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黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018_2019学年高一数学上学期期中试卷(含解析).doc

1、- 1 -牡一中 2018 级高一学年上学期期中考试数学试题一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1.若集合 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由全集 U 及 A,求出 A 的补集即可【详解】全集 U=1,2,3,4, , ,故选:C【点睛】本题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键2.函数 的定义域为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于或等于 0,即可求出 f(x)的定义域【详解】函数 ,要使二次根式 有意义,则 x 故函数 的定义域为 ,故选 D .【点睛】本题考查了求函数的定义域的问题,函数的定义域

2、就是使函数有意义的自变量的取值范围求解函数定义域的常规方法:分母不等于零;根式(开偶次方)的被开方式0;对数的真数大于零,以及对数底数大于零且不等于 1;指数为零时,底数不为零结合实际问题,判断函数的定义域.3.“ ”是“ ”的( ) A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件- 2 -C. 充要条件 D. 既不充分也不不要条件【答案】A【解析】【分析】由 ,解得 x= ,即可判断关系.【详解】由 ,解得 x= “ ”是“ ”的充分不必要条件故选:A【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法:直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合,例如“ ”为真,则 是 的充分条件

3、2等价法:利用 与非 非 , 与非 非 , 与非 非 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法3集合法:若 ,则 是 的充分条件或 是 的必要条件;若 ,则 是 的充要条件4.命题“ ”的否定是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果【详解】命题“ ”的否定是 故选:A【点睛】全称命题的一般形式是: , ,其否定为 .存在性命题的一般形式是 , ,其否定为 .5.已知 ,则 ( )A. 15 B. 21 C. 3 D. 0- 3 -【答案】B【解析】【分析】由 ,令 即可得结果.【详解】 ,故选 B【点睛】本题主要考查函数

4、的解析式,意在考查基本概念的掌握情况,属于简单题.6.已知函数 (其中 )的图象如图所示,则函数 的图象大致是( )A. B. .C. D. 【答案】D【解析】由二次方程的解法易得( x a)(x b)0 的两根为 a, b;根据函数零点与方程的根的关系,可得 f(x)( x a)(x b)的零点就是 a, b,即函数图象与 x 轴交点的横坐标;观察 f(x)( x a)(x b)的图象,可得其与 x 轴的两个交点分别在区间(,1)与(0,1)上,又由ab,可得 b1,0 a1.对函数 g(x) ax b,由 0a1 可得其是减函数,又由 b1 可得其与 y 轴交点的坐标在 x 轴的下方;分析

5、选项可得 A 符合这两点,B,C,D 均不满足故选:A.- 4 -7.若函数 ,则 ( )A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】由分段函数的解析式,先计算 ,再计算 ,结合指数、对数的运算性质可得所求值【详解】 , 故选:B【点睛】(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现 f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围8.函数 在1,2上的最大值比最小值大 ,则 (

6、 )A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】对 a 分类讨论,根据指数函数的单调性布列方程,解之即可.【详解】当 a1 时,函数 f(x)=a x(a0 且 a1)在区间1,2上是增函数,由题意可得 a 2a= ,a= 当 0a1 时,函数 f(x)=a x(a0 且 a1)在区间1,2上是减函数,由题意可得 aa 2= ,解得 a= 综上,a 的值为 或故选:C- 5 -【点睛】本题主要考查指数函数的单调性和最值,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题9.设 ,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】借助指数函数与对数函数的图象与性质问题得解.【详解】 =0,

7、 =1, =1, ,故选:D【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小10.如果关于 的方程 的两根是 ,则 的值是( )A. B. C. 35 D. 【答案】D【解析】【分析】由题意知,lg,lg 是一元二次方程 x2+(lg7+lg5)x+lg7lg5=0 的两根,依据根与系数的关系得 lg+lg=(lg7+lg5) ,再根据对数的运算性质可求得 的值

8、【详解】方程 lg2x+(lg7+lg5)lgx+lg7lg5=0 的两根为 、,lg,lg 是一元二次方程 x2+(lg7+lg5)x+lg7lg5=0 的两根,lg+lg=(lg7+lg5) ,lg=lg35, 的值是 故选:D- 6 -【点睛】本题是一元二次方程与对数运算交汇的题目,考查学生整体处理问题的能力,本题容易出现的错误是,误认为方程 lg2x+(lg7+lg5)lgx+lg7lg5=0 的两根为 、,则=lg7lg5,导致错选 A11.已知函数 y=f( x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(2 a-1) f(1- a) ,则实数 a的取值范围是( )A. B. C. (

