2019届高考数学二轮复习专题三第2讲空间中位置关系的判断与证明（文）学案.docx

1、1第 2 讲空间中位置关系的判断与证明1以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理： a ， b ， a ba (2)线面平行的性质定理： a ， a ， ba b(3)面面平行的判定定理： a ， b ， a b P， a ， b (4)面面平行的性质定理： ， a， ba b2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理： m ， n ， m n P， l m， l nl (2)线面垂直的性质定理： a ， b

2、 a b(3)面面垂直的判定定理： a ， a (4)面面垂直的性质定理： ， l， a ， a la 热点一 空间点、线、面位置关系的判定【例 1】 (2018保定期末)已知 ,ab是两条不同的直线， ,是两个不同的平面，则 ab 的一个充分条件是（ ）A a ， b B a ， b ， C ， ， D ， ， 解析由 a， b 是两条不同的直线， ,是两个不同的平面，在 A 中， ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 A 错误；在 B 中， ， ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 B 错误；在 C 中，由 a， ，则 ，又 ，由线面垂直的性质可知 ab ，故 C 正确；在 D

3、 中， ， ， b ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 D 错误答案 C探究提高 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法：2(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断【训练 1】(2017广东省际名校联考)已知 ， 为平面， a， b， c 为直线，下列命题正确的是( )A a ，若 b a，则 b B ， c， b c，则 b C a b， b c

4、，则 a cD a b A， a ， b ， a ， b ，则 解析 选项 A 中， b 或 b ，不正确B 中 b 与 可能斜交，B 错误C 中 a c， a 与 c 异面，或 a 与 c 相交，C 错误利用面面平行的判定定理，易知 D 正确答案 D热点二 空间平行、垂直关系的证明【例 2】 (2018聊城一中)如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PCD平面 ABCD， 12ABDC，90BADC， 2PD（1）求证：平面 PAD平面 PBC；（2）求直线 PB 与平面 PAD 所成的角；（3）在棱 PC 上是否存在一点 E 使得直线 B 平面 PAD，若存在求 PE 的长，并证明你的结论证

5、明(1)因为 90BADC，所以 ,四边形 为直角梯形, 2CD，又 2PC，满足 22P， P，又 A， A，,DBC平 面 平 面 DABCD平 面 平 面， APCD平 面 ，又 P平 面 ， P，3 PDC， PA点 ， ,DPA平 面 ， 平 面 ， B平 面平面 PAD平面 PBC.(2)取 CD 的中点 H，连接 BH,PH,作 HGPD于 ，如图，G在四边形 ABCD 中， 12ABDC， 90BADC，所以 H为正方形，所以 H；因为平面 PCD平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCD=CD，所以 BH平面 PCD；所以 90BP，.因为 1H，所以 2B；在直角三角形 D

6、中， HPDG，所以 2H，又 BA ，所以 平面 A，所以 B到平面 PA的距离等于 2G；设直线 PB 与平面 PAD 所成的角为 ，则 1sin2，即直线 PB 与平面 PAD 所成的角为 30，(3)存在 E为 PC中点，即 2E满足条件,证明如下：取 D中点 F，连接 ,EA.如图，因为 ,EF分别是 ,PCD的中点，所以 EFCD 且 12，所以 AB 且 ，即 AB为平行四边形，所以 BEAF ;因为 平面 ， F平面 P，所以 平面 P，此时 2探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行4(2)证明线面垂直，需转化为

7、证明线线垂直(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直【训练 2】(2017成都诊断)如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E， F 分别是 AB， BC 的中点， BD 与 EF 交于点 H，点 G， R 分别在线段 DH， HB 上，且 将 AED， CFD，DGGH BRRH BEF 分别沿 DE， DF， EF 折起，使点 A， B， C 重合于点 P，如图 2 所示图 1 图 2(1)求证： GR平面 PEF；(2)若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 P DEF 的内切球的半径(1)证明 在正方形 ABCD 中，

8、A， B， C 为直角在三棱锥 P DEF 中， PE， PF， PD 两两垂直又 PE PF P， PD平面 PEF ，即 ，DGGH BRRH DGGH PRRH在 PDH 中， RG PD GR平面 PEF(2)解 正方形 ABCD 边长为 4由题意知， PE PF2， PD4， EF2 ， DF2 2 5 S PEF2， S DPF S DPE4S DEF 2 612 2 （ 2 5） 2 （ 2） 2设三棱锥 P DEF 内切球的半径为 r，则三棱锥的体积为 VP DEF PDS PEF (S PEF2 S DPF S DEF)r，解得 r 13 13 12三棱锥 P DEF 的内切

