2018_2019高中数学第2章平面向量2.5向量的应用学案苏教版必修420190115543.doc

1、12.5 向量的应用学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力知识点一 几何性质与向量的关系设 a( x1， y1)， b( x2， y2)， a， b 的夹角为 .思考 1 证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案 可用向量共线的相关知识： a ba bx1y2 x2y10( b0)思考 2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案 可用向量垂直的相关知识： a bab0 x1x2 y1y20.梳理 平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等

2、都可以由向量的线性运算及数量积表示出来知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤1建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题2通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题3把运算结果“翻译”成几何关系知识点三 物理中的量和向量的关系1物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量2物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加法运算与减法运算1功是力 F 与位移 S 的数量积( )2力的合成与分解体现了向量的加减法运算( )3某轮船需横渡长江，船速为 v1，水速为 v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直(

3、 )类型一 用平面向量求解直线方程2例 1 已知 ABC 的三个顶点 A(0，4)， B(4，0)， C(6，2)，点 D， E， F 分别为边BC， CA， AB 的中点(1)求直线 DE， EF， FD 的方程；(2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程解 (1)由已知得点 D(1，1)， E(3，1)， F(2，2)，设 M(x， y)是直线 DE 上任意一点，则 .DM DE ( x1， y1)， (2，2)DM DE (2)( x1)(2)( y1)0，即 x y20 为直线 DE 的方程同理可求，直线 EF， FD 的方程分别为x5 y80， x y0.(2)设点 N(x，

4、y)是 CH 所在直线上任意一点，则 .CN AB 0.CN AB 又 ( x6， y2)， (4，4)CN AB 4( x6)4( y2)0，即 x y40 为所求直线 CH 的方程反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算跟踪训练 1 在 ABC 中， A(4，1)， B(7，5)， C(4，7)，求 A 的平分线所在的直线方程解 (3，4)， (8，6)，AB AC A 的平分线的一个方向向量为a .AB |AB |AC |AC | (35， 45) ( 45， 35) ( 15， 75)设 P(x， y)是角平分线上的任意一点， A 的平分

5、线过点 A， a，AP 所求直线方程为 (x4) (y1)0.75 15整理得 7x y290.3类型二 用平面向量求解平面几何问题例 2 已知在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 CD， AD 的中点， BE， CF 交于点 P.求证：(1)BE CF；(2) AP AB.证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB2，则 A(0，0)， B(2，0)， C(2，2)，E(1，2)， F(0，1)(1) (1，2)， (2，1)BE CF (1)(2)2(1)0，BE CF ，即 BE CF.BE CF (2)设点 P 坐标为( x， y)，则 ( x， y1)，FP (2，1)， ，

6、FC FP FC x2( y1)，即 x2 y2，同理，由 ，得 y2 x4，BP BE 由Error! 得Error!点 P 的坐标为 .(65， 85)| | 2| |，AP (65)2 (85)2 AB 即 AP AB.反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路：(1)向量的线性运算法的四个步骤：选取基底用基底表示相关向量利用向量的线性运算或数量积找出相应关系把几何问题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系把相关向量坐标化用向量的坐标运算找出相应关系把几何问题向量化跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中， P 为对角线 AC 上任一点， PE AB，

7、PF BC，垂足分别为 E， F，连结 DP， EF，求证： DP EF.4证明 方法一 设正方形 ABCD 的边长为 1， AE a(0a1)，则 EP AE a， PF EB1 a， AP a，2 ( )( )DP EF DA AP EP PF DA EP DA PF AP EP AP PF 1 acos1801(1 a)cos90 aacos45 a(1 a)cos452 2 a a2 a(1 a)0. ，即 DP EF.DP EF 方法二 如图，以 A 为原点， AB， AD 所在直线分别为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系设正方形 ABCD 的边长为 1，AP (0 )，2则 D(

8、0，1)， P ，(22 ， 22 )E ， F .(22 ， 0) (1， 22 ) ， DP (22 ， 22 1) EF (1 22 ， 22 ) 2 2 0，DP EF 22 12 12 22 ，即 DP EF.DP EF 类型三 向量在物理学中的应用命 题 角 度 1 向 量 的 线 性 运 算 在 物 理 中 的 应 用例 3 (1)在重 300N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30，60(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小5解 如图，两根绳子的拉力之和 ，OA OB OC 且| | |300N， AOC30，OC OG BOC60.在

9、OAC 中， ACO BOC60， AOC30，则 OAC90，从而| | |cos30150 (N)，OA OC 3| | |sin30150(N)，AC OC 所以| | |150(N)OB AC 答 与铅垂线成 30角的绳子的拉力是 150 N，与铅垂线成 60角的绳子的拉力是 150N.3(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东 30，速度为 20km/h，此时水的流向是正东，流速为 20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东 30，速度为| v1|20(km/h)，水流

