山西省太原市2019届高三数学上学期阶段性（期中）考试试题（含解析）.doc

1、- 1 -山西省太原市 2019 届高三数学上学期阶段性（期中）考试试题（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每出的小题给四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母代码填入下表相应位置）1.已知集合 M= ，N= ，则 MN=A. （0,1） B. （，1）（2，+）C. （1,0） D. （，2）（1，+）【答案】B【解析】【分析】解出集合 M，N，然后进行并集的运算即可【详解】M=x|1x1，N=x|x0，或 x2；MN=x|x1，或 x2=（，1）（2，+） 故选：B【点睛】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，描述法的定义，以及并集的运算

2、2.函数 的定义域是( )A. （0,1） B. C. D. 0,1【答案】C【解析】【分析】求函数定义域只需保证函数各部分有意义即可【详解】由 解得 0 x1，所以函数 f（x）的定义域为（0，1故选：C【点睛】本题考查函数定义域的求法，一般说来给出的函数要保证函数解析式有意义3.给定函数： ； ； ； ，其中在区间 上单调递减的函数序号是（ ）A. B. C. D. - 2 -【答案】B【解析】视频4.已知等比数列 中， + = ， = ，则 =A. B. C. 4 D. 4【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出结果【详解】等比数列a n中，

3、a 1+a2= ，a 1a 3= ， ，解得 ，a 4= =1（ ） 3= 故选：A【点睛】本题考查利用等比数列的通项公式求第 4 项的方法，也考查运算求解能力，是基础题5.巳知函数 ，则 =A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意先求出 log23 的范围为（1，2） ，然后结合函数的解析式可得 f（log 23）- 3 -=f（1+log 23）= = 【详解】由题意可得：1log 232，因为函数 ，所以 f（log 23）=f（1+log 23）= = 故选：C【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握对数与指数的有关运算，并且加以正确的计算6.函数 的单调递减区间是A

4、. (3，1) B. (0,1) C. (1,3) D. (0，3)【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可【详解】函数的定义域是（0，+） ，y=1 + = ，令 y（x）0，解得：0x1，故函数在（0，1）递减，故选：B【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是一道常规题7.周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为 尺,前九个节气日影长之和为 尺,则小满日影长为( )A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺【答

5、案】B【解析】- 4 -设各节气日影长依次成等差数列 ， 是其前 项和，则 = = =85.5，所以=9.5，由题知 = =31.5，所以 =10.5，所以公差 =1，所以= =2.5，故选 B8.函数 的图象大致如图所示，则下列结论正确的是 A. 0， 0， 0 B. 0， 0 D. 0， 0， 1000所以 n 的最大值 35.故选：C【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题- 7 -11.已知 是定义在 R 上的奇函数，且满足 ， =1，数列 满足 =1， （ ） ，其中 是数列 的前 n 项和，则 =A. 2 B. 1

6、 C. 0 D. 1【答案】A【解析】【分析】推导出 Sn=2an+n，从而 an=SnS n1 =2an+n2a n1 （n1） ，得a n1是首项为2，公差为 2 的等比数列，求出 a5=31，a 6=63，由 f（2x）=f（x） ，f（1）=1，得 f（x）关于直线 x=1 对称，由函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，得到函数 f（x）是一个周期函数，且 T=4，由此能求出 f（a 5）+f（a 6） 【详解】数列a n满足 a1=1， （nN +） ，其中 Sn是数列a n的前 n 项和，S n=2an+n，an=SnS n1 =2an+n2a n1 （n1） ，整理，得 =2，

7、a 11=2，a n1是首项为2，公差为 2 的等比数列，a n1=22 n1 ，a n=122 n1 a 5=122 4=31， =63，f（2x）=f（x） ，f（1）=1，f（x）关于直线 x=1 对称，又函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数函数 f（x）是一个周期函数，且 T=4，f（a 5）+f（a 6）=f（31）+f（63）=f（3231）+f（6463）=f（1）+f（1）=f（1）f（1）=11=2故选：A【点睛】本题考查函数值的求法，考查等比数列、函数的奇偶性和周期性等基础知识，考- 8 -查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题12.已知定义在(0,+)上的可导函数

8、 ，满足 ，则下列结论正确的是A. B. 【答案】A【解析】【分析】根据条件构造新函数 g（x）=xf（x） ，求函数的导数，结合函数的单调性与选项即可得到结论【详解】xf（x）=（x1）f（x） ，f（x）+xf（x）=xf（x）设 g（x）=xf（x） ，则 g（x）=f（x）+xf（x） ，即 g（x）=g（x） ，则 g（x）=e x，则 g（x）=xf（x）=e x，则 f（x）= ， （x0） ，函数的导数 f（x）= ，由 f（x）0 得 x1，此时函数单调递增，由 f（x）0 得 0x1，此时函数单调递减，即当 x=1 时，函数 f（x）取得极小值，所以 故选：A【点睛】本题主

