1、11.6.4 导数的综合应用名校名师创新预测1.已知函数 y=f(x)对任意的 x 满足 f(x)cos x+f(x)sin x0(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 ( )A.2f 2f D.f(0) f2【解析】选 A.令 g = ,()则 g =由对任意的 x 满足 f(x)cos x+f(x)sin x0 可得 g 0,所以函数 g(-2,2)在 上为增函数,所以 g 0),设 h = -x 2+2ex+() ,令 h1 =-x2+2ex,h2 = ,所以 h2 = ,发现函数 h1 ,h2 在 上都是单调递增的,在 上都是单调递减的 ,所以函数 h =-,
2、+ )x2+2ex+ 在 上单调递增,在 上单调递减,故当 x=e 时,得 h ,+ )=e2+ ,所以函数 f 至少存在一个零点需满足 ah ,1即 ae 2+ .13.已知常数 a0,函数 f =ln - .若 f 存在两个极值点 x1,x2,且 f(1+)2+2+f 0,则 a 的取值范围为_ . (1) (2)【解析】函数 f 的定义域为 ,(-1,+ )对函数求导得 f(x)= -4(+2)2=(+2)2-4(1+)(1+)(+2)23= ,因为 f 存在两个极值点 x1,x2,所以 ax2-4 =0 在定义域内有两个不等的实数根,当 0- a ,1 12即 a ,所以 为函数 f
3、的两个极值点,代入 f+f 0 可得(1) (2)f(x1)+f(x2)=ln1+2 +ln1-2 - 41-21-+2-=ln1-4a(1-a)-4(1-)2-1=ln(1-2a)2+ -2,22-1令 2a-1=t,令 g(t)=ln t2+ -2,2由 a 知,当 a 时,t(-1,0),当 a 时,t( 0,1);当 t(-1,0)时,g(t)=2ln(-t)+ -2,对 g(t)求导可得 g( t)= - = g(1)=0,即 f(x1)+f(x2)0 恒成立,综上 a 的取值范围为 .答案:4.已知函数 f(x)= + ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x+2y
4、-3=0.(1)求 a,b 的值.(2)如果当 x0,且 x1 时,f (x) + ,求 k 的取值范围.-1【解析】(1)f(x)= - .由于直线 x+2y-3=0 的斜率为- ,且过点(1,1),12故 即 解得(1)=1,(1)=-12, =1,2-=-12, =1,=1.(2)由(1)知 f(x)= + ,+11所以 f(x)- = 2ln x+ .(-1+) 11-2令函数 h(x)=2ln x+ (x0),则h(x)= .(-1)(2+1)+225若 k0,由 h(x)= 知,当 x1 时,h(x) 0,可得 h(x)0;11-2当 x(1,+)时,h(x)0.11-2从而当 x0,且 x1 时,f(x)- 0,(-1+)即 f(x) + .-1若 00,对称轴 x= 1,所以当 x 时,(k-1)(x 2+1)+2x0,(1, 11-)故 h(x)0,而 h(1)=0,故当 x 时,h(x)0,可得 h(x)0 即 h(x)0, 而 h(1)=0,故当 x(1,+)时,h(x)0,可得 h(x)0.与题设矛盾.综上,k 的取值范围为(-,0.
