1、1一元二次方程及其应用一.选择题1.（2018江苏淮安3 分）若关于 x的一元二次方程 x22xk+1=0 有两个相等的实数根，则 k的值是（ ）A1 B0 C1 D2【分析】根据判别式的意义得到=（2） 24（k+1）=0，然后解一次方程即可【解答】解：根据题意得=（2） 24（k+1）=0，解得 k=0故选：B【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根2.（2018江苏苏州3 分）如图，矩形 ABCD的顶点 A，B 在 x轴的正半轴上
2、，反比例函数 y= 在第一象限内的图象经过点 D，交 BC于点 E若 AB=4，CE=2BE，tanAOD= ，则 k的值为（ ）A3 B2 C6 D12【分析】由 tanAOD= = 可设 AD=3A.OA=4a，在表示出点 D.E的坐标，由反比例函数经过点 D.E列出关于 a的方程，解之求得 a的值即可得出答案【解答】解：tanAOD= = ，设 AD=3A.OA=4a，则 BC=AD=3a，点 D坐标为（4a，3a） ，CE=2BE，BE= BC=a，AB=4，点 E（4+4a，a） ，反比例函数 y= 经过点 D.E，k=12a 2=（4+4a）a，解得：a= 或 a=0（舍） ，则
3、k=12 =3，故选：A【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点 D.E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数 k23.（2018内蒙古包头市3 分）已知关于 x的一元二次方程 x2+2x+m2=0 有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m的和为（ ）A6 B5 C4 D3【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出 m3，由 m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出 m的值，将其相加即可得出结论【解答】解：a=1，b=2，c=m2，关于 x的一元二次方程 x2+2x+m2=0 有实数根=b 24
4、ac=2 24（m2）=124m0，m3m 为正整数，且该方程的根都是整数，m=2 或 32+3=5故选：B【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当0 时，方程有实数根”是解题的关键4.（2018上海4 分）下列对一元二次方程 x2+x3=0 根的情况的判断，正确的是（ ）A有两个不相等实数根 B有两个相等实数根C有且只有一个实数根 D没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=130，进而即可得出方程 x2+x3=0 有两个不相等的实数根【解答】解：a=1，b=1，c=3，=b 24ac=1 24（1）（3）=130，方程 x2+x3=0 有两个不相等的实
5、数根故选：A【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键5. （2018乌鲁木齐4 分）宾馆有 50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为 180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加 10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出 20元的费用当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为 10890元？设房价定为 x元则有（ ）A （180+x20） （50 ）=10890 B （x20） （50 ）=10890Cx（50 ）5020=10890 D （x+180） （50 ）5020=10890【分析】设房价定为 x元，根据利润=房价的
6、净利润入住的房间数可得【解答】解：设房价定为 x元，根据题意，得（x20） （50 ）=108903故选：B【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系6. （2018嘉兴3 分）欧几里得的原本记载.形如 的方程的图解法是：画 ，使, , ,再在斜边 上截取 .则该方程的一个正根是（）A. 的长. B. 的长 C. 的长 D. 的长【答案】B【解析】 【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出 AB的长，进而求得 AD的长,即可发现结论.【解答】用求根公式求得： AD的长就是方程的正根.故选 B.【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等
7、，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.6. （2018贵州安顺3 分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】试题分析： ， ，即 ， ，等腰三角形的三边是 2，2，5，2+25，不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，4三角形的周长是 2+5+5=12；即等腰三角形的周长是 12故选 A考点：1解一元二次方程-因式分解法；2三角形三边关系；3等腰三角形的性质7. （2018广西桂林3 分）已知关于 x的一元二次方程 有两个相等的实根，则 k的值为（
8、）A. B. C. 2或 3 D. 或【答案】A【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于 k的方程，解之即可得出结论详解：方程 有两个相等的实根，=k 2-423=k2-24=0，解得：k= 故选：A点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当=0 时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键8. （2018广西南宁3 分）某种植基地 2016年蔬菜产量为 80吨，预计 2018年蔬菜产量达到 100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ）A80（1+x） 2=100 B100（1x） 2=80 C80（1+2x）=100 D80（
