1、1专题能力提升练 十二 用空间向量的方法解立体几何问题(45分钟 80 分)一、选择题(每小题 5分,共 30分)1.(2017全国卷)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为 ( )A. B. C. D.32 155【解析】选 C.补成四棱柱 ABCD -A1B1C1D1,如图所示,连接 BD,DC1,则所求角为BC 1D,因 BC1= ,BD= = ,22+1-22160C1D=AB1= ,因此,cosBC 1D= = .1052.在正四棱柱 ABCD -A1B1C1D1中,AB=2,BB 1=4,则 B
2、B1与平面 ACD1所成角 的正弦值为 ( )A. B. C. D.13【解题导引】建立空间直角坐标系.求出平面 ACD1的法向量为 n,利用sin =|cos|= 即可得出.【解析】选 A.如图所示,建立空间直角坐标系.则2D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B(2,2,0),B1(2,2,4),=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(0,0,4).设平面 ACD1的一个法向量为 n=(x,y,z),则 解得 -2+2=0,-2+4=0,取 n=(2,2,1),则 sin =|cos|= = = .494133.在三棱柱 ABC -A1B1C1中,底
3、面是边长为 1的正三角形,侧棱 AA1底面 ABC,点 D在棱 BB1上,且 BD=1,若 AD与平面 AA1C1C所成的角为 ,则 sin 的值是( )A. B. C. D.104【解析】选 D.如图,建立空间直角坐标系,易求点 D ,(32,12,1)平面 AA1C1C的一个法向量是 n=(1,0,0),所以 cos= = ,即 sin = .32234.如图,已知正四面体 D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R 分别为 AB,BC,CA上的点,AP=PB, = =2,分别记二面角 D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为 ,则 ( )A.= = =- ,因为直线与平面
4、所成角 的范围是 090,所以直线 CC1与平面 AB1D所成的角为 45.5.(2018海口一模)如图,AB 是O 的直径,PA 垂直于O 所在平面,点 C是圆周上不同于 A,B两点的任意一点,且 AB=2,PA=BC= ,则二面角 A -BC -P的大小为( )A.30 B.45 C.60 D.90【解析】选 C.因为 AB是O 的直径,PA 垂直于O 所在平面,点 C是圆周上不同于 A,B两点的任意一点,且 AB=2,PA=BC= ,所以 ACBC,AC= = =1,2-2 4-3以点 A为原点,在平面 ABC内过点 A作 AC的垂线为 x轴,AC 为 y轴,AP 为 z轴,建立空间直角
5、坐标系,P(0,0, ),B( ,1,0),C(0,1,0),=( ,1,- ), =(0,1,- ),3设平面 PBC的法向量 n=(x,y,z),5则取 z=1,得 n=(0, ,1),平面 ABC的法向量 m=(0,0,1),设二面角 A -BC -P的平面角为 ,则 cos = = ,所以 =60,|12所以二面角 A-BC-P的大小为 60.6.如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱长为 3,底面边长 A1C1=B1C1=1,且A 1C1B1=90,D点在棱 AA1上且 AD=2DA1,P点在棱 C1C上,则 的最小值为( )A. B.- C. D.-52 14 14 52【解
6、析】选 B.由题意,以 C点为坐标原点,CA,CB,CC 1所在直线分别为 x轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(1,0,2),B1(0,1,3),设 P(0,0,z),其中 0z3,6则 =(1,0,2-z),=(0,1,3-z),所以 =0+0+(2-z)(3-z)= - ,14故当 z= 时, 取得最小值 - .52 14二、填空题(每小题 5分,共 10分)7.(2018西安一模)正方体 ABCD -A1B1C1D1的棱长为 1,MN是正方体内切球的直径,点 P为正方体表面上的动点,则 的最大值为_. 【解析】连接 PO,可得 =( + )( + )= + ( +