10、的方向为正东，速度为| v2|20(km/h)，设帆船行驶的速度为 v，则 v v1 v2.由题意，可得向量 v1(20cos60，20sin60)(10，10 )，向量 v2(20，0)，3则帆船的行驶速度为v v1 v2(10，10 )(20，0)(30，10 )，3 3所以| v| 20 (km/h)302 1032 3因为 tan ( 为 v 和 v2的夹角，且为锐角)，10330 33所以 30，所以帆船向北偏东 60的方向行驶，速度为 20 km/h.36反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算

11、律或性质计算第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算跟踪训练 3 河水自西向东流动的速度为 10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为 10 km/h，求小船的实际航行速度3解 设 a， b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点 O 作 a， b，以 ， 为邻边作矩形 OACB，连结 ，如图，则 a b，并且 即为小OA OB OA OB OC OC OC 船的实际航行速度| | 20(km/h)，OC a b2 a2 b2tan AOC ，10310 3 AOC60，小船的实际航行速度为 20km/h，按北偏东 30的方向航行

12、命 题 角 度 2 向 量 的 数 量 积 在 物 理 中 的 应 用例 4 已知两恒力 F1(3，4)， F2(6，5)作用于同一质点，使之由点 A(20，15)移动到点 B(7，0)(1)求力 F1， F2分别对质点所做的功；(2)求力 F1， F2的合力 F 对质点所做的功解 (1) (7，0)(20，15)(13，15)，AB W1 F1 (3，4)(13，15)AB 3(13)4(15)99(J)，W2 F2 (6，5)(13，15)AB 6(13)(5)(15)3(J)力 F1， F2对质点所做的功分别为99J 和3J.(2)W F ( F1 F2)AB AB (3，4)(6，5)

13、(13，15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102(J)7合力 F 对质点所做的功为102J.反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积跟踪训练 4 一个物体受到同一平面内的三个力 F1， F2， F3的作用，沿北偏东 45的方向移动了 8m，其中| F1|2N，方向为北偏东 30，| F2|4N，方向为北偏东 60，|F3|6N，方向为北偏西 30，求合力 F 所做的功解 以 O 为原点，正东方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示则 F1(1， )， F2(2 ，2)，3 3F3(3，3 )，3所以 F F1 F2 F3(2 2，24 )3

14、 3又因为位移 s(4 ，4 )，2 2所以合力 F 所做的功为 W Fs(2 2)4 (24 )4 4 6 24 (J)3 2 3 2 2 3 6即合力 F 所做的功为 24 J.61已知一个物体在大小为 6N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 100m，且 F 与 s 的夹角为 60，则力 F 所做的功 W_J.答案 300解析 W Fs| F|s|cos F， s6100cos60300(J)2过点 A(2，3)，且垂直于向量 a(2，1)的直线方程为_答案 2 x y70解析 设 P(x， y)为直线上一点，则 a，即( x2)2( y3)10，即 2x y70.AP 3用两

15、条成 120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10N，则每根绳子的拉力大小为_N.答案 10解析 设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F1， F2，则由题意得 F1， F2与 G 都成 60角，且| F1| F2|.| F1| F2| G|10N，8每根绳子的拉力都为 10N.4.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8， AD5， 3 ， 2，则 的CP PD AP BP AB AD 值是_答案 22解析 由 3 ，得 ， ， CP PD DP 14DC 14AB AP AD DP AD 14AB BP AP AB AD 14AB AB .因为 2，所以( )( )2，即

16、 22.又AD 34AB AP BP AD 14AB AD 34AB AD2 12AD AB 316AB 因为 225， 264，所以 22.AD AB AB AD 5如图所示，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点过点 O 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M， N，若 m ， n ，则 m n 的值为_AB AM AC AN 答案 2解析 连结 AO， O 是 BC 的中点， ( )AO 12AB AC 又 m ， n ，AB AM AC AN .AO m2AM n2AN 又 M， O， N 三点共线， 1，则 m n2.m2 n2利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、

17、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标9一、填空题1在 ABC 中，已知 A(4，1)， B(7，5)， C(4，7)，则 BC 边的中线 AD 的长是_答案 552解析 BC 的中点为 D ， ，(32， 6) AD ( 52， 5)| | .AD 5522已知三个力 F1(2，1)， F2(3，2)， F3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力 F4，则 F4_.答案 (1，2)解析 物体平衡， F1 F2 F3 F40， F4 F1 F2 F3(

18、2，1)(3，2)(4，3)(1，2)3一条河宽为 800m，一船从 A 处出发垂直到达河正对岸的 B 处，船速为 20km/h，水速为12 km/h，则船到达 B 处所需时间为_min.答案 3解析 v 实际 v 船 v 水 v1 v2，|v1|20，| v2|12，| v 实际 | |v1|2 |v2|2 16(km/h)202 122所需时间 t 0.05(h)0.8163(min)该船到达 B 处所需的时间为 3min.4在四边形 ABCD 中，若 (1，2)， (4，2)，则该四边形的面积为_AC BD 答案 5解析 0，AC BD AC BD.10四边形 ABCD 的面积S | |