9、1+x 2）=100【分析】利用增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，设平均每次增长的百分率为 x，根据“从 80吨增加到 100吨” ，即可得出方程【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为 x，根据 2016年蔬菜产量为 80吨，则 2017年蔬菜产量为 80（1+x）吨，2018 年蔬菜产量为 80（1+x） （1+x）吨，预计 2018年蔬菜产量达到 100吨，即：80（1+x） （1+x）=100 或 80（1+x） 2=100故选：A【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题） 解题的关键在于理清题目的含义，找到 2017年和 2018年的产量的代数式，根据条件找准等量
10、关系式，列出方程9. （2018黑龙江龙东地区3 分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排 15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）A4 B5 C6 D7【分析】设共有 x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x1）场球，第二个球队和其他球队打（x2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+x1）场球，然后根据计划安排 15场比赛即可列出方程求解5【解答】解：设共有 x个班级参赛，根据题意得：=15，解得：x 1=6，x 2=5（不合题意，舍去） ，则共有 6个班级参赛故选：C【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方
11、程此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解10.（2018福建 A卷4 分）已知关于 x的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（a+1）=0 有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ）A1 一定不是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根B0 一定不是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根C1 和1 都是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根D1 和1 不都是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出 b=a+1或 b=（a+1） ，当 b=a+1时，1 是方程 x2+bx+a=0的根；当 b=（a+1）时，1 是方程 x2+bx+a=0的根再结合
12、 a+1（a+1） ，可得出 1和1 不都是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根【解答】解：关于 x的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（a+1）=0 有两个相等的实数根， ，b=a+1 或 b=（a+1） 当 b=a+1时，有 ab+1=0，此时1 是方程 x2+bx+a=0的根；当 b=（a+1）时，有 a+b+1=0，此时 1是方程 x2+bx+a=0的根a+10，a+1（a+1） ，1 和1 不都是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根故选：D【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当=0 时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键11.（2018福建 B卷4 分
13、）已知关于 x的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（a+1）=0 有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ）A1 一定不是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根B0 一定不是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根C1 和1 都是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根6D1 和1 不都是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出 b=a+1或 b=（a+1） ，当 b=a+1时，1 是方程 x2+bx+a=0的根；当 b=（a+1）时，1 是方程 x2+bx+a=0的根再结合 a+1（a+1） ，可得出 1和1 不都是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根
14、【解答】解：关于 x的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（a+1）=0 有两个相等的实数根， ，b=a+1 或 b=（a+1） 当 b=a+1时，有 ab+1=0，此时1 是方程 x2+bx+a=0的根；当 b=（a+1）时，有 a+b+1=0，此时 1是方程 x2+bx+a=0的根a+10，a+1（a+1） ，1 和1 不都是关于 x的方程 x2+bx+a=0的根故选：D【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当=0 时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键12.（2018广东3 分）关于 x的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围是