7、 )+ = - ,当| |取得最大值 时, 取得最大值为 - = .14 ( 32)21412答案:128.设二面角 -CD- 的大小为 45,A点在平面 内,B 点在 CD上,且ABC=45,则 AB与平面 所成角的大小为_. 【解析】如图,作 AE平面 于点 E,在平面 内过 E作 EFCD 于点 F,连接 AF,因为 AECD,AEEF=E,所以 CD平面 AEF,所以 AFCD,所以AFE 为二面角 -CD- 的平面角,7所以AFE=45,因为ABC=45,所以BAF=45.连接 BE,则ABE 为 AB与平面 所成的角.设 AE=m,则 EF=m,AF= m,BF= m,AB=2m,
8、所以 sinABE= = ,12又因为ABE 为锐角,所以ABE=30.答案 30三、解答题(共 40分)9.(2018全国卷)如图,四边形 ABCD为正方形,E,F 分别为 AD,BC的中点,以 DF为折痕把DFC 折起,使点 C到达点 P的位置,且 PFBF.(1)证明:平面 PEF平面 ABFD.(2)求 DP与平面 ABFD所成角的正弦值.【解析】(1)由已知可得,BFPF,BFEF,PFEF=F,所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD,所以平面 PEF平面 ABFD.(2)作 PHEF,垂足为 H.由(1)得,PH平面 ABFD.以 H为坐标原点, 的方向为 y轴正方向,设正
9、方形 ABCD的边长为 2,建立如图所示的空间直角坐标系 H-xyz.由(1)可得,DEPE.又 DP=2,DE=1,所以 PE= .又 PF=1,EF=2,故 PEPF.8可得 PH= ,EH= .32则 H(0,0,0),P ,D , = , = 为平面(0,0, 32) (1,32, 32) (0,0, 32)ABFD的一个法向量.设 DP与平面 ABFD所成角为 ,则 sin = = = .所以 DP与平面 ABFD所成角的正弦值为 .【一题多解】解答本题(2)还可以用如下的方法解决因为 PFBF,BFED,所以 PFED,又 PFPD,EDDP=D,所以 PF平面 PED,所以 PF
10、PE,设 AB=4,则 EF=4,PF=2,所以 PE=2 ,过 P作 PHEF 交 EF于 H点,由平面 PEF平面 ABFD,所以 PH平面 ABFD,连接 DH,则PDH 即为直线 DP与平面 ABFD所成的角,由 PEPF=EFPH,所以 PH= = ,2324因为 PD=4,所以 sinPDH= = ,9所以 DP与平面 ABFD所成角的正弦值为 .10.(2018漳州一模)如图,在多面体 ABCDNPM中,底面 ABCD是菱形,ABC=60,PA平面 ABCD,AB=AP=2,PMAB,PNAD,PM=PN=1.(1)求证:MNPC.(2)求平面 MNC与平面 APMB所成锐二面角
11、的余弦值.【解析】(1)作 MEPA 交 AB于 E,NFPA 交 AD于 F,连接 EF,BD,AC.由 PMAB,PNAD,易得 MENF, 所以四边形 MEFN是平行四边形,所以 MNEF,因为底面 ABCD是菱形,所以 ACBD,又易得 EFBD,所以 ACEF,所以 ACMN,因为 PA平面 ABCD,EF平面 ABCD,所以 PAEF,所以 PAMN,因为 ACPA=A,所以 MN平面 PAC,故 MNPC.(2)建立空间直角坐标系如图所示,则 C(0,1,0),M ,N ,(- 32,-12,2)A(0,-1,0),P(0,-1,2),B( ,0,0),所以 = , = , =(
