的基本定理和坐标表示导学案（无答案）苏教版选修1_1.doc

1、13.1.3-3.1.4 基本定理和坐标表示主备人： 学生姓名： 得分： 1、教学内容：空间向量（第三课时）3.1.3-3.1.4 空间向量的基本定理和坐标表示2、教学目标1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算的坐标运算三、课前预习：1空间的基底惟一吗？2设向量 a( x1， y1， z1)与向量 b( x2， y2， z2)共线，若 x2y2z20，则满足的条件是什么？四、讲解新课1空间向量基本定理(1)定理如果三个向量 e1， e2， e3不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组x， y， z，使 p xe1 ye2

2、ze3.(2)基底与基向量如果三个向量 e1， e2， e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量 e1， e2， e3线性表示我们把 e1， e2， e3称为空间的一个 ， e1， e2， e3叫做 空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底(3)正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是 时，称这个基底为单位正交基底，通常用 i， j， k表示(4)推论设 O， A， B， C 是不共面的四点，则对空间任意一点 P，都存在惟一的有序实数组( x， y， z)，使得 x y z .OP OA OB OC 2空

3、间向量的坐标表示空间直角坐标系 Oxyz 中， i， j， k 分别为 x， y， z 轴方向上的单位向量，对于空间任一个向量 a，若有 a xi yj zk，则有序实数组( x， y， z)叫向量 a 在空间直角坐标系中的坐标特别地，若 A(x， y， z)，则向量 的坐标为( x， y， z)OA 3坐标运算2设 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则 a b( a1 b1， a2 b2， a3 b3)；a b( a1 b1， a2 b2， a3 b3)； a( a 1， a 2， a 3) ( R)ab (a0) b1 a 1， b2 a 2， b3 a 3 (

4、 R).4、有关例题要点一 空间向量的基底例 1 若 a， b， c是空间的一个基底试判断 a b， b c， c a能否作为该空间的一个基底？规律方法 空间向量有无数个基底判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断跟踪演练 1 以下四个命题中正确的是_空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；若 a， b， c为空间的一个基底，则 a， b， c 全不是零向量；如果向量 a， b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 a 与 b 共线；任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底要点二 用

5、基底表示向量例 2 如图，四棱锥 POABC 的底面为一矩形， PO平面 OABC，设 a， b， c， E， F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a， b， cOA OC OP 表示 ， ， ， .BF BE AE EF 规律方法 (1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向3量用基底表达的形式是惟一的；(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用跟踪演练 2 如图所示，空间四边形 OABC 中， G、 H 分别是 ABC、 OBC的重心，设 a， b， c.试用向量 a， b， c 表示向量 .OA O

6、B OC GH 要点三 空间向量的坐标表示例 3 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M、 N 分别是 AB、 PC 的三等分点且 PN2 NC， AM2 MB， PA AB1，求 的坐标MN 规律方法 建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示跟踪演练 3 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M、 N 分别是AB、 PC 的中点，并且 PA AD1，建立适当坐标系，求 的坐标MN 要点四 空间向量线性运算的坐标运算例 4：已知 a=(1,-3,8), b=(3,10,-4), 求

7、a+b,a-b, 3a.跟踪演练 4：已知空间四点 A(-2,3,1), B(2,-5,3), C(10,0,10)和 D(8,4,9). 求证：四边形 ABCD 是梯形。五、课堂练习41有以下命题：单位正交基底中的基向量模为 1 且互相垂直； O， A， B， C 为空间四点，且向量 ， ， 不构成空间的一个基底，那么点 O， A， B， C 一定共面；已知向量OA OB OC a， b， c 是空间的一个基底，则向量 a b， a b， c，也是空间的一个基底其中正确的命题序号是_2已知向量 a(1,1,0)， b(1,0,2)，若 ka b 与 2a b 平行，则实数 k_.3已知 A(

8、3,4,5)， B(0,2,1)， O(0,0,0)，若 ，则 C 的坐标是_OC 25AB 4若 a， b， c是空间的一个基底，且存在实数 x， y， z 使得 xa yb zc0，则x， y， z 满足的条件是_六、课堂小结七、课后作业1在空间直角坐标系 O xyz 中，下列说法正确的是_向量 与点 B 的坐标相同； 向量 与点 A 的坐标相同；AB AB 向量 与向量 的坐标相同； 向量 与向量 的坐标相同AB OB AB OB OA 2正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E、 F 分别是底面 A1C1和侧面 CD1的中心，若 0 ( R)，则 _.EF A1D 3.已知空间四边形

9、 OABC，其对角线为 OB， AC，点 M， N 分别是对边OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 MG2 GN，用基底向量 ，OA ， 表示向量 为_OB OC OG 4已知 a3 ，6， 6， b 1,3,2 ，若 a b，则 _.5与 a(2，1,2)共线且满足 az18 的向量 z_.6若 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则 是 ab 的_条a1b1 a2b2 a3b3件7.在直三棱柱 ABOA1B1O1中， AOB ， AO4， BO2， AA14， D 为 2A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 、 的坐标DO A1B 58已知 a2(2，1,3)， b(1,4，2)， c(7,5， )，若 a， b， c 三向量共面，求 的值