15、（ ）Am Bm Cm Dm【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 m的不等式，求出 m的取值范围即可【解答】解：关于 x的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不相等的实数根，=b 24ac=（3） 241m0，m 故选：A【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（ 3）0 方程没有实数根1 （ 2018广 西 北 海 3分 ） 某 种 植 基 地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量 的 年 平 均 增 长 率 .设 蔬 菜 产 量 的
16、年 平 均 增 长 率 为 ，则可列方程为A. 80(1 + ): = 100 B. 100(1 ): = 807C. 80(1 + 2 ) = 100 D. 80(1 + : ) = 100【答案】 A【考点】由实际问题抽象出一元二次方程8【 解 析 】 由 题 意 知 ， 蔬 菜 产 量 的 年 平 均 增 长 率 为 ， 根 据 2016 年 蔬 菜 产 量 为 80 吨 ， 则 2017 年 蔬 菜 产 量 为 80(1 + )吨，2018 年 蔬 菜 产 量 为 80(1 + ) (1 + )吨 . 预 计 2018 年 蔬 菜 产 量 达 到 100 吨 ， 即 80(1 + )(
17、1 + ) = 100，即8 0(1 + ): = 100.故选 A.【 点 评 】 此 题 考 查 了 一 元 二 次 方 程 的 应 用 (增 长 率 问 题 ).解 题 的 关 键 是 在 于 理清 题 目 的 意 思 ， 找 到 2017 年 和 2018 年 的 产 量 的 代 数 式 ， 根 据 条 件 找 出 等量 关 系 式 ， 列 出 方 程 .14.（2018广西贵港3 分）已知 ， 是一元二次方程 x2+x2=0 的两个实数根，则+ 的值是（ ）A3 B1 C1 D3【分析】据根与系数的关系 +=1，=2，求出 + 和 的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案【解答】解
18、：， 是方程 x2+x2=0 的两个实数根，+=1，=2，+=12=3，故选：D【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键15.（2018贵州铜仁4 分）关于 x的一元二次方程 x24x+3=0 的解为 （ ）Ax 1=1，x 2=3 Bx 1=1，x 2=3 Cx 1=1，x 2=3 Dx 1=1，x 2=3【分析】利用因式分解法求出已知方程的解【解答】解：x 24x+3=0，分解因式得：（x1） （x3）=0，解得：x 1=1，x 2=3，故选：C16.（2018贵州遵义3 分）已知 x1，x 2是关于 x的方程 x2+bx3=0 的两根，且满足x1+
19、x23x 1x2=5，那么 b的值为（ ）A4 B4 C3 D3【分析】直接利用根与系数的关系得出 x1+x2=b，x 1x2=3，进而求出答案9【解答】解：x 1，x 2是关于 x的方程 x2+bx3=0 的两根，x 1+x2=b，x1x2=3，则 x1+x23x 1x2=5，b3（3）=5，解得：b=4故选：A16.（2018 年湖南省娄底市）关于 x的一元二次方程 x2（k+3）x+k=0 的根的情况是（ ）A有两不相等实数根 B有两相等实数根C无实数根 D不能确定【分析】先计算判别式得到=（k+3） 24k=（k+1） 2+8，再利用非负数的性质得到0，然后可判断方程根的情况【解答】解
20、：=（k+3） 24k=k 2+2k+9=（k+1） 2+8，（k+1） 20，（k+1） 2+80，即0，所以方程有两个不相等的实数根故选：A【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根17.（2018 湖南湘西州 4.00分）若关于 x的一元二次方程 x22x+m=0 有一个解为 x=1，则另一个解为（ ）A1 B3 C3 D4【分析】设方程的另一个解为 x1，根据两根之和等于 ，即可得出关于 x1的一元一次方程，解之即可得出结论【解答
21、】解：设方程的另一个解为 x1，根据题意得：1+x 1=2，解得：x 1=3故选：C【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于 、两10根之积等于 是解题的关键18.（2018上海4 分）下列对一元二次方程 x2+x3=0 根的情况的判断，正确的是（ ）A有两个不相等实数根 B有两个相等实数根C有且只有一个实数根 D没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=130，进而即可得出方程x2+x3=0 有两个不相等的实数根【解答】解：a=1，b=1，c=3，=b 24ac=1 24（1）（3）=130，方程 x2+x3=0 有两个不相等的实数根故选：A【点
22、评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键19. （2018乌鲁木齐4 分）宾馆有 50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为 180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加 10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出 20元的费用当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为 x元则有（ ）A （180+x20） （50 ）=10890 B （x20） （50 ）=10890Cx（50 ）5020=10890 D （x+180） （50 ）5020=10890【分析】设房价定为 x元，根据利润=房价的净利润入住的房间