19、 | 2 5.12AC BD 12 5 55已知 ABC 三边 BC， CA， AB 的中点分别为 D(1，2)， E(3，4)， F(5，6)，则顶点 A 的坐标是_答案 (7，8)解析 设点 A 的坐标为( x， y)由已知得 (4，4)，DF ( x3， y4)EA 且| | |，DF EA DF EA Error!解得Error! 或Error! 与 同向，故(1，0)舍去， A 点的坐标为(7，8)DF EA 6过点 A(3，2)且垂直于向量 n(5，3)的直线方程是_答案 5 x3 y210解析 设 P(x， y)为直线上异于 A 的任意一点， ( x3， y2)，又 n，5( x

20、3)AP AP 3( y2)0，即 5x3 y210.7在 ABCD 中， AD1， BAD60， E 为 CD 的中点，若 1，则 AB 的长为AC BE _答案 12解析 设 AB 的长为 a(a0)，因为 ， ，AC AB AD BE BC CE AD 12AB 所以 ( )( )AC BE AB AD AD 12AB 2 2 a2 a1.12AB AD 12AB AD 12 14由已知，得 a2 a11，12 1411又因为 a0，所以 a ，即 AB 的长为 .12 128已知在矩形 ABCD 中， AB2， AD1， E， F 分别为 BC， CD 的中点，则( ) _.AE AF

21、 BD 答案 92解析 如图，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，0)， B(2，0)， D(0，1)， C(2，1) E， F 分别为 BC， CD 的中点， E ， F(1，1)，(2，12) ， (2，1)，AE AF (3， 32) BD ( ) 3(2) 1 .AE AF BD 32 929已知直线 ax by c0 与圆 x2 y21 相交于 A， B 两点，若| AB| ，3则 _.OA OB 答案 12解析 如图，作 OD AB 于点 D，则在 Rt AOD 中， OA1， AD ，所以 AOD60，32 AOB120，所以

22、| | |cos12011( ) .OA OB OA OB 12 1210若点 M 是 ABC 所在平面内的一点，且满足 3 0，则 ABM 与 ABC 的面积AM AB AC 之比为_答案 13解析 如图， D 为 BC 边的中点，12则 ( )AD 12AB AC 因为 3 0，AM AB AC 所以 3 2 ，AM AD 所以 ，AM 23AD 所以 S ABM S ABD S ABC.23 13二、解答题11在长江南岸某渡口处，江水以 12.5km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解 如图，设 表示水流的速度， 表示渡船的速度，

23、表示渡船实际垂直过江的速度AB AD AC 因为 ，AB AD AC 所以四边形 ABCD 为平行四边形在 Rt ACD 中， ACD90，| | |12.5，| |25，DC AB AD 所以 CAD30，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西 30.12在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB DC， AB2， BC1， ABC60，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 ， ，求 的最小值BE BC DF 19 DC AE AF 解 在等腰梯形 ABCD 中，由 AB2， BC1， ABC60，可得 DC1， ，AE AB BC ， ( )( )AF AD 19 DC AE

24、AF AB BC AD 19 DC AB AD AB 19 DC BC AD BC 19 DC 1321cos602 11cos60 cos120 ，19 19 29 2 1718由对勾函数的性质知 2 ，AE AF 29 2 1718 2918当且仅当 ，即 (舍负)时，取得最小值 .29 2 23 291813.如图所示，在正三角形 ABC 中， D， E 分别是 AB， BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A，点 B，且 AE， CD 交于点 P.求证： BP DC.证明 设 ，并设 ABC 的边长为 a，则有PD CD ( - )PA PD DA CD 13BA 23BA BC (2

25、1) ，13BA 13 BA BC .EA BA 13BC ， (2 1) k k .PA EA 13 BA BC BA 13BC 于是有Error! 解得 .17 ，PD 17CD ， ，BP BC CP 17BC 47BA CD 23BA BC 从而 ( )( )BP CD 17BC 47BA 23BA BC a2 a2 a2cos600， ，821 17 1021 BP CD BP DC.三、探究与拓展14在 ABC 中， AB3， AC 边上的中线 BD ， 5，则 AC 的长为_5 AC AB 答案 2解析 由题意得， ，AD AB 52 2( )2 22 2DB DA AB DA

26、DA AB AB 14 2 22 292 5.DA AB AD AB DA 52 21DA AD| |1，DA AC2.15如图，已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(0，0)， B(4，1)， C(6，8)(1)求顶点 D 的坐标；(2)若 2 ， F 为 AD 的中点，求 AE 与 BF 的交点 I 的坐标DE EC 解 (1)设点 D(m， n)，因为 ，AD BC 所以( m， n)(6，8)(4，1)(2，7)，所以顶点 D 的坐标为(2，7)(2)设点 I(x， y)，则点 F 的坐标为 ，(1，72)由于 2 ，DE EC 故( xE2， yE7)2(6 xE，8 yE)，所以 E ，(143， 233)由于 ， ( x4， y1)， ，BF ( 3， 52) BI BF BI 所以 (x4)3( y1)，52又 ，所以 x y，AE AI 233 143解得 x ， y .74 238则点 I 的坐标为 .(74， 238)