1、1一 三角函数与解三角形(B)1.(2018河北承德模拟)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B.(1)求 B;(2)若 b=2,求ABC 面积的最大值.2.(2018金华模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,已知 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B .2(1)求证:c=2b;(2)若ABC 的面积 S=5b2-a2,求 tan A 的值.3.(2018资阳模拟)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求 A;(2)
2、若 a=4,求 b2+c2的取值范围.4.(2018超级全能生全国联考)已知ABC 中,AC=4 ,BC=4,ABC = .2(1)求角 A 和ABC 的面积;(2)若 CD 为 AB 上的中线,求 CD2.21.解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又 A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由和 C(0,)得 sin B=cos B,又 B(0,),所以 B= .(2)ABC 的面积 S= acsin B= ac.12由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos .又 a2+c22ac,
3、故 ac ,当且仅当 a=c 时,等号成立.因此ABC 面积的最大值为 +1.22.(1)证明:ABC 中,由 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,得 sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因为 B ,所以 cos B0,所以 sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)解:因为ABC 的面积为 S=5b2-a2,所以有 bcsin A=5b2-a2,12由(1)知 c=2b,代入上式得 b2sin A=5b2-a2,又由余弦定理有 a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos
4、A,代入得 b2sin A=4b2cos A,所以 tan A=4.3.解:(1)根据正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即 a2-b2=c2-bc,则 = ,即 cos A= ,2+222 12 12由于 016,所以 b2+c2的取值范围是(16,32.4.解:(1)由 = ,得 sinBAC= ,12又 BCAC,则BAC ,解得BAC= .所以ACB= ,所以ABC 的面积 S= 4 4sin =4( +1).12 2 3(2)设 AB=x,则在ABC 中,由余弦定理得 32=x2+16-8xcos ,即 x2-4 x-16=0,2解得 x=2 +2 (舍负),2 6所以 BD= + .2 6在BCD 中,由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BCBDcos =16-4 .3