23、数可得【解答】解：设房价定为 x元，根据题意，得（x20） （50 ）=10890故选：B【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系二.填空题1. （2018湖南郴州3 分）已知关于 x的一元二次方程 x2+kx6=0 有一个根为3，则方程的另一个根为 2 【分析】根据根与系数的关系得出 a+（3）=k，3a=6，求出即可【解答】解：设方程的另一个根为 a，则根据根与系数的关系得：a+（3）=k，3a=6，11解得：a=2，故答案为：2【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键2. （2018湖南
24、怀化4 分）关于 x的一元二次方程 x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 1 【分析】由于关于 x的一元二次方程 x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为 0，据此列出关于 m的方程，解答即可【解答】解：关于 x的一元二次方程 x2+2x+m=0有两个相等的实数根，=0，2 24m=0，m=1，故答案为：1【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得=0，此题难度不大3.（2018江苏徐州3 分）若 x1.x2为方程 x2+x1=0 的两个实数根，则 x1+x2= 1 【分析】直接根据根与系数的关系求解【解答】解：根
25、据题意得 x1+x2=1故答案为1【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 4.（2018江苏淮安3 分）一元二次方程 x2x=0 的根是 x 1=0，x 2=1 【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0转化为两个一元一次方程来求解【解答】解：方程变形得：x（x1）=0，可得 x=0或 x1=0，解得：x 1=0，x 2=1故答案为：x 1=0，x 2=1【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键125.（2018江苏苏州3 分）若
26、关于 x的一元二次方程 x2+mx+2n=0有一个根是 2，则 m+n= 2 【分析】根据一元二次方程的解的定义把 x=2代入 x2+mx+2n=0得到 4+2m+2n=0得n+m=2，然后利用整体代入的方法进行计算【解答】解：2（n0）是关于 x的一元二次方程 x2+mx+2n=0的一个根，4+2m+2n=0，n+m=2，故答案为：2【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根6.（2018山东烟台市3 分）已知关于 x的一元二次方程 x24
27、x+m1=0 的实数根 x1，x 2，满足 3x1x2x 1x 22，则 m的取值范围是 3m5 【分析】根据根的判别式0、根与系数的关系列出关于 m的不等式组，通过解该不等式组，求得 m的取值范围【解答】解：依题意得： ，解得 3m5故答案是：3m5【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于 m的不等式，注意：一元二次方程 ax2+bx+c=0（A.B.c 为常数，a0）当 b24ac0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当 b24ac=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根，当 b24ac0 时，一元二次方程没有实数根7.（2018山东聊城市3 分）已知关
28、于 x的方程（k1）x 22kx+k3=0 有两个相等的实根，则 k的值是 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式=0，即可得出关于 k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出 k的值【解答】解：关于 x的方程（k1）x 22kx+k3=0 有两个相等的实根， ，解得：k= 13故答案为： 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当=0 时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键8. （2018 达州3 分）已知： m22m1=0，n 2+2n1=0 且 mn1，则 的值为 【分析】将 n2+2n1=0 变形为 1=0，据此可得 m， 是方程 x22x1=0 的两根，由韦达
29、定理可得 m+ =2，代入 =m+1+ 可得【解答】解：由 n2+2n1=0 可知 n01+ =0 1=0，又 m22m1=0，且 mn1，即 m m， 是方程 x22x1=0 的两根m+ =2 =m+1+ =2+1=3，故答案为：3【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出 m， 是方程x22x1=0 的两根及韦达定理9.（2018资阳3 分）已知关于 x的一元二次方程 mx2+5x+m22m=0 有一个根为 0，则 m= 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于 m的方程，通过解关于 m的方程求得 m的值即可【解答】解：关于 x的一元二次方程
30、mx2+5x+m22m=0 有一个根为 0，m 22m=0 且 m0，解得，m=2故答案是：2【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的解的定义解答该题时需注意二14次项系数 a0 这一条件11.（2018贵州黔西南州3 分）三角形的两边长分别为 3和 6，第三边的长是方程x26x+8=0 的解，则此三角形周长是 13 【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2 时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4 时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可【解答】解：x 26x+8=0，（x2） （x4）=0，x2=0，x4=0，x1=2，x 2=4，当 x=2时，2+36，不符合