12、0,0,2), =( ,1,0),设平面(- 32,-32,2)10MNC的法向量为 m=(x,y,z),则令 z=1,得 x=0,y= ,所以 m= .43设平面 APMB的法向量为 n=(x1,y1,z1),则 21=0,31+1=0,令 x1=1,得 y1=- ,z1=0,所以 n=(1,- ,0),设平面 MNC与平面 APMB所成锐二面角为 ,则 cos = = = ,|所以平面 MNC与平面 APMB所成锐二面角的余弦值为 .11.如图,在三棱柱 ABC-DEF中,AE 与 BD相交于点 O,C在平面 ABED内的射影为 O,G为 CF的中点.(1)求证:平面 ABED平面 GED
13、.(2)若 AB=BD=BE=EF=2,求二面角 A-CE-B的余弦值.【解析】(1)取 DE中点 M,连接 OM,在三角形 BDE中,OMBE,OM= BE.又因为 G为 CF中点,12所以 CGBE,CG= BE.所以 CGOM,CG=OM.12所以四边形 OMGC为平行四边形.11所以 MGOC.因为 C在平面 ABED内的射影为 O,所以 OC平面 ABED.所以 GM平面 ABED.又因为 GM平面 DEG,所以平面 ABED平面 GED.(2)因为 CO平面 ABED,所以 COAO,COOB,又因为 AB=BE,所以平行四边形 ABED为菱形,所以 OBAO,以 O为坐标原点,
14、, , 的方向分别为 x轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,于是 A( ,0,0),B(0,1,0),E(- ,0,0),C(0,0, ),向量 =(- ,-1,0),向量3=(0,-1, ), 设面 BCE的一个法向量为 m=(x1,y1,z1), 即不妨令 z1=1,则 y1= ,x1=-1,取 m=(-1, ,1).又 n=(0,1,0)为平面 ACE的一个法向量.设二面角 A-CE-B的大小为 ,显然 为锐角,于是 cos =|cos|= = = ,| 35 155故二面角 A-CE-B的余弦值为 .15512.如图,在四棱锥 P-ABCD中,PDAB,PDBC,
15、AB= AD,BAD=30.(1)证明:ADPB.12(2)若 PD=AD,BC=CD,BCD=60,求二面角 A-PB-C的余弦值.【解析】(1)由 PDAB,PDBC,ABBC=B,得 PD平面 ABCD,从而 PDAD.又在ABD 中,由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2ADABcos 30= AD2,13则有 AD2+BD2=AB2,所以ADB=90,即 ADDB,又 PDDB=D,则有 AD平面 PDB,故 ADPB.(2)以 D为原点建立如图所示空间直角坐标系,设 AD= ,则 A( ,0,0),P(0,0, ),B(0,1,0),C ,3设平面 APB的一个法向量为 m=(x
16、,y,z),则 令 x=1,则 y= ,z=1,故 m=(1, ,1),设平面 PBC的一个法向量为 n=(x,y,z),则有 令 x=1,则有 y=- ,z=-1,故 n=(1,- ,-1),3 3所以 cos= = =- ,| -35535由图知,二面角 A-PB-C的余弦值为- .35(建议用时:50 分钟)1.(2018全国卷)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA 1= ,则异面直线 AD1与 DB1所13成角的余弦值为 ( )A. B. C. D.15【解析】选 C.以 D为坐标原点,DA,DC,DD 1所在直线为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0
17、,0),A(1,0,0),D1(0,0, ),B1(1,1, ),所以 =(-1,0, ),=(1,1, ),设异面直线 AD1与 DB1所成角为 ,则 cos =|cos|= = .| -1+31+3 1+1+3|【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决.如图连接 A1D交 AD1于点 E.取 A1B1中点 F,连接 EF,则 EF B1D,连接 D1F,在D 1FE中,D 1EF为异面直线 AD1与 DB112的夹角.由已知 EF= DB1= = ,12 1212+12+( 3)2D1E= AD1=1,D1F= = ,12所以 cosD 1EF= = .2+21-12212.在底面为正三