9、要考查函数与导数的关系，根据条件构造新函数，再利用导数研究新函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，难度较大二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）13.已知集合 A=1，0，1，B= ，若 AB=0，则 B=_；【答案】0,3- 9 -【解析】【分析】根据 AB=0可得出 0B，进而求出 m=0，解方程 x23x=0 即可求出集合 B【详解】AB=0；0B；m=0；B=0，3故答案为：0，3【点睛】考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，交集的定义及运算14.已知函数 在 =0 处的切线经过点(1,1)，则实数 =_；【答案】-3【解析】【分析

10、】求出原函数的导函数，得到 f（0） ，再求出 f（0） ，求出切线方程，然后求解 a 即可；【详解】y=（ax+1）e x，f（x）=（ax+a+1）e x，f（0）=a+1，又 f（0）=1，切线方程为：y1=（a+1） （x0）函数 y=（ax+1）e x在 x=0 处的切线经过点（1，1） ，可得：11=a+1，解得 a=3故答案为：3【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是中档题15.在数列 中， =1， = （ ） ，记 为数列 的前 n 和项，若 = ，则=_；【答案】49【解析】【分析】由条件可得 = ，运用数列恒等式：a n=a1 ，化

11、简可得 an= ，可得 =2（ ） ，由裂项相消求和可得所求和 Sn，解方程可得 n 的值- 10 -【详解】数列a n中，a 1=1，a n= an1 （n2） ，可得 = ，即有 an=a1 =1 = ，可得 = =2（ ） ，则 Sn=2（1 + + ）=2（1 ） ，由 Sn= ，即有 2（1 ）= ，解得 n=49故答案为：49【点睛】本题考查数列的通项公式和求和，注意运用数列恒等式和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题16.已知函数 = ，若对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是_；【答案】(0,1)【解析】【分析】由题意设 g（x）=e xe x 2x，xR，则 g

12、（x）是定义域 R 上的奇函数，且为增函数；问题等价于 g（x 2+a）g（2ax）恒成立，得出 x2+a2ax，利用判别式0 求得实数 a 的取值范围【详解】函数 f（x）=e xe x 2x+1，xR；可设 g（x）=e xe x 2x，xR；则 f（x）=g（x）+1，且 g（x）=e x e x+2x=（e xe x 2x）=g（x） ，- 11 -g（x）是定义域 R 上的奇函数；又 g（x）=e x+ex 20 恒成立，g（x）是定义域 R 上的增函数；不等式 f（x 2+a）+f（2ax）2 恒成立，化为 g（x 2+a）+g（2ax）+22 恒成立，即 g（x 2+a）g（2a

13、x）=g（2ax）恒成立，x 2+a2ax 恒成立，即 x2+2ax+a0 恒成立；=4a 24a0，解得 0a1，实数 a 的取值范围是（0，1） 故答案为：（0，1） 【点睛】本题考查了利用新构造函数，用导数判定新函数的单调性和利用奇偶性来解决问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分.解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知集合 A= ，B= | ；(1)求 AB;(2)若 = ， ，求函数 的值域.【答案】(1)1,2) (2)【解析】【分析】（1）分别求出集合 A，B，由此能求出 AB （2）由 AB=x|1x2，f（x）=（

14、 ） x+在1，2）上是减函数，能求出函数 f（x）的值域【详解】 （1）集合 A=x|1 2=x|1x4，B=y|y=log 2x，xA=y|0y2，AB=x|1x2（2）由（1）得 AB=x|1x2，f（x）=（ ） x+ 在1，2）上是减函数，f（1）= ，f（2）= ，函数 f（x）的值域为 【点睛】本题考查交集的求法，考查函数的值域的求法与函数的性质等基础知识，是基础- 12 -题18.已知数列 中， + =2（ ） ，数列 满足 = （ ）(1)求数列 和 的通项公式；(2)若 = （ ） ，求数列 的前 n 项和 ；【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）直接利用递推关系式

15、求出数列的通项公式 （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和【详解】 （1）数列a n中，S n+an=2（nN +） ，当 n=1 时，S 1+a1=2a1=2，解得：a 1=1，当 n2 时，S n1 +an1 =2，由得： ，所以：数列a n是以 a1=1 为首项， 为公比的等比数列故 由于数列b n满足 bn=log2an+1（nN +） 则： （2）由（1）得： ，所以： ，- 13 -得： ，解得： 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于常见题型19.已知函数 = ，其中 a0