9、0,2) D. (0,+)【答案】B【解析】【分析】利用函数 y=f(x)在定义域(1,1)上是减函数,将 f(2a1)f(1a)转化为:2a11a 求解【详解】函数 y=f(x)在定义域(1,1)上是减函数,则有: ,解得: ,故选:B【点睛】本题考查了函数的性质的运用,利用了减函数这性质,注意定义域的范围,属于基础题12.已知定义在 上的函数 为增函数,且 ,则 等于( )A. B. C. 或 D. 【答案】A【解析】【分析】设 f(1)=t,由题意知 t0,令 x=1,代入 f(x)ff(x)+ =1,得 f(t+1)= ,令x=t+1 代入 f(x)ff(x)+ =1,得 f( + )

10、=t=f(1) ,由在(0,+)上的函数f(x)为单调函数,得 t2t1=0,由此能求出 f(1) 【详解】设 f(1)=t,由题意知 t0,- 7 -令 x=1,代入 f(x)ff(x)+ =1,得 f(1)ff(1)+1=1,即 f(t+1)= ,令 x=t+1 代入 f(x)ff(x)+ =1 得,f(t+1)ff(t+1)+ =1,f( + )=t=f(1) ,在(0,+)上的函数 f(x)为单调函数, + =1,化简得 t2t1=0,解得,t= 或 t= 定义在(0,+)上的函数 f(x)为增函数,且 f(x)f(f(x)+ )=1,f(1)= 故选:A【点睛】本题考查函数值的求法,

11、考查函数的单调性、换元法等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)13.若函数 为奇函数,则 _.【答案】1【解析】【分析】利用奇函数定义建立 a 的方程即可.【详解】函数 为奇函数,即 ,即 a=1故答案为:1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用,解题关键利用好定义当中蕴含的恒成立等式,属于基础题.14.若 ,则实数 的取值范围是_.- 8 -【答案】【解析】【分析】利用对数函数的单调性求出实数 m 的取值范围【详解】由 可得故答案为:【点睛】本题考查利用对数函数的单调性解对数不等式属于基础题15.不论 为

12、何值,函数 的图象一定经过点 P,则点 P 的坐标为_.【答案】 (2,2)【解析】【分析】利用 a0=1(a0) ,取 x=2,得 f(2)=2,即可求函数 f(x)的图象所过的定点【详解】当 x=2 时,f(1)=a 22 +1=a0+1=2,函数 的图象一定经过定点( 2,2) 故答案为:(2,2) 【点睛】本题考查了含有参数的函数过定点的问题,自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点16.已知定义在 上的偶函数 在区间 上是增函数.若存在实数 ,对任意的 ,都有 ,则正整数 的最大值为_【答案】5【解析】【分析】根据题意 等价于|x+t|1+ |,即 t1 + ,即.【详解】由题意,

13、f(x)在区间0,+)上是增函数,又是偶函数,f(x+t)f(1+ ) ,又- 9 -可得|x+t|1+ |=1+ ,即 x+t1+ ,t1 + ,即又 在 上单调递减,记 1 + 在 上递增,在 上递减若存在实数 ,对任意的 ,都有 ,则 ,即 有解经检验:,正整数 的最大值为 5故答案为:5【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题与存在性问题,利用导数研究函数的单调性,体现了转化的数学思想,考查学生的运算能力,综合性较强,难度较大三、解答题17.求不等式 中 的取值范围。【答案】见解析【解析】【分析】根据不等式需要对 a 进行讨论,分两类:a1 时和 0a1 时,再分别利用指数函数的单调性列

