2019届高考数学二轮复习专题六第1讲选修4_4坐标系与参数方程学案.docx

1、1第 1 讲选修 4-4 坐标系与参数方程高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点， x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为( x， y)和( ， )，则 x cos ，y sin ， ) 2 x2 y2，tan yx（ x 0） .)2直线的极坐标方程若直线过点 M( 0， 0)，且极轴到此直线的角为

2、，则它的方程为 sin( ) 0sin( 0 )几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点： ；(2)直线过点 M(a，0)( a0)且垂直于极轴： cos a；(3)直线过 M 且平行于极轴： sin b(b， 2)3圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为 r： r；(2)当圆心位于 M(r，0)，半径为 r： 2 rcos ；(3)当圆心位于 M ，半径为 r： 2 rsin (r， 2)4直线的参数方程经过点 P0(x0， y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为 (t 为参数)x x0 tcos ，y y0 tsin )设 P 是直线上的任一点，则

3、t 表示有向线段 的数量P0P 5圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点 M(x0， y0)，半径为 r 的圆的参数方程为 ( 为参数，0 2)x x0 rcos ，y y0 rsin )2(2)椭圆 1 的参数方程为 ( 为参数)x2a2 y2b2 x acos ，y bsin )热点一 曲线的极坐标方程【例 1】(2019呼和浩特期中)在直角坐标系 xOy中，以 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 1C的极坐标方程为 sin4，曲线 2C的极坐标方程为 2cos4in10，曲线 3C的极坐标方程为 4R（）求 1与 2的直角坐标方程；（）若 C与 的交于 P点， 2C与 3交于 A、

4、 B两点，求 PAB 的面积解（）曲线 1的极坐标方程为 sin4，根据题意，曲线 的普通方程为 y曲线 2C的极坐标方程为 2cos4in10，曲线 的普通方程为 xy，即 224xy，（）曲线 3的极坐标方程为 4R，曲线 C的普通方程为 yx，联立 1与 2: 22414x，得 210x，解得 1x，点 P的坐标 ,，点 P到 3C的距离 3d.设 1,A， 2,B将 4代入 2，得 210，则 123， 12，12, 3742PABSd 探究提高 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式： x cos ， y sin ， 2 x2 y2，tan (x0)，要注意 ， 的取值

5、范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技yx巧【训练 1】(2017北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程 C1： cos sin 3 10， C2： 2cos 3(1)求曲线 C1， C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线 C1， C2交于 A， B 两点，求两点间的距离解 (1)由 C1： cos sin 10，3 x y10，表示一条直线由 C2： 2cos ，得 22 cos 3 x2 y22 x，则( x1) 2 y21， C2是圆心为(1，0)，半径 r1 的圆(2)由(1)知，点(1，0)在直线 x y10 上，因此直线 C1过圆 C2的圆心3两交点 A， B

6、 的连线段是圆 C2的直径，因此两交点 A， B 间的距离| AB|2 r2热点二 参数方程及其应用【例 2】(2019湖北联考)在直角坐标系 xOy中，曲线 2cos:inxCy（ 为参数） ，直线1cos:inxtly（ t为参数） ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 C与直线 的极坐标方程（极径用 表示，极角用 表示） ；l（2）若直线 l与曲线 相交，交点为 A、 B，直线 l与 x轴也相交，交点为 Q，求 AB的取值范围.解（1）曲线 2:4xy，即 24xy，即 24cos，即 0或 4cos，由于曲线 4cos过极点，曲线 C的极坐标方程为 直线 :1

7、inlxy，即 sincosin0xy，即 cosisicoi0，即 isi，直线 l的极坐标方程为 insi；（2）由题得 1,0Q，设 M为线段 AB的中点，圆心到直线 l的距离为 0,2d，则 23d它在 ,时是减函数， Q的取值范围 5,6探究提高 1将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件2在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解【训练 2】(2017郴州三模)

8、在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)，x 2cos ，y 2 2sin )4直线 l 的参数方程为 (t 为参数)以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系x 1 22t，y 22t )(1)写出直线 l 的普通方程以及曲线 C 的极坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 M， N，直线 l 与 x 轴的交点为 P，求| PM|PN|的值解 (1)直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，x 1 22t，y 22t )消去参数 t，得 x y10曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)，x 2cos ，y 2 2sin )利用平方关系，

9、得 x2( y2) 24，则 x2 y24 y0令 2 x2 y2， y sin ，代入得 C 的极坐标方程为 4sin (2)在直线 x y10 中，令 y0，得点 P(1，0)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程得 t23 t10，2 t1 t23 ， t1t212由直线参数方程的几何意义，| PM|PN| t1t2|151(2018全国 I 卷)在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的方程为 2ykx以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C的极坐标方程为 2cos30（1）求 2C的直角坐标方程；（2）若 1与 有且仅有三个公共点，求 1的方程2(2018全国 II

10、卷)在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为2cos4inxy（ 为参数），直线 l的参数方程为 1cosinxty（ t为参数）（1）求 C和 l的直角坐标方程；（2）若曲线 截直线 l所得线段的中点坐标为 1,2，求 l的斜率61(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原x 3cos ，y sin )点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin 2 ( 4) 2(1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求| PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标7

11、2(2017哈尔滨模拟)已知曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点 O 为极点， xx 2 2cos ，y 2sin )轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 4( 6)(1)写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方程；(2)若射线 与曲线 C 交于 O， A 两点，与直线 l 交于 B 点，射线 与曲线 C 交于 O， P 两点，求 3 116 PAB 的面积1(2017新乡三模)以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos ，曲线 M 的直角坐标方程为 x2 y20( x0)(1)以曲线 M 上的

