1、1大题分层练(七)解 析几何、函数与导数(C 组)1.已知函数 f(x)= ax2-(2a+1)x+2ln x(aR).(1)若曲线 y=f(x)在 x=1和 x=3处的切线互相平行,求 a的值.(2)求 f(x)的单调区间.(3)设 g(x)=x2-2x,若对任意 x1(0,2,均 存在 x2(0,2 ,使得 f(x1)0).2(1)由题意知 f(1)=f(3),即 a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+ ,解得 a= .23 23(2)f(x)= (x0).当 a0 时,因为 x0,所以 ax-10;在区间(2,+)上,f(x)2,在区间(0,2)和 上,f(x)0;在区间 上,1 (
2、2,1)f(x) 时,00;在区间 上,12 1 (0,1) (1,2)f( x)ln 2-1,故 ln 2-1 时,f(x)在 上单调递增;在 上单调递减,故 f(x)max=12 (0,1 1,2f =-2- -2ln a.12由 a 可知 ln aln ln =-1,所以 2ln a-2,即-2ln aln 2-1.2.如图,已知椭圆 C: +y2=1(a1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF与圆 M:x2+y2-6x-222y+7=0相切.(1)求椭圆 C的方程.(2)若不过点 A的动直线 l与椭圆 C相交于 P,Q两点,且 =0,求证:直 线 l过定点,并求出该定点 N的坐标.
3、【解析】(1)将圆 M的一般方程 x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程为(x-3) 2+(y-1)2=3,圆 M的圆心坐标为 M(3,1),半径 r= .由 A(0,1),F(c,0)(c= )得直线 AF: +y=1,即3 2-1 x+cy-c=0.由直线 AF与圆 M相切,得 = .3所以 c= 或 c=- (舍去). 所以 a= ,所以椭圆 C的方程为 +y2=1.2 323(2)由 =0,知 APAQ,从而直线 AP与坐标轴不垂直,3由 A(0,1)可设直线 AP的方程为 y=kx+1,直线 AQ的方程为 y=- x+1(k0),1将 y=kx+1代入椭圆 C的方程 +y2=1并整理得:(1+3k 2)x2+6kx=0,解得 x=0或 x=-,因此 P的坐标为 ,(- 61+32,- 621+32+1)即 .(- 61+32,1-321+32)将上式中的 k换成- ,得 Q .所以直线 l的方程为 y=1 ( 62+3,2-32+3)+ ,2-32+3-1-321+3262+3+ 61+32(- 62+3)2-32+3化简得直线 l的方程为 y= x- .因此直线 l过定点 N .2-14 12 (0,-12)