31、三角形的三边关系定理，所以 x=2舍去，当 x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是 3+6+4=13，故答案为：13【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中12.(2018湖南省邵阳市)（3 分）已知关于 x的方程 x2+3xm=0 的一个解为3，则它的另一个解是 0 【分析】设方程的另一个解是 n，根据根与系数的关系可得出关于 n的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解【解答】解：设方程的另一个解是 n，根据题意得：3+n=3，解得：n=0故答案为：0【点评】本题考
32、查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于 、两根之积等于 是解题的关键13.2018湖南长沙 3.00分）已知关于 x方程 x23x+a=0 有一个根为 1，则方程的另一个根为 2 【分析】设方程的另一个根为 m，根据两根之和等于 ，即可得出关于 m的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设方程的另一个根为 m，根据题意得：1+m=3，解得：m=2故答案为：215【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于 是解题的关键14. （2018 湖南张家界 3.00分）关于 x的一元二次方程 x2kx+1=0 有两个相等的实数根，则 k= 2 【分析】根据题意可得=0，进而
33、可得 k24=0，再解即可【解答】解：由题意得：=k 24=0，解得：k=2，故答案为：2【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根15. （2018 达州3 分）已知： m22m1=0，n 2+2n1=0 且 mn1，则 的值为 【分析】将 n2+2n1=0 变形为 1=0，据此可得 m， 是方程 x22x1=0 的两根，由韦达定理可得 m+ =2，代入 =m+1+ 可得【解答】解：由 n2+2n1=0 可知 n0
34、1+ =0 1=0，又 m22m1=0，且 mn1，即 m m， 是方程 x22x1=0 的两根m+ =2 =m+1+ =2+1=3，故答案为：3【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出 m， 是方程x22x1=0 的两根及韦达定理1616. （2018资阳3 分）已知关于 x的一元二次方程 mx2+5x+m22m=0 有一个根为 0，则 m= 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于 m的方程，通过解关于 m的方程求得 m的值即可【解答】解：关于 x的一元二次方程 mx2+5x+m22m=0 有一个根为 0，m 22m=0 且 m0，解得，m=
35、2故答案是：2【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的解的定义解答该题时需注意二次项系数 a0 这一条件三.解答题1. （2018湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市7 分）已知关于 x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m 22=0（1）若该方程有两个实数根，求 m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为 x1，x 2，且（x 1x 2） 2+m2=21，求 m的值【分析】 （1）利用判别式的意义得到=（2m+1） 24（m 22）0，然后解不等式得到 m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到 x1+x2=（2m+1） ，x 1x2=m22
36、，再利用（x 1x 2） 2+m2=21得到（2m+1） 24（m 22）+m 2=21，接着解关于 m的方程，然后利用（1）中 m的范围确定 m的值【解答】解：（1）根据题意得=（2m+1） 24（m 22）0，解得 m ，所以 m的最小整数值为2；（2）根据题意得 x1+x2=（2m+1） ，x 1x2=m22，（x 1x 2） 2+m2=21，（x 1+x2） 24x 1x2+m2=21，（2m+1） 24（m 22）+m 2=21，整理得 m2+4m12=0，解得 m1=2，m 2=6，m ，m 的值为 2【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2是一元二次方程 ax2+bx+
37、c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= 也考查了根的判别式172. （2018湖北随州7 分）己知关于 x的一元二次方程 x2+（2k+3）x+k 2=0有两个不相等的实数根 x1，x 2（1）求 k的取值范围；（2）若 + =1，求 k的值【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 k的一元一次方程，解之即可得出 k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出 x1+x2=2k3.x 1x2=k2，结合 + =1 即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论【解答】解：（1）关于 x的一元二次方程 x2+（2k+3）x+k 2=0有两个不相等的实数根，=（
38、2k+3） 24k 20，解得：k （2）x 1.x2是方程 x2+（2k+3）x+k 2=0的实数根，x 1+x2=2k3，x 1x2=k2， + = = =1，解得：k 1=3，k 2=1，经检验，k 1=3，k 2=1 都是原分式方程的根又k ，k=3【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根” ；（2）根据根与系数的关系结合 + =1 找出关于 k的分式方程3.（2018江苏苏州8 分）如图，已知抛物线 y=x24 与 x轴交于点 A，B（点 A位于点 B的左侧） ，C 为顶点，直线 y=x+m经过点 A，与 y轴交于点
