1、12.3 数学归纳法（1）一、教学内容：推理与证明（第七课时）理科：数学归纳法（1）二、教学目标：1了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力2了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤3重点训练等式问题和数列问题3、课前预习对于数列an，已知 1a， nn1(n=1,2,), 通过对 n=1,2,3,4 前 4 项的归纳，猜想其通项公式四、讲解新课（一）创设情景对于数列an，已知 1a， nn1(n=1,2,), 通过对 n=1,2,3,4 前 4 项的归纳，猜想其通项公式为 n 。这个猜想是否正确需要证明。一般来说，与正整数 n 有关的命题，当 n 比较小时可
2、以逐个验证，但当 n 较大时，验证就很麻烦。特别是 n 可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明 n 取所有正整数都成立。（二）研探新知1、了解多米诺骨牌游戏。可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 思考：你认为条件（2）的作用是什么？可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第 k 块倒下时，相邻的第 k+1 块也倒下。这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1） （2）成立。2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。思考：你认为证明数列的通过公式是
3、 na1这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析： 多米诺骨牌游戏原理通项公式 na1的证明方法（1）第一块骨牌倒下。 （1）当 n=1 时 a1=1，猜想成立（2）若第 k 块倒下时，则相邻的第 k+1 块也倒下。（2）若当 n=k 时猜想成立，即 k1，则当 n=k+1 时猜想也成立，即 1k 。2根据（1）和 （2） ，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据（1）和（2） ，可知对任意的正整数 n，猜想都成立。3、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n0 时命题
4、成立；（2） （归纳递推）假设 n=k( k,0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法 注意：（1）这两步步骤缺一不可。 （2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当 n=k+1 时命题成立” 。（3）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。4、例题讲解例 1 用数学归纳法证明：如果a n是一个等差数列，那么 an=a1+(n1)d 对一切
5、nN *都成立.练习 1：用数学归纳法证明：如果a n是一个等比数列，那么 an=a1 q对一切 nN *都成立.例 2 用数学归纳法证明：1+3+5+(2n1)=n 2.练习 2：用数学归纳法证明“1 22 23 2n 2 n(n1)(2n1)(nN *)”165、课堂练习1. 若 f(n)1 (nN )，则 n1 时，f(n)_.12 13 12n 12. 用数学归纳法证明不等式“2 nn21 对于 nn 0的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取为_3、用数学归纳法证明等差数列的求和公式（1） 34、已知 a1= 2,an+1= 3,（1） a2,a3,a4,a5的值；（2）猜想 an；（3）用数学归纳法证明你的结论。
