1、1中档大题满分练 7.立体几何(A 组)中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.如图,在四面体 ABCD 中,ABC=ADC=90,BC=BD= CD.(1)求证:ADBD.(2)若 AB 与平面 BCD 所成的角为 60,点 E 是 AC 的中点,求二面角 C-BD-E 的大小.【解析】(1)由已知得 BC2+BD2=CD2,所以 BDBC,又 ABBC,BDAB=B,所以 BC平面 ABD,所以 BCAD,又 CDAD,BCCD=C,所以 AD平面 BCD,所以 ADBD.(2)由(1)知,AB 与平面 BCD 所成的角为ABD,即ABD=60,设 BD=2,则 BC=2,在
2、 RtADB 中,AB=4,由(1)中 BC平面 ABD,故平面 ABC平面 ABD,在平面 ABD 内,过点 B 作 BzAB,则 Bz平面ABC,以 B 为原点,建立空间直角坐标系,则 B(0,0,0),A(4,0,0),C(0,2,0),E(2,1,0),由 xD=|BD|cos 60=1,zD=|BD|sin 60= ,得 D(1,0, ),2所以 =(2,1,0), =(1,0, ),设平面 BDE 的法向量为 m=(x,y,z),则取 z=1,解得 =- 3,=23,所以 m=(- ,2 ,1)是平面 BDE 的一个法向量,又 =(-3,0, )是平面 CBD 的一个法向量.设二面
3、角 C-BD-E 的大小为 ,易知 为锐角,则 cos =|cos |= = = ,12所以 =60,即二面角 C-BD-E 的大小为 60.2.如图,在四棱锥 A-EFCB 中,AEF 为等边三角形,平面 AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O 为 EF 的中点.(1)求二面角 F-AE-B 的余弦值.(2)若点 M 为线段 AC 上异于点 A 的一点,BEOM,求 a 的值.【解析】(1)因为AEF 是等边三角形,O 为 EF 的中点,所以 AOEF,又因为平面 AEF平面 EFCB,平面 AEF平面 EFCB=EF,AO平面 AEF,所以 AO平面
4、EFCB,取 BC 的中点 G,连接 OG,由题设知四边形 EFCB 是等腰梯形,所以 OGEF,由 AO平面 EFCB,又 GO平面 EFCB,所以 AOGO,3建立如图所示空间直角坐标系,则 E(a,0,0),A(0,0, a),B(2, (2-a),0), =(-a,0, a), =(a-2, (a-2),0),设平面 AEB 的法向量为 n=(x,y,z),则 即令 z=1,则 x= ,y=-1,于是 n=( ,-1,1),又平面 AEF 的一个法向量为 p=(0,1,0),设二面角 F-AE-B 大小为 ,所以 cos =cos= =- .|(2)由(1)知 AO平面 EFCB,又 BE平面 EFCB,所以 AOBE,又 OMBE,AOOM=O,所以 BE平面 AOC,所以 BEOC,即 =0,因为 =(a-2, (a-2),0),=(-2, (2-a),0),所以 =-2(a-2)-3(a-2)2=0,且 0a2,故 a= .43