9、球的半径为 1251(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )2(2016全国卷) ， 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题：如果 m n， m ， n ，那么 如果 m ， n ，那么 m n如果 ， m ，那么 m 如果 m n， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)3(2016全国卷)平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A， 平面 CB1D1， 平面 ABCD m， 平面 A

10、BB1A1 n，则 m， n 所成角的正弦值为( )A B C D32 22 33 134(2018全国 I 卷)如图，在平行四边形 ABM中， A， 90CM ，以 AC为折痕将CM折起，使点 到达点 D的位置，且 D （1）证明：平面 A 平面 ；（2） Q为线段 上一点， P为线段 BC上一点，且 23BPQA，求三棱锥 QABP的体积61(2016浙江卷)已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l若直线 m， n 满足 m ， n ，则( )A m l B m n C n l D m n2(2017全国卷)在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E

11、DC1 B A1E BD C A1E BC1 D A1E AC3(2018全国 II 卷)如图，在三棱锥 P中， 2B， 4PBC， O为 AC的中点（1）证明： PO平面 C；（2）若点 M在棱 B上，且 2MB，求点 C到平面 OM的距离74(2016全国卷)如图，四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD， AD BC， AB AD AC3， PA BC4， M 为线段 AD 上一点， AM2 MD， N 为 PC 的中点(1)证明： MN平面 PAB；(2)求四面体 NBCM 的体积81(2017梅州质检)已知 ， 是两个不同的平面， m， n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确

12、的是( )A若 m ， n，则 m nB若 m ， n m，则 n C若 m ， n ， ，则 m nD若 ， n， m n，则 m 2如图，在三棱锥 D ABC 中，若 AB CB， AD CD， E 是 AC 的中点，则下列正确的是( )A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BDCC平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDED平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE3(2017石家庄质检)设 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m ， n ，则 m n；若 ， ， m ，则 m ；若 n， m n， m ，则 m ；若

13、 ， ，则 9其中真命题的个数是( )A0 B1 C2 D34如图，在空间四边形 ABCD 中，点 M AB，点 N AD，若 ，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是AMMB ANND_5(2017石家庄模拟)在如图所示的几何体中，四边形 CDEF 为正方形，四边形 ABCD 为等腰梯形，AB CD， AC ， AB2 BC2， AC FB3(1)求证： AC平面 FBC(2)求四面体 FBCD 的体积(3)线段 AC 上是否存在点 M，使 EA平面 FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由106.(2018全国 III 卷)如图，矩形 ABCD所在平面与半圆弧 A

14、CD所在平面垂直， M是 ACD上异于 ， 的点（1）证明：平面 AMD 平面 ；（2）在线段 上是否存在点 P，使得 M 平面 PB？说明理由参考答案111 【解题思路】在平面 MNQ 中找是否有直线与直线 AB 平行【答案】 法一 对于选项 B，如图(1)所示，连接 CD，因为 AB CD， M， Q 分别是所在棱的中点，所以MQ CD，所以 AB MQ，又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ同理可证选项 C，D 中均有 AB平面 MNQ因此 A 项不正确故选 A图(1) 图(2)法二 对于选项 A，其中 O 为 BC 的中点(如图(2)所示)，连接 OQ，则 O

15、Q AB，因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行A 项不正确故选 A2 【解题思路】根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建） 【答案】 当 m n， m ， n 时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为故填3 【解题思路】利用平行关系转化 m， n 所成角【答案】 如图所示，设平面 CB1D1平面 ABCD m1，因为 平面 CB1D1，所以 m1 m，又平面 ABCD平面 A1B1C1D1，且平面 B1D1C平面 A1B1C1D1 B1D1，所以 B1D1 m1，故 B1D1 m因为平面 ABB

16、1A1平面 DCC1D1，且平面 CB1D1平面 DCC1D1 CD1，同理可证 CD1 n故 m， n 所成角即直线 B1D1与 CD1所成角，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， CB1D1是正三角形，故直线 B1D1与 CD1所成角为 60，其正弦值为 32故选 A4 【解题思路】(1)首先根据题的条件，可以得到 90AC，即 AC，再结合已知条件 BA AD，利用线面垂直的判定定理证得 AB平面 ACD，又因为 AB 平面 ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面 ACD平面 ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三

17、棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.【答案】 （1）由已知可得， 90BAC， BA AC12又 BA AD，且 ACD，所以 AB平面 ACD又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC（2）由已知可得， DC=CM=AB=3， DA=32又 23BPDQA，所以 BP作 QE AC，垂足为 E，则 13DC 由已知及（1）可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC， QE=1因此，三棱锥 QABP的体积为 132sin451QABPABPVES 1 【解题思路】构建模型再进一步证明【答案】 由已知， l， l ，又 n ， n l，C 正确故选 C2 【解题思路】画出其图形，一一验证

