2019高考数学二轮复习专题四第八讲数列求和及简单应用习题文.docx

1、1第八讲 数列求和及简单应用1.数列a n的前 n 项和 Sn=n2+3n+2,则a n的通项公式为( )A.an=2n-2 B.an=2n+2C.an= D.an=6,n=12n-2,n 2 6,n=12n+2,n 22.已知数列a n满足:a n+1=an-an-1(n2,nN *),a1=1,a2=2,Sn为数列a n的前 n 项和,则 S2018=( )A.3 B.2 C.1 D.03.数列a n满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则a n的前 60 项和为( )A.3690 B.3660 C.1845 D.18304.(2018 河南郑州质量预测)已知数列a n的前 n 项和为

2、 Sn,a1=1,a2=2,且 an+2-2an+1+an=0(nN *),记Tn= + + (nN *),则 T2018=( )1S11S2 1SnA. B. C. D.403420182017201840362019201820195.已知数列a n满足 a1=1,a2=3,an+1an-1=an(n2),则数列a n的前 40 项和 S40等于( )A.20 B.40 C.60 D.806.已知在数列a n中,a 1=-60,an+1=an+3,则|a 1|+|a2|+|a3|+|a30|等于( )A.445 B.765 C.1080 D.31057.(2018 广东惠州模拟)数列a n

3、的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2an-2,则数列na n的前 5 项和为 . 8.已知数列a n中,a 1=1,Sn为数列a n的前 n 项和,且当 n2 时,有 =1 成立,则 S2017= . 2ananSn-S2n9.设数列a n满足:a 1=1,a2=3,且 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n2),则 a20的值是 . 10.设数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+an+1= (n=1,2,3,),则 S2n+3= . 12n11.(2018 福建福州模拟)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1.(1)证明:数列a n是等比数列

4、;(2)设 bn=(2n-1)an,求数列b n的前 n 项和 Tn.212.(2018 河北唐山五校联考)已知数列a n满足: + + = (32n-1),nN *.1a12a2 nan38(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=log3 ,求 + + .ann 1b1b2 1b2b3 1bnbn+113.(2018 吉林长春质量检测)等差数列a n的前 n 项和为 Sn,数列b n是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.(1)求数列a n和b n的通项公式;(2)若 cn= 设数列c n的前 n 项和为 Tn,求 T2n.2Sn,n为奇数,bn,n为

5、偶数, 314.(2018 天津,18,13 分)设a n是等差数列,其前 n 项和为 Sn(nN *);bn是等比数列,公比大于 0,其前n 项和为 Tn(nN *).已知 b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求 Sn和 Tn;(2)若 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数 n 的值.答案精解精析1.D a 1=S1=6,当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2n+2,a n=6,n=1,2n+2,n 2.2.A a n+1=an-an-1(n2,nN *),a1=1,a2=2,a 3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2

6、,故数列a n是周期为 6 的周期数列,且每连续 6 项的和为 0,故 S2018=3360+a2017+a2018=a1+a2=3.故选 A.3.D 不妨令 a1=1,则 a2=2,a3=a5=a7=1,a4=6,a6=10,所以当 n 为奇数时,a n=1,当 n 为偶数时,构成以 a2=2 为首项,4 为公差的等差数列,所以前 60 项和为 S60=30+230+ 4=1830.30(30-1)24.C 由 an+2-2an+1+an=0(nN *),可得 an+2+an=2an+1,所以数列a n为等差数列,公差 d=a2-a1=2-1=1,通项公式为 an=a1+(n-1)d=1+n

7、-1=n,则其前 n 项和 Sn= = ,所以 =n(a1+an)2 n(n+1)2 1Sn 2n(n+1)=2 ,Tn= + +(1n- 1n+1) 1S11S2 1Sn=2(11-12+12-13+1n- 1n+1)=2 = ,故 T2018= = ,故选 C.(1-1n+1) 2nn+1 220182018+1403620195.C 由 an+1= (n2),a 1=1,a2=3,可得 a3=3,a4=1,a5= ,a6= ,a7=1,a8=3,这是一个周期为 6 的数anan-1 13 13列,一个周期内的 6 项之和为 ,又 40=66+4,所以 S40=6 +1+3+3+1=60.