14、出不等式求解,最后要把结果分开表示【详解】由 a2x7 a 4x1 知需要进行分类,具体情况如下:当 a1 时,y=a x在定义域上递增,2x74x1,解得 x3;- 10 -当 0a1 时,y=a x在定义域上递减,2x74x1,解得 x3;综上得,当 a1 时,x 的取值范围为(,3) ;当 0a1 时,x 的取值范围为(3,+) 【点睛】本题考查了利用指数函数的单调性求有关指数不等式的解,关键是根据底数判断函数的单调性,考查了分类讨论思想18.计算下列各式的值:(1) ; (2) 。【答案】 (1) ;(2)【解析】【分析】(1)利用有理指数幂的运算法则求解即可;(2)利用对数运算法则化

15、简求解即可【详解】 (1) ;(2)【点睛】本题考查有理指数幂以及对数运算法则的应用,考查计算能力19.已知函数 (1)求函数 的定义域;(2)判断函数 的奇偶性。【答案】 (1)x|1x1(2)偶函数【解析】【分析】(1)要求函数 f(x)+g(x)的定义域,我们可根据让函数解析式有意义的原则,构造不等式组,解不等式组即可得到函数 f(x)+g(x)的定义域;(2)要判断 h(x)=f(x)+g(x)的奇偶性,我们根据奇偶性的定义,先判断其定义域是- 11 -否关于原点对称,然后再判断 f(x)+g(x)与 f(x)+g(x)的关系,结合奇偶性的定义进行判断;【详解】 (1)f(x)+g(x

16、)= + 若要上式有意义,则 ,即1x1所以所求定义域为x|1x1(2)记 h(x)=f(x)+g(x) ,定义域为x|1x1则 h(x)=f(x)+g(x)=log2(x+1)+log 2(1+x)=h(x) 所以 h(x)=f(x)+g(x)是偶函数【点睛】本小题主要考查函数的定义域、函数奇偶等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想属于基础题20.已知命题 p: ,命题 q:|2a-1|3(1)若命题 p 是真命题,求实数 a 的取值范围;(2)若 p q 是真命题, p q 是假命题,求实数 a 的取值范围。【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据命题为真命题,分类讨论

17、a 是否为 0;再根据开口及判别式即可求得 a 的取值范围。(2)【详解】根据复合命题真假,讨论 p 真 q 假,p 假 q 真两种情况下 a 的取值范围。(1)命题 是真命题时, 在 范围内恒成立,当 时,有 恒成立; 当 时,有 ,解得: ; 的取值范围为: .(2) 是真命题, 是假命题, . 一真一假, - 12 -由 为真时得: ,故有: 真 假时,有 得: ; 假 真时,有 得: ; 的取值范围为: .【点睛】本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用,求参数的取值范围,属于基础题。21.对于函数(1)探索函数 的单调性;(2)是否存在实数 ,使函数 为奇函数?【答案】 (1) 在

18、 上是增函数(2) 时, 为奇函数【解析】试题分析:证明:()解:(1)函数 的定义域是 R, 1 分设 ,则 ,4 分由 , ,知 ,得 ,所以 .故 在 上是增函数. 6 分(2)存在。因为函数 的定义域是 R,故要使 为奇函数,必有 ,解得 . 8分下面证明当 时, 为奇函数。, 11 分为奇函数。由上可知,存在实数 ,使 为奇函数。 12 分- 13 -考点:函数的单调性和奇偶性点评:主要是考查了函数的性质的综合运用,属于中档题。22.已知函数 , .(1)若关于 的不等式 的解集为 ,当 时,求 的最小值;(2)若对任意的 , ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围。【答案】(1) (

19、2)【解析】【分析】(1)先求出 a=5,再构造基本不等式,即可求出最小值;(2)先根据复合函数的单调性,求出函数 f(x) max=1,则可得 x2ax+70 在2,4上恒成立,再分类讨论,即可求出 a 的范围【详解】 (1)由题意可知 , , 又 , , ,即 的最小值为 ,取“ ”时 .(2) 时, , 在 上恒成立. 记 ( ) ,当 时, ,由 , .当 时, ,由 , .- 14 -当 时, ,由 , .综上所述, 的取值范围是 .【点睛】二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到;常见题型有:(1)轴固定区间也固定;(2)轴动(轴含参数) ,区间固定;(3)轴固定,区间动(区间含参数). 找最值的关键是:(1)图象的开口方向;(2)对称轴与区间的位置关系;(3)结合图象及单调性确定函数最值.

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