39、 D（1）求线段 AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 C若新抛物线经过点 D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 CC平行于直线 AD，求新抛物线对应的函数表达式18【分析】 （1）解方程求出点 A的坐标，根据勾股定理计算即可；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x 2+bx+2，根据二次函数的性质求出点 C的坐标，根据题意求出直线 CC的解析式，代入计算即可【解答】解：（1）由 x24=0 得，x 1=2，x 2=2，点 A位于点 B的左侧，A（2，0） ，直线 y=x+m经过点 A，2+m=0，解得，m=2，点 D的坐标为（0，2） ， AD= =2
40、 ；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x 2+bx+2，y=x2+bx+2=（x+ ） 2+2 ，则点 C的坐标为（ ，2 ） ，CC平行于直线 AD，且经过 C（0，4） ，直线 CC的解析式为：y=x4，2 = 4，解得，b 1=4，b 2=6，新抛物线对应的函数表达式为：y=x 24x+2 或 y=x2+6x+2【点评】本题考查的是抛物线与 x轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与 x轴的交点的求法是解题的关键4.（2018山东东营市8 分）关于 x的方程 2x25xsinA+2=0 有两个相等的实数根，其中A 是锐角三角形 ABC的一个内角（1）求 sin
41、A的值；（2）若关于 y的方程 y210y+k 24k+29=0 的两个根恰好是ABC 的两边长，求ABC 的周长【分析】 （1）利用判别式的意义得到=25sin 2A16=0，解得 sinA= ；（2）利用判别式的意义得到 1004（k 24k+29）0，则（k2） 20，所以 k=2，把k=2代入方程后解方程得到 y1=y2=5，则ABC 是等腰三角形，且腰长为 519分两种情况：当A 是顶角时：如图，过点 B作 BDAC 于点 D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出 BC即得到ABC 的周长；当A 是底角时：如图，过点 B作 BDAC 于点 D，在 RtABD 中，
42、AB=5，利用三角函数求出 AD得到 AC的长，从而得到ABC 的周长【解答】解：（1）根据题意得=25sin 2A16=0，sin 2A= ，sinA= 或 ，A 为锐角，sinA= ；（2）由题意知，方程 y210y+k 24k+29=0 有两个实数根，则0，1004（k 24k+29）0，（k2） 20，（k2） 20，又（k2） 20，k=2，把 k=2代入方程，得 y210y+25=0，解得 y1=y2=5，ABC 是等腰三角形，且腰长为 5分两种情况：当A 是顶角时：如图，过点 B作 BDAC 于点 D，在 RtABD 中，AB=AC=5sinA= ，AD=3，BD=4DC=2，B
43、C= ABC 的周长为 ；当A 是底角时：如图，过点 B作 BDAC 于点 D，在 RtABD 中，AB=5，sinA= ，A D=DC=3，AC=6ABC 的周长为 16，综合以上讨论可知：ABC 的周长为 或 1620【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根也考查了解直角三角形5. （2018遂宁8 分）已知关于 x的一元二次方程 x22x+a=0 的两实数根 x1，x 2满足x1x2+x1+x20，求 a的取值范围【分析】由方程根
44、的个数，利用根的判别式可得到关于 a的不等式，可求得 a的取值范围，再由根与系数的关系可用 a表示出 x1x2和 x1+x2的值，代入已知条件可得到关于 a的不等式，则可求得 a的取值范围【解答】解：该一元二次方程有两个实数根，=（2） 241a=44a0，解得：a1，由韦达定理可得 x1x2=a，x 1+x2=2，x 1x2+x1+x20，a+20，解得：a2，2a1【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键6. （2018杭州10 分）设一次函数 （ 是常数， ）的图象过A（1，3） ，B（-
45、1，-1） （1）求该一次函数的表达式； （2）若点（2a+2，a 2）在该一次函数图象上，求 a的值； （3）已知点 C（x 1 ， y 1） ，D（x 2 ， y 2）在该一次函数图象上，设 m=（x 1-x2） （y 1-y2） ，判断反比例函数 的图象所在的象限，说明理由。 【答案】 （1）根据题意，得 ，解得 k=2，b=121所以 y=2x+1（2）因为点（2a+2，a 2）在函数 y=2x+1的图像上，所以 a2=4a+5解得 a=5或 a=-1（3）由题意，得 y1-y2=（2x 1+1）-（2x 2+1）=2（x 1-x2）所以 m=（x 1-x2） （y 1-y2）=2（x
46、 1-x2） 20，所以 m+10所以反比例函数 的图像位于第一、第三象限 【考点】因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的性质 【解析】 【分析】 （1）根据已知点的坐标，利用待定系数法，就可求出一次函数的解析式。（2）将已知点的坐标代入所求函数解析式，建立关于 a的方程，解方程求解即可。（3）先求出 y1-y2=2（x 1-x2） ，根据 m=（x 1-x2） （y 1-y2） ，得出 m=2（x 1-x2） 20，从而可判断 m+1的取值范围，即可求解。7. （2018杭州10 分）如图，在ABC 中，ACB=90，以点 B为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段 AB于点 D，以点 A为圆心，AD 长为半径画弧，交线段 AC于点 E，连结 CD。（1）若A=28，求ACD 的度数； （2）设 BC=a，AC=b；线段 AD的长度是方程 的一个根吗？说明理由。若线段
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