+2=4t2+2,yM=4t,即 M(4t2+2,4t),若满足题意,则 2|MN|=2 =2(4t2+k),164+(32-8)2+(2-)2即 解得 a=3,k=1,此时|AB|-2|MN|=6.综上,在 x 轴上存在点 N(3,0)使得|AB|-2|M

3、N|为定值 6.22.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 + =1(ab0)的右顶点和上顶点分别为2222A,B,M 为线段 AB 的中点,且 =- b2.32(1)求椭圆的离心率.(2)已知 a=2,四边形 ABCD 内接于椭圆,ABDC.记直线 AD,BC 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2为定值.【解析】( 1)A(a,0),B(0,b),由 M 为线段 AB 的中点得M .(2,2)所以 = , =(-a,b).(2,2)因为 =- b2,所以 (-a,b)=- + =- b2,32 (2,2) 2222 32整理得 a2=4b2,即 a=2b.因为 a2=b2+c2,所以

4、 3a2=4c2,即 a=2c.3所以椭圆的离心率 e= = .(2)方法一:由 a=2 得 b=1,故椭圆方程为 +y2=1.24从而 A(2,0),B(0,1),直线 AB 的斜率为- .12因为 ABDC,故可设 DC 的方程为 y=- x+m.12设 D(x1,y1),C(x2,y2).由 消去 y,得 x2-2mx+2m2-2=0,所以 x1+x2=2m,从而 x1=2m-x2.3直线 AD 的斜率 k1= = ,直线 BC 的斜率 k2= =11-2-121+1-2 2-12,-122+-12所以 k1k2= -121+1-2-122+-12=1412-12(1+2)+121+(-

5、1)12-22=1412-122+12(2-2)+(-1)12-22= = ,即 k1k2为定值 .14 14方法二:由 a=2 得 b=1,故椭圆方程为 +y2=1.24从而 A(2,0),B(0,1),直线 AB 的斜率为- .12设 C(x0,y0),则 + =1.2044因为 ABCD,故 CD 的方程为 y=- (x-x0)+y0.12由 消去 y,得 x2-(x0+2y0)x+2x0y0=0,解得 x=x0(舍去)或 x=2y0.所以点 D 的坐标为 .所以 k1k2= = ,即 k1k2为定值 .0-10 14 14【提分备选】1.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆,离心

6、率 e= ,且椭圆过点 .12(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,则F 1AB 的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意可设椭圆方程为 + =1 .则2222(0)解得:a 2=4,b2=3,所以椭圆方程为 + =1.2423(2)设 A ,B ,不妨设 y10,y2b0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与2222 12直线 x-y+ =0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点.6

7、(1)求椭圆 C 的方程.(2)求 的取值范围.【解析】(1)由题意知 e= = ,所以 e2= = = ,即 a2= b2,又 b= =12 222-22 14 43,36所以 a2=4,b2=3,故椭圆的方程为 + =1.2423(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-4),由=(-4),24+23=1,得:(4k 2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,由 =(-32k 2)2-4(4k2+3)(64k2-12)0,得:k 20,解得-2 m2 ,2 2所以实数 m 的取值组成的集合 M 是 .(0,22)7(2)假设存在定点 P(x0,y0)使得任意

8、的 mM,都有直线 PA,PB 的倾斜角互补,设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知 x1,x2是 4x2+2 mx+m2-4=0 的两个根,2所以 x1+x2=- ,x1x2= ,2-44由题意:k PA+kPB=0,所以 + =0,1-01-02-02-0整理得:(y 1x2+x1y2)-(y1+y2)x0-(x1+x2)y0+2x0y0=0,又 y1= x1+m,y2= x2+m,2 2代入化简得: m+2(x0y0- )=0,2由题意 解得 或 所以定点 P 的220-0=0,00- 2=0 0=1,0=2坐标为(1, )或(-1,- ),经检验,满足题意,2所以存在定点 P 使得任意的 mM,都有直线 PA,PB 的倾斜角互补,坐标为(1, )或(-1,- ).2