18、角形的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A 1B1C1中,AB=2,AA 1=3,点 D为棱 BC的中点,点 E为 A1C上的点,且满足 A1E=mEC(mR),当二面角 E-AD-C的余弦值为 时,实数 m的值为 ( )14A.1 B.2 C. D.312【解析】选 A.在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,取 AC中点 O,以 O为坐标原点,以 OB,OC所在直线为 x,y轴,以过点 O且垂直于 y轴的直线为 z轴,建立如图所示空间直角坐标系,因为 AB=2,AA1=3,点 D为棱 BC的中点,所以 A(0,-1,0),C(0,1,0),D ,A1(0,-1,3).(32,12,0)又点
19、 E为 A1C上的点,且满足 A1E=mEC(mR),所以 =m ,设 E(x,y,z),则 =(x,y+1,z-3),=(-x,1-y,-z),所以(x,y+1,z-3)=(-mx,m-my,-mz),得 x=0,y= ,z= .所以 E-1+1 3+1,则 = , = ,(32,32,0) (0, 2+1, 3+1)设平面 AED的一个法向量为 m=(a,b,c),15由取 a=- ,得 m= .平面 ADC的一个法向量 n=(0,0,1),所以|cos|= = ,解得:m=1.【加固训练】在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E为 BB1的中点,则平面 A1ED与平面 ABCD夹角
20、的余弦值为 ( )A. B. C. D.12 23【解析】选 B.以 A为原点,AB,AD,AA 1所在直线分别为 x轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为 1,则 A1(0,0,1),E ,D(0,1,0),所以 =(0,1,-1), = .(1,0,-12)设平面 A1ED的一个法向量为 n1=(1,y,z),16则有 即所以 所以 n1=(1,2,2).=2,=2,因为平面 ABCD的一个法向量为 n2=(0,0,1),所以|cos|= = ,23即平面 A1ED与平面 ABCD夹角的余弦值为 .233.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA 1底面 ABC
21、,AB=BC=AA1,ABC=90,点 E,F分别是棱 AB,BB1的中点,则直线 EF和 BC1所成的角是_. 【解析】以 B点为坐标原点,以 BC所在直线为 x轴,BA 所在直线为 y轴,BB 1所在直线为 z轴,建立空间直角坐标系.设 AB=BC=AA1=2,则 C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则 =(0,-1,1), =(2,0,2),所以 =2,所以 cos= = ,12因为异面直线所成角 的范围是 0|= ,可求得 tan = .答案:【加固训练】(2017全国卷)a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC的直角边 AC所在直线与 a,b都垂
22、直,斜边 AB以直线 AC为旋转轴旋转,有下列结论:当直线 AB与 a成 60角时,AB 与 b成 30角;当直线 AB与 a成 60角时,AB 与 b成 60角;直线 AB与 a所成角的最小值为 45;直线 AB与 a所成角的最大值为 60;其中正确的是_.(填写所有正确结论的编号) 【解析】由题意得,ACBC,不妨假设等腰直角三角形 ABC的腰长为 1,以 C为坐标原点,过点 C且垂直于平面 ABC的直线为 x轴,CB 所在直线为 y轴,CA 所在直线为 z轴,建立空间直角坐标系如图:则各点坐标分别为 A(0,0,1),C(0,0,0),因为直线 a,b都垂直于 AC,不妨设直线 a的方向