12、点与点 O 连线的斜率 k 为参数，写出曲线 M 的参数方程；(2)设曲线 C 与曲线 M 的两个交点为 A， B，求直线 OA 与直线 OB 的斜率之和82(2019厦门期末)在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12xy后，曲线 C变为曲线 21xy.以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 sin3.l（1）求 C和 l的直角坐标方程；（2）过点 1,0P作 l的垂线交 C于 ,AB两点，点 在 x轴上方，求 1PAB9参考答案1 【解题思路】(1)就根据 cosx， siny以及 22xy，将方程 2cos30中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的

13、形式，可以断定曲线 2C是圆心为 1,0A，半径为 2的圆， 1C是过点 ,2B且关于 y轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.【答案】 （1）由 2cos30可得： 230xy，化为 214xy（2）由（1）知 2C是圆心为 1,A，半径为 的圆，由题设知， 1是过点 0,B且关于 y轴对称的两条射线记 y轴右边的射线为 1l， 轴左边的射线为 2l由于 B在圆 2C的外面，故 1与 2C有且仅有三个公共点等价于 1l与 2C只有一个公共点且 2l与 C有两个公共点，或 l与 只有一个公共点且 l与

14、有两个公共点当 1l与 2只有一个公共点时， A到 1l所在直线的距离为 2，所以 21k，故 43k或 0经检验，当 0k时， 1l与 2C没有公共点；当 43k时， 1l与 2C只有一个公共点， 2l与 C有两个公共点当 2l与 C只有一个公共点时， A到 2l所在直线的距离为 ，所以 21k，故 0k或 43经检验，当 0k时， 1l与 2C没有公共点；当 43k时， 2l与 C没有公共点综上，所求 1的方程为 43yx2 【解题思路】(1)根据同角三角函数关系将曲线 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 cos0与 cs两种情况.(

15、2)将直线 l参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据参数几何意义得 in,之间关系，求得 tan，即得 l的斜率【答案】 （1）曲线 C的直角坐标方程为2146xy，当 cos0时， l的直角坐标方程为 tantan，当 时， 的直角坐标方程为 1x（2）将 l的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 t的方程10213cos4cosin80tt因为曲线 C截直线 l所得线段的中点 1,2在 C内，所以有两个解，设为 1t， 2，则 120t又由得122csi3ot，故 cosin0，于是直线 l的斜率 tank1 【解题思路】(1)曲线 C1利用 22sincos1消参，曲线 C2利用 化

16、为直角坐标方x cos ，y sin ， )程(2)利用点到直线距离公式，曲线 C1直接用参数方程，用三角函数求其最值【答案】解 (1) C1的普通方程为 y21，曲线 C2的直角坐标方程为 x y40x23(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( cos ，sin )因为 C2是直线，所以| PQ|的最小值即为 P 到 C2的3距离 d( )的最小值又 d( ) ，当且仅当 2 k (kZ)时， d( )取得| 3cos sin 4|2 2|sin( 3) 2| 6最小值，最小值为 ，此时点 P 的直角坐标为 2 (32， 12)2 【解题思路】(1)曲线 C1利用 2sincos消参，曲线

17、 C2利用 化为直角坐标方x cos ，y sin ， )程(2)分别联立求出 A， B， P 的坐标【答案】解 (1)由 ( 为参数)，消去 x 2 2cos ，y 2sin )普通方程为( x2) 2 y24从而曲线 C 的极坐标方程为 24 cos 0，即 4cos ，因为直线 l 的极坐标方程为 sin 4，即 sin cos 4，( 6) 32 12直线 l 的直角坐标方程为 x y803(2)依题意， A， B 两点的极坐标分别为 ， ，(2， 3)(4， 3)联立射线 与曲线 C 的极坐标方程，得 P 点极坐标为 ，116 (2 3， 116 )| AB|2， S PAB 22

18、sin 2 12 3 ( 3 6) 31 【解题思路】 (1) :OMykx；(2)联立曲线 M 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程，韦达定理【答案】解 (1)由 得x 2y 2 0（ x0） ，y kx ) x 22k 1，y 2k2k 1.)11故曲线 M 的参数方程为 x 22k 1，y 2k2k 1)(k为 参 数 ， 且 k12)(2)由 4cos ，得 24 cos ， x2 y24 x将 代入 x2 y24 x 整理得 k24 k30，x 22k 1，y 2k2k 1) k1 k24故直线 OA 与直线 OB 的斜率之和为 42 【解题思路】(1)将12y代入 21xy得，即可

19、得到曲线 C的方程；由 cosinxy，代入即可得到直线 l的直角坐标方程；（2）由题意，得过点 1,0P的垂线的参数方程为3120yt（ 为参数） ，代入曲线 C的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【答案】(1)将12xy代入 21xy得，曲线 C的方程为214xy，由 sin3得 sincosin33，因为 cosixy，代入上式得直线 的直角坐标方程为 230xy；l（2）因为直线 l的倾斜角为 3，所以其垂线的倾斜角为 56，过点 1,0P的垂线的参数方程为1cos50in6yt，即3120yt（ 为参数）代入曲线 C的方程整理得 27431tt，设 ,AB两点对应的参数为 12,（由题意知 10t， 2t）则12437t，且 2437，所以 12123tPABt.