16、,且 a1(1)判断 的奇偶性，并证明你的结论;(2)若关于 的不等式 | |在1,1上恒成立,求实数 a 的取值范围【答案】(1)偶函数 (2) 【解析】【分析】（1）函数 f（x）是定义域 R 上的偶函数，用定义法证明即可；（2）由 f（x）是 R 上的偶函数，问题等价于 f（x） x 在0，1上恒成立；讨论 x=0 和 x0 时，求出实数 a 的取值范围【详解】 （1）函数 f（x）=x（ ）是定义域 R 上的偶函数，证明如下：任取 xR，则 f（x）=x（ ）=x（ ） ，f（x）f（x）=x（ ）x（ ）=x（ 1）=0，f（x）=f（x） ，f（x）是偶函数；（2）由（1）知 f（

17、x）是 R 上的偶函数，不等式 f（x） |x|在1，1上恒成立，等价于 f（x） x 在0，1上恒成立；显然，当 x=0 时，上述不等式恒成立；当 x0 时，上述不等式可转化为 ，a x 在0，1上恒成立，- 14 - a1 或 a1，求实数 a 的取值范围是 ，1）（1，+） 【点睛】本题考查了用定义法判断函数的奇偶性问题和利用偶函数的性质求参数的范围问题，再转化为不等式恒成立问题，进行分类讨论，是中档题20.已知函数 = ， ；(1)讨论 的单调性;(2)若不等式 在(0,1)上恒成立,求实数 a 的取值范围.【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求出导函数后，按 a0，0a

18、 ，a= ，a 分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求单调区间（2）由（1）的单调性分类求 f（x）的最小值，用最小值使不等式成立代替恒成立【详解】 （1）f（x）= ax2+（12a）x2lnx，x0，f（x）= = ，当 a0 时，令 f（x）0，得 0x2；令 f（x）0，得 x2；当 a0 时，令 f（x）=0，得 x= 或 x=2；（）当 2，即 时，令 f（x）0，得 0x2 或 x ；令f（x）0，得 2x ；（）当 =2 时，即 a= 时，则 f（x）0 恒成立；（）当 2 时，即 a 时，令 f（x）0，得 0x 或 x2； 令f（x）0，得 x2；综上所述：当 a0

19、时，f（x）在（0，2）上递减，在（2，+）上递增；当 时，f（x）在（0，2）和（ ，+）上递减，在（2， ）上递增；- 15 -当 a= 时，f（x）在（0，+）上递减；当 a 时，f（x）在（0， ）和（2，+）上递减，在（ ，2）上递增（2）由（1）得当 a 时，f（x）在（0，1）上递减，f（1）=1 a ， ；当 a 时，（）当 1，即 a1 时，f（x）在（0， ）上递减，在（ ，1）上递增，f（ ）=2 +2ln（a）2 ，a1 符合题意；（）当 1，即1a 时，f（x）在（0，1）上递增，f（1）=1 a ，1a 符合题意；综上，实数 a 的取值范围为（， 【点睛】本题主要考

20、查函数单调性的判断，先求出函数的导数，用二次函数开口和根的大小讨论导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，注意要对 a 进行分类讨论，最后求最值，属于中档题第 II 卷(选做题共 30 分)一、选择题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将其字母代码填入下表相应位置)21.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的坐标为(1,1),以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标为A. (1， ) B. ( ， ) C. (cosl，sin1) D. ( cos1, sin1)【答案】B【解析】【

21、分析】推导出 = = ，tan=1，从而 = ，由此能求出点 P 的极坐标【详解】在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（1，1） ，- 16 -= = ，tan=1，= 点 P 的极坐标为（ ， ） 故选：B【点睛】本题考查点的极坐标的求法，直角坐标与极坐标的互化等基础知识， 考查数形结合思想，是基础题22.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=x 与曲线 （ 是参数， ， ）,有公共点,则下列说法正确的是A. 0 C. = D. =【答案】B【解析】【分析】将曲线的参数方程代入直线 y=x 的方程，并化简得 ，结合条件 t0， ，于是得到 0 ，于是得出答案【详解】将 代入 y

22、=x 得 2+tcos=tsin，即 t（sincos）=2，所以，因为 t0，且 t ，所以 0 故选：B【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，考查对公式的应用与转化能力，属于中等题二、填空題(本大题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)23.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 ： （ 是参数） ，曲线 ： （ 是- 17 -参数） ，若曲线 与 相交于 A,B 两个不同点，则|AB|=_；【答案】【解析】【分析】首先把方程转换为直角坐标方程，进一步利用方程组，根据一元二次方程根和系数的关系求出 A、B 的坐标，在求出|AB|的长【详解】曲线 C1： （t 是参数） ，转换为