23、向量为 a=(1,0,0),直线 b的方向向量为 b=(0,1,0),因为斜边 AB以直线 AC为旋转轴旋转,19所以可设点 B的坐标为(cos ,sin ,0),则 =(cos ,sin ,-1),设直线 a与直线 AB的夹角为 ,直线 b与直线 AB的夹角为 ,则 cos =|cos |= = = ,|2cos =|cos|= = = .|12|2中,当直线 AB与 a成 60角时,有 cos = = ,|2 12解得|cos |= ,所以|sin |= ,此时 AB与 b的夹角 的余弦值为cos = = ,所以 AB与 b的夹角为 60.|2 12故错误.中由分析得 AB与 b的夹角为
24、60,故正确.中直线 AB与 a所成角的余弦值为 cos = ,|2当 cos 越大时,角 就越小,而 的最大值为 = ,|2即 cos 的最大值为 , 的最小值为 45,即直线 AB与 a所成角的最小值为 45,故正确.中,直线 AB与 a所成角的余弦值为 cos = ,|2当 cos 越小时,角 就越大,而 的最小值为 0,|2cos 的最小值为 0, 的最大值为 90,即直线 AB与 所成角的最大值为 90,故错误.故本题正确答案为.答案:205.如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是边长为 的正方形,PABD.(1)求证:PB=PD.(2)若 E,F分别为 PC,AB的中点,
25、EF平面 PCD,求直线 PB与平面 PCD所成角的大小.【解析】(1)连接 AC与 BD交于点 O,连接 PO,因为底面 ABCD是正方形,所以 ACBD 且 O为 BD的中点.又 PABD,PAAC=A,所以 BD平面 PAC,由于 PO平面 PAC,故 BDPO.又 BO=DO,故 PB=PD.(2)设 PD的中点为 Q,连接 AQ,EQ,则 EQ CD AF,12所以 AFEQ为平行四边形,EFAQ,因为 EF平面 PCD,所以 AQ平面 PCD,所以 AQPD,PD 的中点为 Q,21所以 AP=AD= .由 AQ平面 PCD,又可得 AQCD,又 ADCD,AQAD=A,所以 CD
26、平面 PAD,所以 CDPA,又 BDPA,BDCD=D,所以 PA平面 ABCD.由题意,AB,AP,AD 两两垂直, 以 A为坐标原点,向量 , , 的方向分别为 x轴,y 轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B( ,0,0),Q ,D(0, ,0),2P(0,0, ),= , =( ,0,- ),2为平面 PCD的一个法向量.设直线 PB与平面 PCD所成角为 ,则 sin = = ,12所以直线 PB与平面 PCD所成角为 .6【一题多解】(2)解答本题还可以用如下的方法解决:设 PD的中点为 Q,连接 AQ,EQ,则 EQ CD AF,12所以 AFEQ
27、为平行四边形,EFAQ,因为 EF平面 PCD,所以 AQ平面 PCD,22所以 AQPD,又 PD的中点为 Q,所以 AP=AD= .2同理 AQCD,又 ADCD,AQAD=A,所以 CD平面 PAD,所以 CDPA,又 BDPA,CDBD=D,所以 PA平面 ABCD.连接 AC,交 BD于点 O,连接 CQ,设 CQ的中点为 H,连接 OH,则在三角形 ACQ中,OHAQ,所以 OH平面 PCD,又在三角形 PBD中,OQBP,所以OQH 即为直线 PB与平面 PCD所成的角.又 OH= AQ= AD= ,OQ= PB=1,12 12 12所以在直角三角形 OHQ中,sinOQH= =
28、 ,12所以OQH=30,即直线 PB与平面 PCD所成的角为 30.6.如图,矩形 ABCD中,AB=6,AD=2 ,点 F是 AC上的动点.现将矩形 ABCD沿着对角线 AC折成二面角 D-AC-B,使得 DB= .30(1)求证:当 AF= 时,DFBC.(2)试求 CF的长,使得二面角 A-DF-B 的大小为 .4【解析】(1)连接 DF,BF.在矩形 ABCD中,AD=2 ,CD=6,所以 AC=4 ,CAB=30,DAC=60.在ADF 中,因为 AF= ,23所以 DF2=DA2+AF2-2DAAFcosDAC=9,因为 DF2+AF2=9+3=DA2,所以 DFAC,即 DFA
