1、16.1 二根次式,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学下(RJ)教学课件,第1课时 二次根式的概念,1.理解二次根式的概念.(重点) 2.掌握二次根式有意义的条件.(重点) 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.(难点),导入新课,情景引入,里约奥运会上,哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象?你能猜出下面表情包是谁吗?,你们是根据哪些特征猜出的呢?,下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频,注意前方高能表情包.,通过表情包来辨别人物,最重要的是根据个人的特征,那么数学的特征是什么呢?,“数学根本上是玩概念的,不是玩技巧,技巧不足道也.” -中科院数学与系统科学
2、研究院李邦河,复习引入,问题1 什么叫做平方根?,一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.,问题2 什么叫做算术平方根?,如果 x2 = a(x0),那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.,问题3 什么数有算术平方根?,我们知道,负数没有平方根.因此,在实数范围内开平方时,被开方数只能是正数或0.,思考 用带根号的式子填空,这些结果有什么特点?,(1)如图的海报为正方形,若面积为2m2,则边长为_m;若面积为S m2,则边长为_m,(2)如图的海报为长方形,若长是宽的2倍,面积为6m2,则它的宽为_m,图,图,(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间 t(单位:
3、s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系 h =5t2,如果用含有h 的式子表示 t ,那么t为_,问题1 这些式子分别表示什么意义?,分别表示2,S,3, 的算术平方根,上面问题中,得到的结果分别是: , , , ,讲授新课,根指数都为2;,被开方数为非负数.,问题2 这些式子有什么共同特征?,归纳总结,一般地,我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.,注意:a可以是数,也可以是式.,例1 下列各式中,哪些是二次根式?哪些不是?,解:,(1)(4)(6)均是二次根式,其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.,是否含二次根号,被开方数
4、是不是非负数,二次根式,不是二次根式,是,是,否,否,分析:,典例精析,例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?,解:由x-20,得,x2.,当x2时, 在实数范围内有意义.,【变式题1】当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?,解:由题意得x-10,,x1.,解:被开方数需大于或等于零, 3+x0,x-3. 分母不能等于零, x-10,x1. x-3 且x1.,要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足被开方数0,列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时,应同时考虑分母不为零.,【变式题2】当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?,解:(1)无论x为何
5、实数, 当x=1时, 在实数范围内有意义. (2)无论x为何实数,-x2-2x-3=-(x+1)2-20, 无论x为何实数, 在实数范围内都无意义.,被开方数是多项式时,需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式,再进行分析讨论.,(1)单个二次根式如 有意义的条件:A0;,(2)多个二次根式相加如 有意义的条件:,(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件: A0;,(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件:A0且B0.,归纳总结,1.下列各式: . 一定是二次根式的个数有 ( ),A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,B,2.(1)若式子 在实数范围内有意义,则x的取值 范围
6、是_;,(2)若式子 在实数范围内有意义,则x的 取值范围是_.,x 1,x 0且x2,练一练,问题1 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 呢?,前者x为全体实数;后者x为正数和0.,当a0时, 表示a的算术平方根,因此 0;当a=0时, 表示0的算术平方根,因此 =0.这就是说,当a0时, 0.,问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么?它本身的取值范围又是什么?,二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于任意一个二次根式 ,我们知道:,(1)a为被开方数,为保证其有意义,可知a0; (2) 表示一个数或式的算术平方根,可知 0.,二次根式的被开方数非负,二次根式
7、的值非负,二次根式的双重非负性,归纳总结,例3 若 ,求a -b+c的值.,解:,由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.,所以a-b+c=2-3+4=3.,多个非负数的和为零,则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.,典例精析,例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.,解:由题意得 x=3,y=8, 3x+2y=25. 25的算术平方根为5, 3x+2y的算术平方根为5,【变式题】已知a,b为等腰三角形的两条边长,且a,b满足 ,求此三角形的周长,解:由题意得 a=3, b=4. 当a为腰长时,三角形的周长为3+3+4
8、=10; 当b为腰长时,三角形的周长为4+4+3=11,若 ,则根据被开方数大于等于0,可得a=0.,已知|3x-y-1|和 互为相反数,求x+4y的平方根,解:由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0 解得x=1,y=2 x+4y=1+24=9, x+4y的平方根为3.,练一练,当堂练习,2.式子 有意义的条件是 ( ),A.x2 B.x2 C.x2 D.x2,3.当x=_时,二次根式 取最小值,其最小值 为_,1. 下列式子中,不属于二次根式的是( ),C,A,-1,0,4.当a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有 意义?,5.(1)若二次根式 有意义,求m的取值范围,解:由题意得m-
9、20且m2-m-20, 解得m2且m-1,m2, m2,(2)无论x取任何实数,代数式 都有意义,求m的取值范围,解:由题意得x2+6x+m0, 即(x+3)2+m-90. (x+3)20, m-90,即m9.,6.若x,y是实数,且y ,求 的值.,解:根据题意得, x=1. y , y , .,7.先阅读,后回答问题: 当x为何值时, 有意义? 解:由题意得x(x-1)0 由乘法法则得 解得x1 或x0 即当x1 或x0时, 有意义.,能力提升:,体会解题思想后,试着解答:当x为何值时,有意义?,解:由题意得 则 解得x2或x , 即当x2或x 时, 有意义,课堂小结,二次根式,定义,带有二次根号,在有意义条件下求字母的取值范围,抓住被开方数必须为非负数,从而建立不等式求出其解集.,被开方数为非负数,二次根式的双重非负性,二次根式 中,a0且0,
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