1、1大题分层练(三)三角、数列、概率统计、立体几何(C 组)1.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(2a-b)cos C=ccos B.(1)求角 C 的大小.(2)若 c=2,ABC 的面积为 ,求该三角形的周长.【解析】(1)在ABC 中,由正弦定理知 = = =2R,又因为(2a-b)cos C=ccos B,所以 2sin Acos C=sin Bcos C+cos Bsin C,即 2sin Acos C=sin A.因为 00,所以 cos C= .12又 0N 时,总有 1 008,所以存在 N1 008,使得当 nN 时,总有 ,所以 N 的最小值为 1
2、008.|-12|3.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出 1 盒该产品获利润 30 元,未售出的产品,每盒亏损 10 元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品,以 x(单位:盒,100x200)表示这个开学季内的市场需求量,y(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的平均数.(2)将 y 表示为 x 的函数.(3)根据直方图估计利润 y 不少于 4 000 元的概率.3【解析】(1)由频率分布直方图得:需求量为100,120)的频率=0.0
3、0520=0.1,需求量为120,140)的频率=0.0120=0.2,需求量为140,160)的频率=0.01520=0.3,需求量为160,180)的频率=0.012 520=0.25,需求量为180,200的频率=0.007 520=0.15.则平均数 =1100.1+1300.2+1500.3+1700.25+1900.15=153.(2)因为每售出 1 盒该产品获利润 30 元,未售出的产品,每盒亏损 10 元,所以当100x160 时,y=30x-10(160-x)=40x-1 600;当 160x200 时,y=16030=4 800,所以 y=40-1 600,100160,4
4、 800,160200, (3)因为利润不少于 4 000 元 ,所以 40x-16004 000,解得 x140.所以由(1)知利润不少于 4 000 元的概率 P=1-0.3=0.7.4.如图,PA平面 ABCD,矩形 ABCD 的边长 AB=1,BC=2,E 为 BC 的中点.(1)证明:PEDE.(2)如果异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小为 ,求 PA 的长 及点 A到平面 PED 的距离.【解析】(1)连接 AE,由 AB=BE=1,得 AE= ,同理得,DE= ,AE2+DE2=4=AD2,由勾股定理得AED=90,DEAE,因为 PA平面 ABCD,所以 PADE.又因为
5、 PAAE= A,所以 DE平面 PAE,4所以 PEDE.(2)取 PA 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MC,NC,MN,AC.所以 NCAE,MNPD,所以MNC 的大小等于异面直线 PD 与 AE 所成的角或其补角的大小,即MNC= 或 (或者由观察可知,MNC= ,不需分类讨论 ).3设 PA=x,则 NC= ,MN= ,MC= .2若MNC= ,由 cosMNC= =- ,得 PA=2.12所以 VA-PDE=VP-DAE= 2= .1312 2 2 23在 RtPED 中,PE= ,DE= ,所以 SPED = = .所以点 A 到平面 PED 的距612 2 6 3离为 = .233若MNC= ,由 cosMNC= = ,显然不适合 题意.3 12综上所述,PA=2,点 A 到平面 PED 的距离为 .