18、选项【答案】 如图，由题设知， A1B1平面 BCC1B1，从而 A1B1 BC1又 B1C BC1，且 A1B1 B1C B1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E平面 A1B1CD，所以 A1E BC1故选 C3 【解题思路】 （1）连接 O，欲证 P平面 C，只需证明 POC， 即可；（2）过点 作HOM，垂足为 ，只需论证 H的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.【答案】 （1）因为 4P， 为 的中点，所以 AC，且 23连结 B因为 B，所以 为等腰直角三角形，且 OAC， 1213由 22OPB知， OPB由 ， AC，知 平面 AC（2）作 CHOM，垂足为 H又由（

19、1）可得 OPCH，所以 平面 POM故 的长为点 到平面 P的距离由题设可知 12A， 423BC， 45AB所以 253O， sin5HO 所以点 C到平面 PM的距离为 454 【解题思路】(1)取 BP 中点，利用中位线；(2) N 点到底面的距离是 P 点到底面的距离的一半【答案】(1)证明 由已知得 AM AD223如图，取 BP 的中点 T，连接 AT， TN，由 N 为 PC 中点知 TN BC， TN BC212又 AD BC，故 TN= AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN AT因为 AT平面 PAB， MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB(2)解 因为

20、 PA平面 ABCD， N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA12如图，取 BC 的中点 E，连接 AE由 AB AC3 得 AE BC， AE AB2 BE2 5由 AM BC 得 M 到 BC 的距离为 ，5故 S BCM 4 2 12 5 5所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM S BCM 13 PA2 4 53141 【解题思路】根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建） 【答案】 对于 A， m ， n，则 m n 或 m， n 异面，故 A 错误；对于 B，若 m ， n m，则n 或 n ，故 B 错误；对于 C，若 n ， ，则 n 或 n ，

21、又 m ， m n，故 C 正确；对于 D，若 ， n， m n，则 m 可能与 相交，也可能与 平行，也可能在 内，故 D 错误故选 C2 【解题思路】等腰三角形三线合一可得线线垂直关系【答案】 因为 AB CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE AC，同理有 DE AC，又 BE DE E，于是 AC平面BDE因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE又 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE，所以选 C3 【解题思路】根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建） 【答案】 m n 或 m， n 异面，故错误；易知正确； m 或 m ，故错误； 或 与 相交，故错误

22、故选 B4 【解题思路】相似比可得平行关系【答案】 由 ，得 MN BD而 BD平面 BDC， MN平面 BDC，AMMB ANND所以 MN平面 BDC故填平行5 【解题思路】(1)底面长度确定，可用勾股定理证垂直；(2) FC 即为棱锥的高；(3)先利用中点找出 M，再证明【答案】(1)证明 在 ABC 中，因为 AC ， AB2， BC1，所以 AC2 BC2 AB2，3所以 AC BC又因为 AC FB， BC FB B， BC， FB平面 FBC，所以 AC平面 FBC(2)解 因为 AC平面 FBC， FC平面 FBC，所以 AC FC因为 CD FC， AC CD C，所以 FC

23、平面 ABCD在等腰梯形 ABCD 中可得 CB DC1，所以 FC1所以 BCD 的面积为 S 34所以四面体 FBCD 的体积为 VF BCD SFC 13 312(3)解 线段 AC 上存在点 M，且点 M 为 AC 中点时，有 EA平面 FDM证明如下：连接 CE，与 DF 交于点 N，取 AC 的中点 M，连接 MN因为四边形 CDEF 是正方形，所以点 N 为 CE 的中点15所以 EA MN因为 MN平面 FDM， EA平面 FDM，所以 EA平面 FDM所以线段 AC 上存在点 M，且 M 为 AC 的中点，使得 EA平面 FDM 成立6.【解题思路】 （1）先证 ADC,再证

24、 D，进而完成证明（2）判断出 P为 中点， ，证明 OP ， 然后进行证明即可【答案】 （1）由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD因为 BC CD， BC 平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BC DM因为 M 为 上异于 C， D 的点，且 DC 为直径，所以 DM CMCD又 BC CM=C，所以 DM平面 BMC而 DM 平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC（2）当 P 为 AM 的中点时， MC平面 PBD证明如下：连结 AC 交 BD 于 O因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点连结 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MC OPMC 平面 PBD， OP 平面 PBD，所以 MC平面 PBD