23、直角坐标方程为：xy1=0，曲线 C2： （ 是参数） ，转换为直角坐标方程为： ，建立方程组： ，得到：3x 24x=0，解得：x=0 或所以：A（0，1） ，B（ ） ，所以：|AB|= = 故答案为： 【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型24.在极坐标系中,点 P 的坐标为(1, ),点 Q 是曲线 =2 上的动点,则|PQ|的最大值为_；【答案】2【解析】【分析】- 18 -直接利用方程之间的转换，利用两点间的距离公式求出结果【详解】点 P 的坐标为（1， ） ，转换为直角坐标为 P（

24、0，1） ，曲线 2（1+sin 2）=2，转换为直角坐标方程为： ，则：点 P（0,1）到（0，1）的距离最大最大距离为 2故答案为：2【点睛】本题考查直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用三、解答题(本大题共 1 小题,满分 10 分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)25.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 ： =0(a0)，曲线 的参数方程为( 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；(1)求曲线 ， 的极坐标方程;(2)已知极坐标方程为 = 的直线与曲线 ， 分别相交于 P，Q 两点（均异于原点 O） ，若|PQ|= 1，求实数 a

25、 的值；【答案】(1) (2)2【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）利用（1）的结论，进一步利用极径求出参数的值【详解】 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：x 22ax+y 2=0（a0） ，转换为极坐标方程为： 2=2acos，即：=2acos曲线 C2的参数方程为 （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为：x 2+（y1） 2=1，转换为极坐标方程为：=2cos- 19 -（2）已知极坐标方程为 = 的直线与曲线 C1，C 2分别相交于 P，Q 两点，由 ，得到：P（ ） ，Q（ ） ，由于：|PQ|=2 1，所以： ，解

26、得：a=2【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力选修 45 不等式选讲一、选择题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将其字母代码填入下表相应位置)26.不等式 的解集为A. （0,1） B. （，0）（1，+）C. （1,0） D. （，1）（1，+）【答案】B【解析】【分析】由|2x1|1 得 2x11，或 2x1-1 解之即可【详解】由|2x1|1 得 2x11，或 2x1-1解得 x1 或 x0故选：B【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，分两种情况讨

27、论，属于基础题.27.若关于 的不等式 在（，1上恒成立，则实数 的取值范围为A. 1，+） B. （，1 C. 3，+） D. （，3【答案】A【解析】【分析】由题意可得 m（|x+1|x2|） max，讨论 x1，1x1 时，求得|x+1|x2|的最大值，由恒成立思想可得所求 m 的范围【详解】关于 x 的不等式|x+1|x2|m 在（，1上恒成立，即为 m（|x+1|x2|） max，- 20 -由1x1 时，|x+1|x2|=x+1+x2=2x13，1；x1 时，|x+1|x2|=x1+（x2）=3则|x+1|x2|的最大值为 1，可得 m1，故选：A【点睛】本题考查含绝对值的不等式恒

28、成立问题解法，转化为不等式在其定义域上的值域问题，也考查运算能力，属于中档题二、填空題(本大题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)28.不等式 的解集为_；【答案】【解析】【分析】通过讨论 x 的范围，得到满足条件的不等式组，解出即可【详解】|x+1|2x1， 或 ，解得：x2，故不等式的解集是（2，+） ，故答案为：（2，+） 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题29.若关于 的不等式 在1,1上恒成立，则实数 的取值范围为_；【答案】-1,1【解析】【分析】利用绝对值不等式的定义化简|ax1|2，再根据 x1，1讨论 a 的取值情况，即可求出实数

29、a 的取值范围【详解】不等式|ax1|2，2ax12，1ax3；又 x1，1，- 21 -若 a0，则aaxa， ，解得 0a1； 若 a=0，则103，满足条件；若 a0，则 aaxa， ，解得1a0； 综上，实数 a 的取值范围是1，1故答案为：1，1【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与在定义域内的值域问题，利用子集的关系，求出参数的范围应用问题三、解答题(本大题共 1 小题,满分 10 分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)30.已知 ；（1）解不等式 ；（2）若 ， ，求 的最大值，并求此时实数 的取值；【答案】(1) (2)4【解析】【分析】（1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）分别求出|m2|1，|n1|1，根据绝对值不等式的性质求出代数式的最大值即可【详解】 （1）原不等式等价于|x2|+12|x1|，故 或 或 ，解得：1x ，故不等式的解集是（1， ） ；（2）由题意得：f（m）=|m2|1，f（2n）=|2n2|2，|n1|1，|m2n1|=|（m2）2（n1）1|m2|+2|n1|+14，当且仅当 时，|m2n1|取最大值 4【点睛】本题考查了解含绝对值不等式问题，利用绝对值不等式的性质进行分类讨论思想，- 22 -转化为含绝对值的最值思想，是一道综合题