29、C.又在ABF 中,BF2=AB2+AF2-2ABAFcosCAB=21,所以在DFB 中,DF 2+FB2=32+( )2=DB 2,21所以 BFDF,又因为 ACFB=F,所以 DF平面 ABC.所以 DFBC.(2)在矩形 ABCD中,过 D作 DEAC 于 O,并延长交 AB于 E.沿着对角线 AC翻折后,由(1)可知,OE,OC,OD两两垂直,以 O为原点, 的方向为 x轴的正方向建立空间直角坐标系,则 O(0,0,0),E(1,0,0), D(0,0,3),B(3,2 ,0),因为 EO平面 ADF,3所以 =(1,0,0)为平面 ADF 的一个法向量.设平面 BDF 的法向量为
30、 n=(x,y,z),F(0,t,0),因为 =(-3,-2 ,3), =(-3,t-2 ,0),3 3由 得取 y=3,则 x=t-2 ,z=t, 所以 n=(t-2 ,3,t).3 3所以 cos = ,424即 = ,|-23|(-23)2+9+2所以 t= .所以当 CF= 时,二面角 A-DF-B 的大小是 .114 3 4(2018榆林一模)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD为平行四边形,ABD=90,EB平面 ABCD,EFAB,AB=2,EB= ,EF=1,BC= ,且 M是 BD的中点.13(1)求证:EM平面 ADF.(2)求二面角 A-FD-B的余弦值的大小.【解析】
31、(1)因为 EB平面 ABD,ABBD,故以 B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得 = , =(3,-2,0), =(0,-1, ),(32,0,- 3) 3设平面 ADF的一个法向量是 n=(x,y,z).由 得令 y=3,则 n=(2,3, ).3又因为 n=0,所以 n,又 EM平面 ADF,故 EM平面 ADF.【一题多解】取 AD的中点 N,连接 MN,NF.在平面 DAB中,M 是 BD的中点,N是 AD的中点,所以 MNAB,MN= AB,又因为 EFAB,EF= AB,所以 MNEF 且 MN=EF.所以12 12四边形 MNFE为平行四边形,所以 EMFN,25
32、又因为 FN平面 ADF,EM平面 ADF,故 EM平面 ADF.(2)由(1)可知平面 ADF的一个法向量是 n=(2,3, ).易得平面 BFD的一个法向量是 m=(0,- ,1),所以 cos= =- ,|又二面角 A-FD-B为锐角,故二面角 A-FD-B的余弦值大小为 .7.如图,在四棱锥 P-ABCD中,PA平面 ABCD,ADBC,ADCD,且 AD=CD= ,BC=2 ,PA=2.(1)取 PC中点 N,连接 DN,求证:DN平面 PAB.(2)求直线 AC与 PD所成角的余弦值.(3)在线段 PD上,是否存在一点 M,使得二面角 M-AC-D的大小为 45,如果存在,求 BM
33、与平面 MAC所成的角,如果不存在,请说明理由.【解析】取 BC的中点 E,连接 DE与 AC,相交于点 O,连接 AE,易知 ACDE,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0), P(0,-1,2),(1)PC中点 N(0,0,1),所以 =(1,0,1),设平面 PAB的法向量为 n=(a,b,c),由 =(0,0,2), =(2,0,0),令 b=1,可得:n=(0,1,0),所以 n=0,因为 DN平面 PAB,所以 DN平面 PAB.26(2) =(0,2,0), =(-1,1,-2),设 AC与 PD所成的角为 ,则 cos = = .(3)设 M(x,y,z)及 = (01),所以 M(-,-1,2(1-),=-,+1=,-2=-2,设平面 ACM的法向量为 m=(x,y,z),由 =(0,2,0), =(-,2(1-),可得 m=(2-2,0,),平面 ACD的法向量为p=(0,0,1),所以 cos=1 2+(2-2)2= = ,解得 = .223解得 M ,所以 = ,所以 m= ,(-83,23,23)设 BM与平面 MAC所成角为 ,所以 sin =|cos|= = , 所以 = .12 6
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