2019年高考数学高频考点名师揭秘与仿真测试专题34平面向量平面向量的应用理.doc

1、134 平面向量 平面向量的应用【考点讲解】1、具本目标：一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低； 2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、 解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，

2、利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算.二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题：1.垂直问题:(1)对非零向量 a与 b, .(2)若非零向量 .2.平行问题:(1)向量 a与非零向量 b共线,当且仅当存在唯一一个实数 ,使得 .(2)设 是平面向量,则向量 a与非零向量 b共线 .3.求角问题:2(1)设 ,ab是两个非零向量,夹角记为 ,则 cos .(2)若 是平面向量,则 .4.距离（长度）问题

3、:(1)设 (,)axy,则2a,即 a .(2)若 ,且 AB,则 .【答案】1. 2.(1)ab,(2) 3.(1) ,(2) .4.(1) (2) .【优秀题型展示】1. 在平面几何中的应用：已知 ABCD中， ,BC边上的高为 AD，求点 和向量 AD的坐标. 解得 1yx 点 D 坐标为（1，1） ， AD（1，2）.【答案】 AD（1，2）【变式】已知四边形 BC的三个顶点 (02)， ， (1)B， ， (3)C， ，且 2BAD，则顶点 的坐标3为 （ ）A 72， B 12， C (32)， D (13)，【答案】A【变式】已知正方形 OABC的边长为 1，点 DE、 分别为

4、 ABC、 的中点，求 cosDOE的值.【解析】以 O、 为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得2.在三角函数中的应用：已知向量 3(sin,)4ax， 设函数 ，已知在 ABC中，内角 BC、 、 的对边分别为 bc、 、 ，若 a， 2b， 6sin3B，求 （ 0,3x）的取值范围.【解析】 由正弦定理得 或 4A .因为 ab，所以 4A. 因为 + 32.OCADExy4所以 12,， ,所以 . 【答案】 3.在解析几何中的应用：（1）已知直线 x y a 与圆 x2 y24 交于 A、 B 两点，且| | |，其中 O 为坐标原点，则OA OB OA OB 实数 a

5、 的值为_【答案】2（2)椭圆 的焦点为 F ,1F2，点 P 为其上的动点，当 F1P F2为钝角时，点 P 横坐标的取值范围是 .【 解析】法一： F1（ 5,0） F2（ ,0）,设 P（3cos ,2sin ）.21PF为钝角，.5ODCBA =9cos254sin 2 =5 cos210.解得： 点 P 横坐标的取值范围是（ ）.【答案】 （ ）2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成 120 的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为 10N，则每根绳子 的拉力是 .6【答案】10N【真题分析】1.【2017 浙江，15】已知向量 ba,满足 则 的最小值是_，最大值是_【解析】

6、本题考点是向量的三角形法则与三角函数值域.由题意可设 ba,的夹角为 ，分别将 ab与ab与向量 ,，放在两个三角形中，由余弦定理可以得到，.设 ，则 ，那么有 ，因为 ，所以，可以得到 的最小值是 4，最大值是 52.【答案】4， 252. 【2015 高考安徽，文 15】 ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量 ba、 满足 aAB，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）7 a为单位向量； b为单位向量； ba；BC/； 。【答案】3.【2014 上海,文 14】已知曲线 C： ，直线 l： x=6.若对于点 A（ m， 0） ,存在 C 上的点 P 和l 上的点 Q 使得

7、 ，则 m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解 析几何中点与直线的位置关系的应用.由 知 A是P的中点，设 (,)xy，则 ，由题意 20x， 6x，解得 23【答案】 2,34.【 2014 湖南 16】在平面直角坐标系中, O为原点, 动点 D满足 C=1，则的最大值是_.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域. 【答案】A3.已知数列 na为等差数列，且满足 ，若 ，点 O为直线BC外一点，则 1207（ ）A. B. C. D. 48【答案】A4.设 O 是 ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)若 ，AO 13AB 13AC 则 BAC

8、的度数等于 .【解析】取 BC 的中点 D，连接 AD，则 2 .AB AC AD 由题意得 3 2 ， AD 为 BC 的中线且 O 为重心AO AD 又 O 为外心， ABC 为正三角形， BAC60.【答案】605.已知向量 a(sin ，cos )与 b( ，1)，其中 (0， )3 2(1)若 b，求 sin 和 cos 的值；(2)若 f( )( a b)2，求 f( )的值域【解析】(1) ，sin 1 cos 0，求得 tan .3 3又 (0， )， . 2 3sin ，cos .32 12(注：本问也可以结合 sin2 cos 2 1 或化为 2sin( )0 来求解) 3

9、(2)f( )(sin )2(cos 1) 22 sin 2cos 54sin( )5，3 3 6又 (0， )， ( ， )， sin( )1， 2 6 6 23 12 67 f( )9，即函数 f( )的值域为(7,9.DACBO96.已知 ji,是 x,y 轴正方向的单位向量，设 a= , b= ,且满足|a| b|=2.求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程.7.证明:同一平面内，互成 120的三个大小 相等的共点力的合力为零.证明：如图，用a,b,c表示这 3 个共点力，且a,b,c互成 120，模相等，按照向量的加法运算法则，有：+ + = +（ + ）=a+OD又由三角形的知识知：三角形 OBD 为等边三角形， 故 a与OD共线且模相等，所以： = ，即有：+b+c=0.8.在直角坐标系 xy中，已知点 ，点 (,)Pxy在 ABC三边围成的区域（含边界）上，且 .（1）若 23mn，求 |OP；（2）用 ,xy表示 mn，并求 的最大值.【解析】（1） ， (2,1)AC.，又 23mn.，.（2） 10即 ，两式相减得： .令 yxt，由图可知，当直线 yxt过点 (2,3)B时， t取得最大值 1，故 mn的最大值为 1.【答案】 （1） 2；（2） ，1.