8、263 2636.B a n+1=an+3,a n+1-an=3.a n是以-60 为首项,3 为公差的等差数列.a n=-60+3(n-1)=3n-63.4令 an0,得 n21.前 20 项都为负值.|a 1|+|a2|+|a3|+|a30|=-(a1+a2+a20)+a21+a30=-2S20+S30.S n= n= n,a1+an2 -123+3n2|a 1|+|a2|+|a3|+|a30|=765.7.答案 258解析 解法一:当 n=1 时,a 1=S1=2a1-2,得 a1=2,当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2),得 an=2an-1,则数列a

9、n为等比数列,公比为 2,an=2n,a1=2 也符合,所以 an=2n(nN *),所以 nan=n2n,由错位相减法求和得前 5 项和 T5=258.解法二:当 n=1 时,a 1=S1=2a1-2,得 a1=2,当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2),得 an=2an-1,则数列a n为等比数列,公比为 2,an=2n,a1=2 也符合,所以 an=2n(nN *),得 nan=n2n,故前 5 项和T5=2+222+323+424+525=2+8+24+64+160=258.8.答案 11009解析 当 n2 时,由 =1 得 2(Sn-Sn-1)=(Sn

10、-Sn-1)Sn- =-SnSn-1, - =1,又 =2, 是以 22ananSn-S2n S2n 2Sn 2Sn-1 2S1 2Sn为首项,1 为公差的等差数列, =n+1,故 Sn= ,则 S2017= .2Sn 2n+1 110099.答案 245解析 2na n=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n2),数列na n是以 a1=1 为首项,2a 2-a1=5 为公差的等差数列,20a 20=1+519=96,a 20= .24510.答案 43(1- 14n+2)解析 依题意得 S2n+3=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a2n+2+a2n+3)=1+ + + = =

11、.14116 14n+11- 14n+21-14 43(1- 14n+2)11.解析 (1)证明:当 n=1 时,a 1=S1=2a1-1,所以 a1=1,当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),所以 an=2an-1,所以数列a n是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.(2)由(1)知,a n=2n-1,5所以 bn=(2n-1)2n-1,所以 Tn=1+32+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Tn=12+322+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,由-得-Tn=1+2(21+22+2n-1)-(2n-1)2n=1+2 -(2n-1

12、)2n2-2n-121-2=(3-2n)2n-3,所以 Tn=(2n-3)2n+3.12.解析 (1)当 n=1 时, = (32-1)=3,当 n2 时,1a138=nan(1a1+2a2+nan)-(1a1+2a2+n-1an-1)= (32n-1)- (32n-2-1)=32n-1,38 38当 n=1 时, =32n-1也成立,nan所以 an= (nN *).n32n-1(2)bn=log3 =-(2n-1),ann因为 = = ,1bnbn+1 1(2n-1)(2n+1)12( 12n-1- 12n+1)所以 + +1b1b2 1b2b3 1bnbn+1= + +12(1-13)(

13、13-15) ( 12n-1- 12n+1)= = .12(1- 12n+1) n2n+113.解析 (1)设等差数列a n的公差为 d,等比数列b n的公比为 q.a 1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3, q+3+3+d=10,3+4d-2q=3+2d,d=2,q=2.a n=2n+1,bn=2n-1(nN *).(2)由(1)知,S n= =n(n+2).n(3+2n+1)26c n=1n- 1n+2,n为奇数,2n-1,n为偶数. T 2n= 1- + - + - +(21+23+25+22n-1)= + (4n-1).131315 12n-1 12n+1 2n2n+

14、12314.解析 (1)设等比数列b n的公比为 q.由 b1=1,b3=b2+2,可得 q2-q-2=0.因为 q0,所以 q=2,故 bn=2n-1.所以,T n= =2n-1.1-2n1-2设等差数列a n的公差为 d.由 b4=a3+a5,可得 a1+3d=4.由 b5=a4+2a6,可得 3a1+13d=16,从而 a1=1,d=1,故 an=n,所以 Sn= .n(n+1)2(2)由(1),有 T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n= -n=2n+1-n-2.2(1-2n)1-2由 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得+2n+1-n-2=n+2n+1,n(n+1)2整理得 n2-3n-4=0,解得 n=-1(舍),或 n=4.所以,n 的值为 4.